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扬州市 2019—2020 学年度第一学期期末检测试题
高三数学参考答案
一、 填空题：
1. 4 2. 2 3. 1800 4. 35 5. 充要
6. 2 7. 2 2yx 8. 1
4
9. 9
7 10. 14xx
11. 83 12. 25,2 1e 13. 21
2
14. 5 2, 5 2
二、解答题：
15．解：(1) ( ) 3sin 2f x x cos2 2sin(2 )6xx ， …… …………3 分
∵函数 sinyx 的单 调递增区间为 2 ,222kk
， kZ .
令 2 2 ,26 2 2x k k
，∴ ,36x k k
.
∴ ()fx的单调递增区间为 ,36kk
， . …………7 分
(2) ∵ 3( ) 2sin(2 )62f ，∴ 3sin(2 )64
.
∵ (0, )6
，∴ 2,6 6 2
，
∴ 2237cos(2 ) 1 sin (2 ) 1 ( )6 6 4 4
， …………9 分
sin 2 sin 2 sin(2 )cos cos(2 )sin6 6 6 6 6 6
∴
3 3 7 1 3 3 7
4 2 4 2 8
. …………14 分
16.(1) 因为 ABC△ 是以 BC 为底边的等腰三角形， M 是 BC 的中点，
所以 AM BC .
因为 EB 平面 ABC ， AM 平面 ，所以 EB AM .
又 BC 、 EB 平面 EBC ， EB BC B ，所以 AM 平面 EBC . ……6 分
(2)证法一：如图 16-1，连结 BN 并延长，交 AD 的延长线于 I ，连结 IC .
因为 平面 ， DA 平面 ，
所以 EB DA∥ ，所以 EN BN
ND NI ，……9 分
又 N 为 ED 的中点，所以 BN NI ，即 N 为 BI 的中点.
又 M 是 BC 的中点，所以在 BCI△ 中， MN CI∥ .……11 分
又 MN 平面 DAC ，CI 平面 ，所以 MN∥平面 DAC . ……14 分
数学参考答案第 2 页（共 9 页）
图 16-1 图 16-2 图 16-3
证法二：如图 16-2，因为 EB 平面 ABC ， DA 平面 ，所以 EB DA∥ ，
所以 , , ,A B E D 四点共面.
在平面 ABED 中，分别过 ,EN作 EP BA∥ ， NQ BA∥ ，分别交 AD 于 ,PQ.
取 AC 的中点O ，连结 ,MO OQ.
因为 EP BA∥ ， EB PA∥ ，所以四边形 ABEP 为平行四边形，所以 EP BA∥ .
上面三行也可以叙述为：
在 AD 上取一点 P ，使 AP BE . 在平面 中，过 N 作 ，交 于Q .
取 的中点 ，连结 .
因为 ， AP BE ，所以四边形 为平行四边形. 所以 .
因为 ， ，所以 NQ EP∥ ，
又 N 是 ED 的中点，所以 1
2NQ EP∥ ，所以 1
2NQ BA∥ .
因为 ,MO分别为 ,BC CA 的中点，所以在 ABC△ 中， 1
2MO BA∥ .
所以 MO NQ∥ ，所以四边形 MOQN 为平行四边形，所以 MN OQ∥ ，
又 MN 平面 DAC ，OQ 平面 ，所以 MN∥平面 DAC . ……14 分
法三：如图 16-3，取 AB 的中点 H ，连结 MH 、 NH .
在 ABC△ 中，因为 ,MH分别为 ,BC BA 的中点，所以 MH BA∥ .
又 MH 平面 DAC ， BA 平面 ，所以 MH∥平面 .……9 分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 EB DA ，所以四边形 ADEB 为梯形.
又 ,NH分别为 ,ED BA的中点，所以 NH DA∥ .
又 NH 平面 ， DA 平面 ，所以 NH∥平面 .
因为 ,NH MH 平面 NHM ， NH MH H ，所以平面 NHM∥平面 ，……11 分
又 MN 平面 NHM ，所以 平面 .……14 分
17．解：(1) 因为
3AOB ，OC OB ，所以
6AOC .
