江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三第一次调研考试（期末考试）数学答案.doc

连云港市2020届高三第一学期期末调研考试 数学I参考答案与评分标准 一、填空题：‎ ‎1． 2． 3． 4．20 5． 6． 7．4‎ A P N M C B ‎8． 9． 10． 11． 12．3 13． 14．‎ 二、解答题：‎ ‎15．（1）在中，因为M，N分别为棱PB，PC的中点，‎ ‎ 所以MN// BC． ………………………………3分 ‎ 又MN平面AMN，BC平面AMN，‎ ‎ 所以BC//平面AMN．…………………………6分 （2） 在中，因为，M为棱PB的中点，‎ 所以．………………………………8分 ‎ 又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB平面PBC，平面PAB，‎ ‎ 所以平面PBC．…………………………………………………………12分 ‎ 又平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC． …………………………14分 ‎16．（1）在中，由余弦定理得，‎ ‎，即， …………………………4分 解得或（舍），所以． ………………………………………6分 ‎（2）由及得，，…8分 所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而，………………………………………………12分 所以．………………………………………14分 ‎17．（1）在中，， …………………………2分 由∽可知，，所以，……………………4分 所以，所以．…7分 ‎（2）由（1）得，‎ 所以，令，得，………………………9分 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递减．‎ 所以当时，取得最大值．‎ 答：小圆锥的体积的最大值为．………………………………………14分 ‎18．（1）直线l的方程为，即，‎ 因为直线l与圆相切，所以，故．‎ 所以椭圆的离心率．………………………………4分 ‎（2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为，‎ 由得，所以，…6分 由得，‎ 解得，则，‎ 所以，……………………………………………10分 因为，所以，‎ 即，………………………………………………12分 由（1）知，，所以，‎ 所以，即，所以，故椭圆的离心率为．……16分 ‎19．（1），‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，得．……………………………………………2分 ‎（2）因为存在两个不相等的零点．‎ ‎ 所以存在两个不相等的零点，则．‎ ‎ ①当时，，所以单调递增，至多有一个零点．……4分 ‎ ②当时，因为当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以时，． …………………………6分 ‎ 因为存在两个零点，所以，解得．………7分 因为，所以．‎ 因为，所以在上存在一个零点． …………8分 因为，所以．‎ 因为，设，则，‎ 因为，所以单调递减，‎ 所以，所以，‎ 所以在上存在一个零点．‎ 综上可知，实数的取值范围为．…………………………………10分 ‎（3）当时，，，‎ 设，则．所以单调递增，‎ 且，，所以存在使得，……12分 因为当时，，即，所以单调递减；‎ 当时，，即，所以单调递增，‎ 所以时，取得极小值，也是最小值，‎ 此时，……………14分 因为，所以，‎ 因为，且为整数，所以，即的最大值为．………16分 ‎20．（1）由，可知，，，‎ 因为为等比数列，所以，‎ 即，即，解得或，…2分 当时，，所以，则，‎ 所以数列的公比为1，不符合题意；‎ 当时，，所以数列的公比，‎ 所以实数的值为． …………………………………………………………4分 ‎（2）由（1）知，所以 则 ‎，……………………………………………………6分 则，‎ 因为，又，‎ 且，，所以，则，‎ 设，…………………………………………………………8分 则或为偶数，因为不可能，所以或为偶数，‎ ①当时，，化简得，‎ 即，所以可取值为1，2，3，‎ 验证得，当时，成立．…………………12分 ②当为偶数时，，‎ 设，则，‎ 由①知，当时，；‎ 当时，，所以，所以的最小值为，‎ 所以，令，则，‎ 即，无整数解．‎ 综上，正整数m的值．………………………………………………………16分 数学Ⅱ参考答案与评分标准 ‎21．A．矩阵的特征多项式为．…………2分 因为矩阵的一个特征值为4，所以，所以．…………5分 所以，所以．……10分 ‎ B．由，及，，‎ 所以的直角坐标方程为． ………………………………………2分 在曲线上取点，则点到的距离 ‎，…………6分 当时，取最小值，…………………………………………………8分 此时点的坐标为．………………………………………………………10分 C．因为都为正数，且，‎ 所以由柯西不等式得，‎ ‎………………5分 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以的最小值为3．…………………………………10分 ‎22．（1）因为四边形为正方形，所以，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ ‎（第22题）‎ B A C x y z B1‎ A1‎ C1‎ 平面，所以平面. ……………………………2分 以点为坐标原点，分别以,所在的直线 为,轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎ 不妨设正方形的边长为2，‎ 则，．‎ ‎ 在菱形中，因为，‎ 所以，所以．‎ 因为平面的法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．………………………6分 ‎（2）由（1）可知，，所以．‎ ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为 即，‎ 取，，，即．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，‎ 所以，取．…………8分 ‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎ 则，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………………10分 ‎23．（1）因为，所以，．……………………2分 ‎（2）当时，，‎ 又因为，………………………4分 当时，； …………………………………5分 当时，‎ ‎，‎ 当时，也符合．‎ 所以的值为．………………………………………………10分