江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷文科数学（四）（PDF版附解析）.pdf

— 高三文科数学(四)第 1 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(四) 命题人：莲塘一中 李树森 审题人：南昌五中 尤伟峰 本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟． 注意事项： 1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答．若在试题卷上作答，答题无效． 2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知集合  2 0,A a x ax a x R     ,  1B x y x   ，则( )RC A B  A． 0 4x x  B． 1 4x x  C． 1x x  D． 4 0x x x 或 2．已知设i是虚数单位， 1 3 1 iz i   ，则 3| |2 2 iz    A．1 B． 2 C． 2 D． 1 2 3．已知等差数列 na 满足 3 24 =3a a ，则 na 中一定为零的项是 A． 6a B． 8a C． 10a D． 12a 4．设 0.3 3 92 , log 4, log 25a b c   则 A．b c a  B． a c b  C． a b c  D．b a c  5．已知样本数据 x 1 2 a 3 4 y 0.9 0.95 2 3.05 4.9 得到回归方程 ˆ 2 3y x  ，则实数 a 的值为 A． 2 B．3 C． 2.5 D．3.5 6．记不等式组 0, 1, 1 2 y y x y kx             所表示的平面区域为 D ，若点(1,1) D ，则实数 k 的取值范围为 A． 1 2k  B． 1k  C． 1 2k  D． 1k  7．已知等比数列 na ， nS 为数列 na 的前 n 项和，公比为 q ，则“ 3q   ”是“ 3 2 14S a a  ” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 — 高三文科数学(四)第 2 页(共 4 页) — x y 俯视图 左视图主视图 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的左右焦点为别为 1,F 2F ,直线 :l y kx 与双曲线C 的左右两支相交于 ,A B 两点，以 ,A B 为直径的圆经过点 2F ，且满足 2 3sin 5BAF  ,则双曲线C 的离心率为 A． 5 B． 2 C． 2 D．5 9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文 化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前， 三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为 阴数，若从阴数、阳数中各取一个数，若这两个数之和为 15 的概率为 A． 1 5 B． 3 25 C． 6 25 D． 2 5 10．设函数 2 ln , ,( )= ( 0) , . x x af x a x x a x a      ，若函数 ( )f x 的最大值为 1 4a ，则实数 a 的取值范围 为 A． 0a B． 1 2a  C． 10 2a  D． 10 2a  11 ． 已 知 A B C D， ， ， 四 个 点 在 表 面 积 为 28 的 球 面 上 ， 且 ,DA AB DA AC  , 3DA AB AC  , 030BAC  ,则三棱锥 D ABC 的体积为 A． 3 B．3 C． 2 D． 2 12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其曲线C方程 为 32 2 2 2x y x y  给出下列四个结论: ①曲线C有四条对称轴； ②曲线C上的点到原点的最大距离为 1 4 ； ③设曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围 成的矩形面积的最大值为 1 8 ； ④四叶草面积小于 4  ； 其中，所有正确结论的序号是 A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④ 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积 ． 14．已知 ,a b  为互相垂直的单位向量，且| | 2, 3c a c     ， 0b c   ，则| |b c   ． 15．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线相 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点，若 3AF FB ,则 1 2y y  ． 16．已知函数 2( ) 2f x x x  ， 2( ) logg x x ，若存在实数 m n ， 使得  1 ,x m n  ，  2 0,8x  ，使得 1 2( ) ( ) 0f x g x  ，则 m n 的最大值为 ． — 高三文科数学(四)第 3 页(共 4 页) — 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必做部分 17.