I
N
E
C
B
A
M
D
O
P
QN
E
C
B
A
M
D
H
N
E
C
B
A
M
D数学参考答案第 3 页（共 9 页）
又 ABC△ 中，
sin sin sin
AP AO OP
AOP APO OAP
，
所以 sin 1
sin 2sin
AO AOPAP APO
sinsin 3sin cos6
sin sin 2sin
AO OAPOP APO
……4 分
所以 f ＝ 3sin cos 3sin cos 6222sin 2sin 2sin
aaa
3sin cos 6 3 3 2 cos332sin 2sin 2 2sin
aaaa
， 7
6 12
.…7 分
(2) 2
22
sin cos 2 cos 1 2cos' 3 32sin 2sinf a a
，
由 '0f 得 1cos 2 ，又 7
6 12
，所以
3
……9 分
当
63
时， '0f ， f 在 ,63
上单调递减
当 7
3 12
时， '0f ， f 在 7,3 12
上单调递增
所以当
3
时， f 取最小值．此时 3
3OP ……13 分
答：当点 P 距离O 处 3
3
千米时，总费用的最小． ……14 分
18．(1) 因为椭圆C 的离心率为 1
2
，所以 1
2
c
a .
因为椭圆C 的右准线的方程为 4x ，所以
2
4a
c .
解之得 2a ， 1c ，所以 2 4a ， 2 2 2 3b a c .
所以椭圆C 的标准方程为
22
143
xy. ……4 分
(2) 设 11( , )M x y ， 22( , )N x y .
因为过 ( ,0)( )T t t a 作斜率为 k ( 0)k 的直线l 交椭圆C 于 ,MN两点，
所以 : ( )l y k x t.
由 22
( ),
3 4 12
y k x t
xy
得 2 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k tx k t ，
所以
2
12 2
22
12 2
8 ,34
4 12.34
ktxx k
ktxx k
……6 分
因为 1( 1,0)F ， 2 (1,0)F ，所以 1 1 1( 1, )F M x y ， 2 2 2( 1, )F N x y .
因为 12F M F N∥ ，所以 1 2 2 1( 1) ( 1)x y x y ，即 1 2 2 1( 1)( ) ( 1)( )k x x t k x x t ， 数学参考答案第 4 页（共 9 页）
整理得 2 1 1 2( ) ( ) 2t x x x x t ，所以
2
12
21 22
86223 4 3 4
xx kxx t k k
，
又 22
1 2 2 1 1 2( ) ( ) 4x x x x x x ，
所以
2 2 2
22
2 2 2
8 6 4 12( ) ( ) 43 4 3 4 3 4
k t k t
k k k
，
即 4 2 2 2 264 36 4 4( 3)(3 4 )k t k t k ，即 4 2 2 2 216 9 4( 3)(3 4 )k t k t k ，
整理得 224 ( 4) 9kt(*).……10 分
因为直线 AM ， BN 的斜率分别为 12,kk，且 ( 2,0)A ， (2,0)B ，
所以
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
12
1 2 1 2 1 2 2 1
( )( ) [ ( ) ]
2 2 ( 2)( 2) 2( ) 4
y y k x t x t k x x t x x tkk x x x x x x x x
2 2 2
22
22
22
22
4 12 8[]3 4 3 4
4 12 6243 4 3 4
k t k tk t tkk
kt
kk
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
[4 12 8 (3 4 )]
4 12 12 4(3 4 )
k k t k t t k
k t k
2 2 2 2
2 2 2 2 2
93(3 12) 3 ( 4) 94
4 16 12 4 ( 4) 12 9 12 4
k t k t
k t k k t
.……16 分
19.解：(1) 当 1a 时， g x x b， ' lnf x x ，设切点 00,A x f x ，
因为 g x x b是 fx的一条切线，
所以 00ln 1f x x ，解得 0xe ，所以 0 0f x f e
又切点 ,0Ae 在切线 y x b上，所以 0 eb得be ． ……4 分
(2) 当 b ea 时，令 ln 1h x f x g x x x a x e
则 ' lnh x x a
若 1a ，则当 xe 时， '0hx 恒成立， hx在 ,e 上单调递增，
0h x h e，即 f x g x 符合题意．……6 分
若 1a 时，由 '0hx ，得 ax e e
当 ae x e 时， '0hx ， hx在 , aee上单调递减， 0h x h e
与已知 hx在 ,xe 上恒成立矛盾，舍去……9 分
综上， 1a ……10 分
(3) 法一： ln 1x x x ax b ， ' lnx x a
若 1a ，则 '0x 在区间 2,ee 上恒成立， x 在区间 2,ee上单调递增
因为 x 在区间 2,ee上有零点，
所以
2 2 2
0
0
e ae b
e e ae b
，解得 22ae b e ae
所以 22 2 24 4 2 4 1 4a b a ae a e e e ，
当 1a 时，等号成立，此时b ae ……12 分 数学参考答案第 5 页（共 9 页）
若12a时，
当 ae x e 时， '0x ， x 在 1, ae 上单调递减
当 2ae x e 时， '0x ， x 在 1, ae 上单调递增
因为 x 在区间 2,ee上有零点，
所以 10a a a ae e a ae b e b ，所以 abe ，所以 2244aa b a e
