数学（文）试题
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。（ )
1. 若集合 ，且 ，则集合 可以是
A． B． C． D．
2． 已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ )
A. B. C. D.
3． 设 满足约束条件 , 则 的最小值是（ )
A. B. C. D.
4. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C． D.
5．若 是定义在 上的偶函数，在 为增函数，则 的
解集为（ )
A. B. C. D.
6． 已知椭圆 与圆 ，若椭圆 上存在点 P，
使得由点 P 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率最小值为( )
A． B． C． D．
7． 的三内角 的对边分别为 ,其中 . 为
的外接圆圆心,则 ( )
A. B. C. D. 6
{ | 0}B x x= ≥ A B A= A
{1,2} { | 1}x x ≤ { 1,0,1}− R
1
iz i
= − i z
1
2 i 1
2 i− 1
2
1
2
−
,x y
3 0
0
2
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
3z x y= +
5− 4 3− 11
0.2
1.2
5
12 , , 2 log 22a b c
− = = = , ,a b c
c b a< < b a c< < c a b< < b c a< <
)(xf [ ]2,2- [ ]0,2- )2()1( xfxf ≤−
−
3
2,1
−
3
1,1 [ ]1,1−
1,3
1
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 2 2
2 :C x y b+ = 1C
2C 1C
3
3
2
3
2
2
2
1
ABC△ , ,A B C , ,a b c 3, 2b c= = O ABC△
AO BC⋅ =
13
2
5
2
5
2
−8. 执行如图所示的程序框图，当输出 时，则输入 的值可以为( )
A. B. C. D.
9． 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图,
则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10．已知锐角 满足 ，则 等于( )
A. B. C. D.
11．抛物线 焦点 与双曲线 一个焦点重合，过点
的直线交 于点 、 ，点 处的切线与 、 轴分别交于 、 ，若
的面积为 4，则 的长为( )
A． B． C． D．
12．已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，记数
列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分。
13．学校艺术节对同一类的 四件参赛作品，只评一件一等奖，在
评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
210S = n
6 7 8 9
14
3
π 10
3
π 8
3
π 5
3
π
α cos( ) cos24
πα α− = sin cosα α
1
4
1
4
− 2
4
2
4
−
( )02: 2 >= ppyxC F 122 22 =− xy F
C A B A x y M N
OMN∆ AF
3 4 5 6
{ }na n 2
nS n n= − { }nb 1sin 2n n
nb a π+=
{ }nb n nT 2017T =
, , ,A B C D甲说：“ 或 作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等
奖”；
丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“ 作品获得一等奖”。
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 .
14．若直线 与圆 相切，且圆心 C 在直线 l 的
上方，则 ab 的最大值为___________．
15．在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD 沿 BD
折成直二面角 A-BD-C，则三棱锥 A-BDC 外接球的表面积是 .
16． 已知 的左、右焦点为 ， ，点 是双曲线左支上
的一点，若直线 与直线 平行且 的周长为 ，则双曲线的离心
率 e 为______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在 中 的对边分别 ，若 ，
， ，（1)求 (2)求 的值．
18.等差数列 的前 n 项和为 ，且 ．
(I)求 的通项公式；
(II)若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 ．
19．“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的
交通方式。某机构为了调查人们对此种交通方式的
满意度，从交通拥堵不严重的 A 城市和交通拥堵严
重的 B 城市分别随机调查了 20 个用户，得到了一个
用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的
大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
C D B
A D C
2 0l x y+ =： ( ) ( )2 2: 10C x a y b− + − =
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
1F 2F A
1AF
by xa
=
1 2AF F∆ 9a
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2)()62sin(2)( −=+= Cfxxf ，π
7=c sin B = 2sin A C a
{ }na nS 3 69, 60a S= =
{ }na
{ }nb ( )1 1 3n n nb b a n N b+ +− = ∈ =且 1
nb
nT
A城市 B城市
4
5
6
7
8
9
6 8
1 3 6 4 3
2 4 5 5 6 4 2
3 3 4 6 9 6 8 8 6 4 3
3 2 1 9 2 8 6 5 1
1 3 7 5 5 2（2）若得分不低于 80 分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则
认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此 2×2 列联表，
并据此样本分析是否有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
A B 合计
认可
不认可
合计
（3）在 A，B 城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取 6
人，若在此 6 人中推荐 2 人参加“单车维护”志愿活动，求 A 城市中至少有 1 人
的概率。参考数据如下：（下面临界值表供参考）
0.10 0.05 0.025 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 7.879 10.828
20．在如图如示的多面体中，平面 平面 ，四边形 是边长为
的正方形， ∥ ,且 . （1）若 分别是 中
点，求证： ∥平面 （2）求此多面体 的体积
21．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆经过
点 ，且 的面积 ．（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设斜率为 的直线 与以原点为圆心，半径为 的圆交于 两点，
与椭圆 交于 两点，且 ，当 取得最小值时，求直
线 的方程．
22．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；（2）设 ，若函数
在 内有两个极值点 ，求证： .
2( )P K k≥
k
AEFD ⊥ BEFC AEFD
2 EF BC 1 22BE CF BC= = = ,M N ,AE CF
MN ABCD ABCDEF
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F
( 6, 1)P − 1 2PF F∆ 2 C
1 l 2 ,A B
C ,C D | | | | ( *)CD AB Rλ λ= ∈ λ
l
2
( ) ( 0, )x
x ax af x x a Re
− + −= > ∈
1a = ( )f x ( ) ( )( ) 1
f x f xg x x
′+= − ( )g x
(0,1) (1, )+∞ 1 2,x x 1 2 2
4( ) ( )g x g x e
=′
(0,1),(2, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > (1,2)x∈ ( ) 0f x′ <
( )f x (0,1),(2, )+∞ (1,2) 所以 在 上有极大值 ，极小值 ---------5 分
（2） ， -------------7 分
设 ，
由已知 在
上有两个不相等的实根
所以 ，解得
而 1 不能是方程的根，即 , 综上 ----------9 分
---------------11 分
----------------------------12 分
( )f x (0, )+∞
1(1)f e
= − 2
3(2)f e
= −
( ) ( ) 2( ) 1 ( 1) x
f x f x x ag x x x e
′+ − += =− −
2
2
2 (2 ) 2( ) ( 1) x
x a xg x x e
− + +′ = −
2( ) 2 (2 ) 2h x x a x= − + +
2( ) 0,2 (2 ) 2 0h x x a x= − + + = (0,1) (1, )+∞
1 2,x x
2
1 2
1 2
( 2) 16 0
2 02
1 0
a
ax x
x x
∆ = + − >
+ + = >
= > 2a >
2a ≠ 2a >
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( 2 )( 2 ) 4 2 ( )( ) ( ) ( 1) ( 1) [ ( ) 1]x x x x
x a x a x x a x x ag x g x x e x e x x x x e +
− + − + − + += =− − − + +
2 2
2 2
2(2 ) 4
2(2 )2
a a
a
a e e
+ +
−= =+−
2,a > ∴
1 2 2 2
2
4 4( ) ( ) ag x g x ee
+=
微信/支付宝扫码支付