数学（理）试题
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。
1. 若集合 ，且 ，则集合 可以是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“对任意的 ， ”的否定是（ ）
A．不存在 ， B．存在 ，
C．存在 ， D．对任意的 ，
3. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C． D.
4. 的三内角 的对边分别为 ,其中 . 为
的外接圆圆心,则 ( )
A. B. C. D. 6
5．若 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中含 项的
系数是( )
A． B． C． D．
6.已知等差数列 的公差不为 ， ，且 成等比数列，设 的前
项和为 ，则 ( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆 与圆 ，若椭圆 上存在点 P，
使得由点 P 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率最小值为( )
A． B． C． D．
x∈R 3 2 1 0x x− + ≤
x∈R 3 2 1 0x x− + ≤ x∈R 3 2 1 0x x− + ≤
x∈R 3 2 1 0x x− + > x∈R 3 2 1 0x x− + >
{ | 0}B x x= ≥ A B A= A
{1,2} { | 1}x x ≤ { 1,0,1}− R
0.2
1.2
5
12 , , 2 log 22a b c
− = = = , ,a b c
c b a< < b a c< < c a b< < b c a< <
ABC△ , ,A B C , ,a b c 3, 2b c= = O ABC△
AO BC⋅ =
13
2
5
2
5
2
−
1( )nx x
− 7 2x
462− 462 792 792−
{ }na 0 1 1a = 2 4 8, ,a a a { }na
n nS nS =
2 1
2
n + 2( 1)
2
n + ( 1)
2
n n + ( 3)
4
n n +
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 2 2
2 :C x y b+ = 1C
2C 1C
3
3
2
3
2
2
2
18． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，始边上一点 P(1，－
3)，则 为（ ）
A. B. C. D.
9.函数 的定义域是 ，且满足 ，当 时， ，
则 图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10．已知 是双曲线 ： 的右焦点， 是 上一点，且 与 轴垂直，
点 的坐标是 .则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.定义在 上的函数 有零点,且值域 ,则
的取值范围是( )
A.
B.
C. D.
12．设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则 m 的取值范围( )
A． B． C． D．
)4(cos2 πθ +
5
1 2
5
3
5
4
5
( )f x R ( ) ( ) 0f x f x+ − = 0x ≥
2( ) 1
xf x x
= +
( )f x
F C
2
2 13
yx − = P C PF x
A ( )1,3 APF∆
1
3
1
2
2
3
3
2
[ ]0,π πy=sin(ωx- ) (ω>0)6
1[ , )2M ⊆ − +∞ ω
1 4[ , ]6 3
1 4[ , ]2 3
4[ ,2]3
1[ ,2]6
( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = (0,1]x∈
( ) ( 1)f x x x= − ( , ]x m∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ −
9, 4
−∞
7, 3
−∞
5, 2
−∞
8, 3
−∞ 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分。
13．若 ，且 ，则 的最小值是__________
14．已知 是首项为 1 的等比数列， 是 的前 n 项和，且 ，则数
列 的前 5 项和 为 .
15．设定义域为 的函数 满足 则 的解集为
______．
16．抛物线 焦点 与双曲线 一个焦点重
合，过点 的直线交 于点 、 ，点 处的切线与 、 轴分别交于
、 ，若 的面积为 4，则 的长为 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在 中，角 的对边分别为 函数
，（1)求 (2)求 的值．
18. 等差数列 的前 n 项和为 ，且 ．
(I) 求数列 的通项公式；
(II)若数列 满足 ，求 的前 n 项和 ．
19． 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得
诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗
疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿
的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项
的指标分别记为 ，并对它们进行量化： 表示不合格， 表示临界合格，
表示合格，再用综合指标 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若
，则长势为一级；若 ，则长势为二级；若 ，则长势为三
0, 0a b> > ( )ln 0a b+ = 1 1
a b
+
{ }na ns { }na 3 69s s=
{ }na 5S
R ( )f x ' ( ) ( ),f x f x> 1 ( ) (2 1),xe f x f x− < −
( )02: 2 >= ppyxC F 122 22 =− xy
F C A B A x y
M N OMN∆ AF
ABC∆ , ,A B C , ,a b c )62sin(2)(
π+= xxf
7, ( ) 2,c f C= = − sin B = 2sin A C a
{ }na nS 3 69, 60a S= =
{ }na
{ }nb ( )1 1 3n n nb b a n N b+ +− = ∈ =且 1
nb
nT
, ,x y z 0 1 2
x y zω = + +
4ω ≥ 2 3ω≤ ≤ 0 1ω≤ ≤级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了 块青蒿
人工种植地，得到如下结果：
（1）在这 块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标
相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为 ，从长
势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为 ，记随机变量
，求 的分布列.
20. 如 图 ， 三 棱 柱 中 ， ， ，
.