（本小题满分 12 分）已知锐角 ABC 的三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，面积为 S ， AD 为内角 A 的角平分线，且满足3 cos 3 cos 2 3b A a B b c   . （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若 ABC 的面积为 4 2 3 ，求角平分线长 AD 的最大值. 18．（本小题满分 12 分）如图：在三棱锥 S ABC 中， ABC 为等边三角形，且 ,AB a 13 2 aSA SC  , D 为 AC 的中点. （Ⅰ）求证： ABC SBD平面 平面 ； （Ⅱ）若 21 2SB a ，设 E 为 BC 的中点， 求点 E 到平面 SAC 的距离. 19．（本小题满分 12 分）在互联网飞速发展的今天，越来越多的人选择了更为方便、省时省钱的 网上购物，某网上购物平台近来又提供一种增值保障服务，消费者在购物的同时，可以在其金融 公司购买增值保障服务，增值保障服务包括碎屏保、无理由、意外保、碎片换新、延长保、换新， 例如消费者在购买换新增值保值服务，在超出国家的三包政策外 1 年内，因产品质量问题，可以 申请换与所购买商品一样的新产品，消费者在网上购买某种小家电，其金融公司购买增值保障服 务（换新服务），活动规则如下：用户购买该型号小家电时可选购“换新服务”，保费为 x 元.若 在购买后 1 年内出现意外或质量问题可免费更换同型号的该产品.网上购物平台将在这 5 万台该型 号小家电器全部销售完毕一年后，在购买换新服务后一年内未换新产品的用户中随机抽取 1000 名，为了合理确定保费 x 的值，该金融公司进行了问卷调查，统计后得到下表（其中 y表示保费 为 x 元时愿意购买该“换新服务”的用户所占的百分比）： x 10 12 15 18 20 y 0.75 0.65 0.52 0.38 0.2 （Ⅰ）根据上面的数据求出 y 关于 x 的回归直线方程（精确到 0.01）； （Ⅱ）通过大数据分析，在使用该型号的小家电的用户中，购买后一年内出现质量问题的比例为 0.2% .已知该型号的小家电的价格为 2000 元，若该金融公司要求在这次活动中因销售该“换新服 务”产生的利润不少于 17 万元，能否把保费 x 定为 8 元？ 参考公式：回归方程 y bx a  中，      1 2 1 n i i i n i i x x y y b x x          ， a y bx     . 参考数据：    5 1 3.56i i i x x y y      . — 高三文科数学(四)第 4 页(共 4 页) — 20．（本小题满分 12 分）已知 1( 1,0)F  , P 为平面内一动点，以 1PF 为直径的圆与圆 2 2: 4O x y  内切. （Ⅰ）动点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）设过点 (0,1)M 的直线l与曲线C相交于点 ,A B 两点，过点 M 作与l 垂直的直线 1l 与 x 轴相 交于 N 点，若 NA NB ,求直线l的方程. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 1( ) ( 1)e 1xf x kx k     ，且 ( ) 0f x  . （Ⅰ）求 k 的值； （Ⅱ）当0 2x  时，求证： 1e ln( 1) 02 x xx x     . （二）选做部分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 1l 的参 数方程为  cos ( 0, , )1 sin x t ty t        为参数 ，直线 2l 的方程为 sin( ) 2 24     ， M 为曲 线 2l 上的动点，点 P 在线段OM 上， 且满足 8OM OP  . （Ⅰ）求点 P 的轨迹C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 (0,1)N ,直线 1l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，则 1 1 4 3 3NA NB  ,求直线 1l 的方程. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1 2f x x x    （Ⅰ）对于任意 x R ，不等式 ( )f x m 恒成立，则 m 的取值范围； （ Ⅱ ） 记 满 足 条 件 的 m 的 最 大 值 为 M , 若 1, 1, 1a b c   ， 且 8 ,abc M 求 证 ： ( 1)( 1)( 1) 1a b c    . — 高三文科数学(四)第 5 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(四)参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A C C C A D B C C C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分) 13. 22 + 3 14. 3 15. 4 3 3 16. 4 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17. 