令 2 4 ah a a e ，12a
则 ' 2 4 2 2 0aah a a e a e ，所以 ha在 1,2 上单调递减
所以 2 2 22 4 4 4h a e e ……14 分
若 2a ，则 '0x 在区间 2,ee 上恒成立， x 在区间 2,ee上单调递减
因为 x 在区间 2,ee上有零点，
所以
2 2 2
0
0
e ae b
e e ae b
，解得 22e ae b ae
所以 22 2 2 2 2 2 4 2 44 4 4 2 4 4 4 4a b a ae e a e e e e e ，
当 22ae 时，等号成立，此时 242b e e ；
综上， 2 4ab 的最小值是 2444ee ……16 分
法二： ln 1x x x ax b ，设 x 在 2,ee上的一个零点为 0x ，
则 0 0 0 0ln 1 0x x x ax b ， 0 0 0ln 1b x x ax
22 2 2
0 0 0 0 0 0 04 4 ln 1 4 2 4 ln 1 4a b a x x ax a x x x x
2
0 0 04 ln 1 4x x x ，当 02ax 时等号成立……12 分
令 24 ln 1 4t x x x x ， 2e x e ，则 ' 4ln 8t x x x
因为 2e x e ，则1 ln 2,x4ln 8 4 2 8 0x x e ，即 '0tx
所以 tx的区间 2,ee上单调递减，
所以 tx的最小值为 2 2 444t e e e
故 2 4ab 的最小值为 2444ee ……16 分
20.解：(1) 数列{}nb 为 2019,2019,2019,2018,2017； …………3 分
(2) 由已知得:当 6n 时， na 关于 n 递减；当 7n 时， na 关于 n 递减，
又 67aa ， *nN 时， na 关于 n 递减.
*N 21nam 又 21,30 21mm
nb 共 21 项,且各项分别与 na 中各项相同, …………5 分
其和为
26
21
1 1 11024 1024 1024 15 14 12 2 2T
数学参考答案第 6 页（共 9 页）
6
11(1 ) 15(15 1)221024 11281 21 2
. …………8 分
(3) 先不妨设数列 na 单调递增.
当 2m 时， *
12,a a N , 1 2 1 2 22a a a a a
112, 1aa ，此时无解，不满足题意；…………9 分
当 3m 时，由 1 2 3 1 2 3a a a a a a 得 1 2 3 1 2 3 33a a a a a a a
1 2 1 2 1 23, < 1, 2a a a a a a 又 .代入原式得 3 3a ……10 分
当 4m 时， 1 2 1 2m m ma a a a a a ma ，
而 12 ( 1)!m m ma a a m a ma ，矛盾!
所以不存在满足题意的数列 na .…………12 分
综上，满足题意的数列 na ：1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1. ……14 分
所以对应的“新型数列”{}nb 分别为：1,1,1；1,1,1；2,1,1；2,2,1；3,1,1；3,2,1.…16 分
21.(1) 矩阵 M 的特征多项式为 2 1( ) ( 2)( 1)01f
，
令 ，得矩阵 的特征值为 或 2， ……2 分
当 时由二元一次方程 0
0 0 0
xy
xy
得 ，令 ，则 ，
所以特征值 对应的特征向量为 ； ……4 分
当 =2 时由二元一次方程 00
00
xy
xy
得 =0y ，令 ，
所以特征值 对应的特征向量为 2
1= 0
； ……6 分
(2) 12
2= -1
……7 分
3 3 3 3 3
1 2 1 212M M M 31 1 9=2-1 0 -1
……10 分
22.解法一：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则点 M，N 的直角
坐标分别为 02， ， 22， ，直线 l 的直角坐标方程为 3yx ，
(1) ∵线段 MN 为圆 C 的直径，
∴圆 C 的圆心为 C 10， ，半径为 5 ，
∴圆 C 的直角坐标方程为 2 215xy ，即 2224x y x ，
化为极坐标方程为： 2 2 cos 4 . ……5 分
(2)∵圆 C 的直角坐标方程为 ，直线 的直角坐标方程为 ，
( ) 0f M 1
1 0xy 1x 1y
1 1
1
1
1x 数学参考答案第 7 页（共 9 页）
∴圆心 C 到直线l 的距离为 3
2d ，
∴所求弦长为
2
32 5 172
. ……10 分
解法二：(1) ∵线段 MN 为圆 C 的直径，点 M，N 的极坐标分别为 π2 2， ， 7π22 4， ，
∴圆心 C 的极坐标为 C 10， ，半径为 5 ，设点 P ，为圆 C 上任一点，
则在△POC 中，由余弦定理得 2 225 1 2 cos （P、O、C 共线此式也成立），
∴圆 C 的极坐标方程为： 2 2 cos 4 . ……5 分
(2) 在圆 C 的极坐标方程 中，令 3
，得
2 40 ，显然该方程 0 ，且 121， 12 4 ，
∴所求弦长为 2
1 2 1 2 1 24 17 . ……10 分
23.解：(1)因为 3X 即甲连胜三局或乙连胜三局，
所以 332 1 9 1( 3) ( ) ( )3 3 27 3PX ；……2 分
答： 3X 的概率为 1.3 ……3 分
(2) X 可能取值为 3,4,5，
所以 332 1 9 1( 3) ( ) ( )3 3 27 3PX ；
1 3 1 3
33
1 2 2 1 10( 4) ( )( ) ( )( )3 3 3 3 27P X C C ；
2 2 3 2 2 3
44
1 2 2 1 8( 5) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 27P X C C .