（Ⅰ）证明： ；（Ⅱ）若 ，在棱 上是否存在点 ，使得
二面角 的大小为 ，若存在，求 的长，若不存在，说明理由.
种植地编号
种植地编号
10
10 z
m
n
X m n= − X
1 1 1ABC A B C− 90ACB∠ =
1 2AC BC CC= = =
1 1A B B C⊥
1 1 1AC CC⊥ 1 2 3A B = 1CC E
1E AB C− − 30 CE
1A 2A 3A 4A 5A
( , , )x y z (0,1,0) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1)
6A 7A 8A 9A 10A
( , , )x y z (1,1,2) (2,1,2) (2,0,1) (2,2,1) (0,2,1)21．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆经过
点 ，且 的面积 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设斜率为 的直线 与以原点为圆心，半径为 的圆交于
两点，与椭圆 交于 两点，且 ，当 取得最小
值时，求直线 的方程．
22．设函数 （1）求函数 的极值；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
（参考数值 ， ）
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F
( 6, 1)P − 1 2PF F∆ 2
C
1 l 2 ,A B
C ,C D | | | | ( *)CD AB Rλ λ= ∈ λ
l
( ) (m )= − xf x x e ( )f x
0>x ( ) 4< +f x x m
7183.2≈e 4817.42
3
≈e（理科）参考答案与评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C A B D C C D A D A B
二．填空题：13． 4 ; 14． 31 ; 15． ; 16． 5
17.解:： 由 ,得 ,且 ,所以 -----4 分
因为 ,由正弦定理得 ----------6 分
又由余弦定理 得：
解得 ------------------10 分
18．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，∵ ∴ ，
解得 ．∴ ……4 分
（Ⅱ）∵ ， ，当 时，
当 时， 适合上式，所以 ……8 分
．
. …… 12 分
19．解:（1）由表可以知道:空气湿度指标为 0 的有 ,
空气湿度指标为 1 的有 , 空气湿度指标为 2 的有 在这
10 块青蒿人工种植地中任取两地,基本事件总数 , -----------2 分
这两地的空气温度的指标 z 相同包含的基本事件个数 , ---------4 分
所以这两地的空气温度的指标 z 相同的概率 --------5 分
（2）根据题意得 10 块青蒿人工种植的综合指标如下表:
( ) 2f C = − sin(2 ) 16C
π+ = − (0, )C π∈ 2
3C
π=
sin 2sinB A= 2b a=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 27 4 2 2 cos ,3a a a a
π= + − ×
1a =
{ }na d 3 69, 60.a S= =
1
1
2 9
6 56 602
a d
a d
+ = ×+ =
1 5
2
a
d
=
=
5 ( 1) 2 2 3.na n n= + − × = +
1 2 3n n nb b a n+ − = = + 1 3b = 2≥n 1 2 1 1( ) ( )n n nb b b b b b−= − + + − +
[ ] [ ] [ ]2( 1) 3 2( 2) 3 2 1 3 3n n= − + + − + + + × + + 2( 1)2 3 2 .2
n n n n n
−= × + = +
1=n 1 3b = .22 nnbn +=
1 1 1 1 1( )( 2) 2 2nb n n n n
∴ = = −+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n
∴ = − + − + − + + − + − − + +
1 1 1 1(1 )2 2 1 2n n
= + − −+ +
3 1 1
4 2( 1) 2( 2)n n
= − −+ +
1A
2 3 5 8 9 10, , , , ,A A A A A A 4 6 7, ,A A A
2
10 45n C= =
2 2
6 3 18m C C= + =
18 2
45 5
mp n
= = =编号
综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3
其中长势等级是一级 有 ,共 6 个,
长势等级不是一级 的有 ,共 4 个,
随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5, ---------6 分
, ,
, ,
, （注：每一个正确得 1 分）
所以 的分布列为:
19. （ Ⅰ ） 证 明 ： 连 接 为 平 行 四 边 形 ， 且
为菱形 ….…2 分
又 ， 平面
……4 分
又 平面 …6 分
（Ⅱ）
两两垂直……8 分
以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
如图所示，则 ，设
易 知 ， ，
，则平面 的一个法向量
1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A
( 4)ω ≥ 2 3 4 6 7 9, , , , ,A A A A A A
( 4)ω < 1 5 8 10, , ,A A A A
1 1
3 2
1 1
6 4
1( 1) 4
C CP X C C
= = =
1 1 1 1
3 1 2 2
1 1