【解析】（Ⅰ）因为 3 cos 3 cos 2 3b A a B b c   ， 由正弦定理可化为3sin cos 3sin cos 2sin 3sinB A A B B C   ,  3sin cos 3sin cos 2sin 3sinB A A B B A B     , 3sin cos 3sin cos 2sin 3sin cos 3sin cosB A A B B A B B A     , 6sin cos 2sinB A B  .  0, π , sin 0B B   ， 因此， 1cos 3A  . （Ⅱ） 1 2 2cos sin3 3A A   ， 且 1 cos 6cos 2 2 3 A A  . 1 4 2sin2 3ABCS bc A   ， 4bc  . 由 ABC ABD ACDS S S    ,有 1 1 1sin sin sin2 2 2 2 2 A Abc A c AD b AD      ,   2 cos 8 6 8 6 2 62 3 36 Abc AD b c b c bc       . 当且仅当 2b c  时，角平分线 AD 长有最大值 2 6 3 . 18.【解析】（Ⅰ）因 ABC 是等边三角形， D 为 AC 的中点， BD AC  ， ,SA SC SD AC  又 BD SD D  ， AC  平面 SBD AC  平面 ABC ， 平面 ABC  平面 SBD ， （Ⅱ） 13 ,2SAC SA SC a AC a   中， 1 332 2SACS a a a     ， 2E SAC E SDC B SDC C SBDV V V V      — 高三文科数学(四)第 6 页(共 4 页) — 又在 SBD 中， 3 213 ,2 2BD a SD a SB a  ， 由余弦定理可知， 1 3cos ,sin =2 2SDB SDB    ， 23 3 8SBDS a  ，即设 E 到面 SAC 的距离为 h 31 3 3 3 3 3 2 8 8h a a h a     . 19.【解析】（Ⅰ） 5 2 1 15, 0.5, ( ) 68i i x y x x      ， ^ ^-3.56= 0.05 1.2568b a   ， 0.05 1.25y x    （Ⅱ）能把保费 x 定为 8 元，理由如下： 若保费定位 8 元时，则 0.85y   50000 8 0.85-50000 2000 0.2% 0.85=17 17      利润为： 万元 万元 故能定在保费为 8 元. 20. 【解析】（Ⅰ）如图：设以 PF 为直径的圆的圆心为 1O ，连接 1O O ， 则 1O O 为 1 2F PF 的中位线，由于圆 1O 与圆 2 2: 4O x y  内切， 则： 1 1 1 2O F O O  ，故： 1 2 1 1 12( ) 4PF PF O F O O    . 由椭圆定义可知 P 的轨迹方程为： 2 2 14 3 x y  . （Ⅱ）设直线l的方程为： x ky k  ，则 1( ,0)N k .令 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则有： 2 2 2 22 2 (3 4) 6 3 12 0 14 3 x ky k k y k y kx y           ， 其中： 2 2 1 2 1 22 2 6 3 12,3 4 3 4 k ky y y yk k      由题意： NA NB NM AB ， ，则由射影定理可得： 2NM MA MB  . 由于： 2 2 1 2 2 11 1 , 1 1 , 1MA k y MB k y MN k        . 则有： 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8 1 41 1 ( ) 1 3 4 5y y y y y y kk k           . 故直线l的方程为： 5 12y x   . — 高三文科数学(四)第 7 页(共 4 页) — 21. 【解析】（Ⅰ） min(1) 0, ( ) 0 ( ) (1) 0f f x f x f       . 又，故 1x k 为  f x 的极小值点，即： 1 1 1kk    . （Ⅱ）当 0x 时，不等式显然成立. 故当0 2x  时， 1 1e ln( 1) 0 (2 )e2 ln( 1) x xx xx xx x         .   11( ) (2 ) = 1 e 0e ( ) 1xx h x xh xx x       令 ， .  (0,1) 0 ( ) (0,1)x h x h x当 时， 在 单增；    (1,2) 0 ( ) (1,2)x h x h x当 时， 在 单减   . 故 1x  为 ( )h x 的极大值点.故 max( ) (1) 1h x h  . 下证： 1 ln( 1)(0 2)ln( 1) x x x xx       .令 ( ) ln( 1)x x x    ，则有： 1( ) 1 0 ( ) (0,2)1 1 xx xx x 在 单减        ， ( ) (0) 0x    . 0 ln( 1)x x    .故不 等式成立. 22. 【解析】（Ⅰ）设点 P 的坐标为 ,  ，点 M 的坐标为 1,  ， 由 8OM OP  ，则 1 1 8 πsin( ) 2 24         整理得轨迹C的极坐标方程为 π2 2 sin( )4   轨迹C的直角坐标方程为     211 22  yx （Ⅱ）将 1l 的参数方程代曲线C的直角坐标方程，    2sin1cos 22   tt 整理得 01cos22  tt  ， 1,cos2 2121  tttt  又点 (0,1)N 在曲线C的内部，  2 2 1 2 1 2 1 2+ = 4 4cos 4NA NB t t t t t t       ， 2 1 2 1 2 +1 1 4cos 4 4 3= 1 3 NA NB t t NA NB NA NB t t      ， 解得 3 1cos 2  ，即 3 3cos  ，则 2k ， 则直线 1l 的方程 12  xy . 