所以 X 的分布列为
3 4 5
P 9
27 10
27 8
27
……8 分
所以 9 10 8 107( ) 3 4 527 27 27 27EX ．
答： X 的期望为107
27
． ……10 分
24. 解：(1) 法一：∵ 1
1= 2a ，且
1
1 2n
n
a a
，∴
2
1122 a，∴ 2
2= 3a ，
同样可求得 3
3= 4a ， 4
4= 5a ，猜想： = 1n
na n ，……1 分
以下用数学归纳法证明:
1°当 1n 时， 1
11= 2 1 1a ，符合 ，
2°假设 nk 时， = 1k
ka k （ k N ）， 数学参考答案第 8 页（共 9 页）
则 1nk时，
1
1+2k
k
a a
，即
1
1+21 k
k
ka
，
∴
1
122=11k
kk
a k k
，∴ 1
1= 2k
ka k
符合 = 1n
na n ，
综上： ． ……4 分
法二：由
1
1 2n
n
a a
得
1
1 11 n
n
aa
，∴ 1
1
1 1n
n
n
a aa
，
∴ 1
1
1
11
n
nn
a
aa
，即
1
111 11nnaa
，
∴
1
11111nnaa
，∴ 1
1 na
是等差数列，首项为 2，公差为 1，
∴ 1 11 n
na ，∴ ． ……4 分
(2) 当 2n≥ 时， 2 1 1 1 2 1
1 2 1
1 2 2n n n n n
n n nS S a a a n n n
，
法一：先证明 (0,1)x 时， 1 lnxx
令 ( ) 1 ln , (0,1)f x x x x ，则 11( ) 1 0xfx xx
，
∴ 为减函数，∴ ( ) (1) 0f x f，∴ (0,1)x 时， 1 lnxx ．
∴ 时， 1 2 1 1 2 11 ln 1 ln 11 2 2 1 2 2
n n n n n n
n n n n n n
= 1 ln ln 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2n n n n n n
=n ln ln 2 ln 2n n n ，
又∵ 4 2 52.5 >6.25 >36>2e4 ，∴ 4 5 2ln ，∴ 42< 5ln ，∴ 4ln 2> 5nn，
∴ 2n≥ 时， 1 2 1 4
1 2 2 5
n n n nn n n
，
∴当 2n≥ 时， 2 1 1
4
5nnS S n ． ……10 分
法二：∵ 1 2 1 1 1 11 1 11 2 2 1 2 2
n n n
n n n n n n
1 1 1
1 2 2n n n n
，
∴要证明 1 2 1 4 21 2 2 5
n n n nnn n n
，即证 1 1 1 4
1 2 2 5n n n
，
设 1 1 1
1 2 2s n n n
，则 1 1 1 1
2 2 1 2 1s n n n n
，
∴ 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 1 2 1s n n n n n n
2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 1 2 1
n n n n n n
n n n n n n
数学参考答案第 9 页（共 9 页）
1 1 131 1 2 2 2 1 2 1n n n n n n n
由 k+1 2 k 2 +1 2 k k k+1 2 +1 k k 1n n n n n n n n n 得：
当1 k 1n 时， k +1 2 k 2 +1n n n n ，
∴
1 1 1 n
1 2 2 2 1 2 1 1 2n n n n n n n n
，
∴
3 1 3 3 32 3 1 1 2 2 1 2 1 2
n n nsn n n n n
，
∴ 34
45s ，
∴当 2n≥ 时， 2 1 1
4
5nnS S n ． ……10 分
法三：由法二知即证 1 1 1 4 21 2 2 5 nn n n
，
设 1 1 1
1 2 2s n n n
1 1 1 1 1 1112 1 2 2n n n n
1 1 1 1 1 1 1122 1 2 2 4 2n n n n
1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2nn
当 2n= 时， 1 1 4+3 4 5s 成立，
当 3n 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 2n 2 2n 1 2ns
1 1 1 1 47 4
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