6 4
7( 2) 24
C C C CP X C C
+= = =
1 1 1 1 1 1
3 1 1 2 2 1
1 1
6 4
7( 3) 24
C C C C C CP X C C
+ += = =
1 1 1 1
2 1 1 1
1 1
6 4
1( 4) 8
C C C CP X C C
+= = =
1 1
1 1
1 1
6 4
1( 5) 24
C CP X C C
= = =
X
1BC 1 1BCC B
1 2BC CC= = 1 1BCC B∴ 1 1BC B C⊥
1 1A B B C⊥ 1B C∴ ⊥ 1 1AC B
1 1 1B C AC∴ ⊥
1 1 1 1AC C B⊥ 1 1AC∴ ⊥ 1 1CBB C 1 1 1AC CC∴ ⊥
1 2 3A B = 1 1 2AC = 1 2 2BC∴ = 1CC BC∴ ⊥
1AC CB CC∴ 、 、
C CA x C xyz−
1 1(0,0,0), (2,0,0), (0,2,2), (0,0,2), (0,2,0)C A B C B (0,0, )E a
1 1( 2,0, ), ( 2,2,2), (0,-2,2),AE a AB BC= − = − =
1 1BC AB C⊥ 平面
1 (0, 2,2)BC = −
1AB C (0, 1,1)m = −
z
y
x
B1C1
A1
BC
A
E设 是平面 的一个法向量
则 得 ……10 分
，解得：
在棱 上存在点 ，当 时，得二面角 的大小为 .……12 分
21.解：（1）由 的面积可得： -① ---2 分
又椭圆 C 过点 , ---② --------3 分
由①②解得 ，所以椭圆 C 标准方程为 -----4 分
（2）设直线 l 的方程为 ，则原点到直线 l 的距离
所以 ------6 分
将 代入椭圆方程 ，得
由判别式 ，解得
由直线直圆相交得 ，所以 ----8 分
设 ，则
所以
所以 因为 ，所以 则
当 时， 取得最小值 ，此时直线 方程为 ----------12 分
22.解：（1） 的定义域为
( , ,1)n x y=
1AB E
1
0
0
n AE
n AB
⋅ = ⋅ =
2 0
2 2 2 0
x a
x y
− + =∴− + + = ( , 1,1)2 2
a an = −
2 2
| 2 || | 32| cos , | 2| || | 2 ( ) ( 1) 12 2
a
m nm n
m n a a
−⋅< > = = =
+ − +
1a =
∴ 1CC E 1CE = 1E AB C− − 30
1 2PF F∆ 2 21 2 1 2, 2, 42 c c a b× × = = ∴ − =
( 6, 1)P −
2 2
6 1 1a b
∴ + =
2 2, 2a b= =
2 2
18 4
x y+ =
y x m= + | |
2
md =
2
2| | 2 2 8 22
mAB m= − = −
y x m= +
2 2
18 4
x y+ = 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − =
2 216 12(2 8) 0m m∆ = − − > 2 3 2 3m− < <
| |, 2, 2 2
2
md r m< < − < < ( 2,2)m∈ −
1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y
2
1 2 1 2
4 2 8,3 3
m mx x x x
−+ = − =
2 2
2 2
1 2 1 2
16 8 32 4| | 2 ( ) 4 2 129 3 3
m mCD x x x x m
−= + − = − = −
2
22
4 12| | 2 2 83 1| | 3 48 2
mCD
AB mm
λ
−
= = = + −− 2 2m− < < 20 4 4,m< − ≤
0m = λ 2 6
3
l y x=
( )f x R ' ( ) (m 1)= − − xf x x e令 ，解得 ；令 ，解得
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
；无极小值 ---------------4 分
（2） ，因为 ，所以 （ ）恒成立
设 ，则
设 则 所以 在 上单调递增，
又 以存在
使得 ，当 时， ；当 时，
所以 在 上单调递减， 上单调递增所以 又
， 所以
令 则 ，所以 在 上单调递增
所以 ，即
因为 ，所以 ，所以 的最大值为 2 ------------12
0xe > 0x >
0> (0, )+∞
0(1, )x x∈ 0( , )x x∈ +∞
0(1, )x 0( , )x +∞
0( )h x′
m Z∈ 2m ≤ m
'( ) 0>f x 1< −x m '( ) 0 −x m
( , 1)∈ −∞ −x m ( )f x ( 1, )∈ − +∞x m ( )f x
1( ) = ( 1)极大值
−∴ − = mf x f m e
( ) 4− < +xm x e x
4+< +x
xm xe
4g( )
+= +x
xx xe
3 3g'( ) 1
+ − −= − + =
x
x x
x e xx e e
h( ) 3= − −xx e x h'( ) 1= −xx e ( )h x
23(1) 4 0, ( ) 4.4817 4.5 0, (2) 52
= − < ≈ − < = −h e h h e 0
3( ,2)2
∈x
0( ) 0=h x ( ) 0h x
g( )x 0
0
min 0
4g( )
+= +x
xx xe
0( ) 0=h x 3= +xe x 0
0 0
min 0 0 0
0 0
4 4 1g( ) 13 3
+ += + = + = + ++ +x
x xx x x xe x x
1 3t( ) 1 , ( ,2)3 2
= + + ∈+x x xx '( ) 0>t x ( )t x
3( ,2)2
3( ) ( ) (2)2
<
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