23. 【解析】（Ⅰ）        2,32 21,1 1,23 )( xx x xx xf ， 1)(21 min  xfx 时，当 . 由题意： 恒成立在 Rxmxf )( mxf  min)( ，故 .1m （Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 1M  ，故 8abc . 则有： — 高三文科数学(四)第 8 页(共 4 页) — 14441)1(1)1(1)1()1)(1)(1( 222  cbacbacba ； 取等条件为： 2 cba . — 高三文科数学(四)第 9 页(共 4 页) — 高三文科数学（四）选择填空详细解析 1.B【解析】  2 0,RC A a x ax a x R     ， 042  aa ，  0,4RC A  ，  1 xxB ， RC A B   1 4x x  ，故选 B. 2.A【解析】 1 3i (1 3i)( +i) 1 3 (1 3)i=1 i (1 i)( +i) 2z        1 1 则 3 i 2 2z    1 3 (1 3)i 3 i 1 3+ i 12 2 2 2 2        ,故选 A. 3. A【解析】由 3 2 3 3 2 3 64 3 3( ) 0 3 0 0a a a a a a d a          ，故选 A. 4. C【解析】 2 2 9 330 0,b 1,c log 25 log 5 log 5a      .c b a   5. C【解析】回归方程过定点 ,x y ， =2y ，代入回归方程得 =2.5x ，则 a =2.5。 6. C【解析】 1 1 D点（ ，） , 1 11 2 2k k     ，故选 C. 7.A【解析】由 3 2 14S a a  ，则 1 2 3 2 14 ,a a a a a    2 1 1( 2 1) 4 ,a q q a   又 na 为等比数 列， 1 0a  ， 2 2 1 4q q   ，即 1q  或 3q   则 3q   是 3 2 14S a a  的充分而不必要条件, 故选 A. 8.D【解析】连接 1 1,BF AF ,因为 ,A B 为直径的圆经过点 2F ，所以 2AF B 为直角三角形，即 2 2AF BF ，又因为 2 3sin 5BAF  ，即 2 6 5 cBF  ， 2 8 5 cAF  ,由对称性可知四边形 1 2AF BF 为矩形，所以 1 8 5 cBF  ，由定义得 1 2 2BF BF a  ，即 8 6 25 5 c c a  ，即 5e  ，故选 D. 9.B【解析】由已知可得，阳数为 1，3，5，7，9；阴数为 2，4，6，8，10。 先从阳数取一数，阴数取一数共有5 5 25  种，其中两数之和等于 15 的的情况有 7 和 8，6 和 9， 10 和 5，共 3 种，则概率为 3 25 ，故选 B. 10. C【解析】由于 1 1( )2 4f a  ，故 x a 必须包含 1 2x  ， 10 2a   ，故选 C. 11. C【解析】在 ABC 中，设 0, 3 , 30AC x AB x BAC    ,由余弦定理可知 BC x ， ABC r x 的外接圆的半径 ， 3DA x . 2 21 7 7 24 2R r DA x x      外接球的半径 2D ABCV   ，故选 C. 12.C【解析】①曲线C有四条对称轴: x 轴， y轴， y x ， y x , ②令 y x ,易知曲线C过点 2 2,4 4       ，该点到原点的距离为 1 2 , — 高三文科数学(四)第 10 页(共 4 页) —   22 232 2 2 2 2 x yx y x y        当且仅当 x y 时取“=”，易知，曲线C上的点到原点的最大距离 2 2 max 1 2d x y   , ③   3 32 2 2 2 2x y x y xy   当且仅当 x y 时取“=”，则 max 1 8S xy  ④由②，以 0,0 为圆心， 1 2 为半径作圆，此圆的半径为 π 4 ，所以，四叶草面积小于 π 4 ,故选 C. 13. 22π+ 3 【解析】由三视图可知，该几何体由一个圆柱和一个三棱锥组合而成，所以其体积为 2 1 1 2π 1 2+ 2 1 2=2π+3 2 3      . 14. 3 【解析】由 3a c a c     , 的夹角为 6  ，b c , 的夹角为 3  ， 2 22( ) 2 3b c b c b b c c                15. 4 3 3 【解析】 设直线 AB 的方程： 1x ty  ，与C联立可得 2 4 4 0y ty   ，则有 1 2 4y y   ① ， 因 为 3AF FB ， 所 以 1 23y y  ② . 由 ① ② 可 解 得 1 2 2 3 2 3 3 y y     或 1 2 2 3 2 3 3 y y     ，因此 1 2 4 3 3y y   . 16. 4【解析】    2 0,8 , ( ) ,3x g x  当 时 ，    1 1 2, , ( ) ( ) ( ) 3x m n f x g x f x     ， ， ， 2 2 3 1 3x x x      ， 1, 3,m n m n     ，故 m n 的最大值为 4 .