2019-2020 学年湖北省部分重点中学高三（上）期末
数学试卷（理科）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. i2020=（ ）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2. 已知集合 A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则 A∩B=（ ）
A. （1，4） B. （2，4） C. （1，2） D. （1，+∞）
3. 若 a=ln2， ， 的大小关系为（ ）
A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a
4. 当 0＜x＜1 时，则下列大小关系正确的是（ ）
A. x3＜3x＜log3x B. 3x＜x3＜log3 x
C. log3 x＜x3＜3x D. log3 x＜3x＜x3
5. 已知 cos（ -α）=2cos（π+α），且 tan（α+β）= ，则 tanβ 的值为（ ）
A. -7 B. 7 C. 1 D. -1
6. 将函数 f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象，则函数 f（x）的一个单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
7. 设向量 =（1，-2）， =（a，-1）， =（-b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞
0，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
8. 若数列{an}满足 - =d（n∈N*，d 为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列{ }
为调和数列，且 x1+x2+…+x20=200，则 x5+x16=（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
9. 设函数 f（x）=x2+2cosx，x∈[-1，1]，则不等式 f（x-1）＞f（2x）的解集为（ ）
A. （-1， ） B. [0， ） C. （ ] D. [0， ]
10. 设椭圆 的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA 为直径
的圆与椭圆在 x 轴上方部分交于 M、N 两点，则 的值为（ ）A. B. C. D.
11. 已知向量 、 、 满足 ， ， ，E、F 分别是线段 BC、CD
的中点．若 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知变量 x1，x2∈（0，m）（m＞0），且 x1＜x2，若 x1 ＜x2 恒成立，则 m 的最大值
为（ ）
A. e B. C. D. 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知数列{an}满足 a1=1，前 n 项和未 sn，且 sn=2an（n≥2，n∈N*），则{an}的通项公式
an=______．
14. 已知边长为 3 的正△ABC 三个顶点都在球 O 的表面上，且 OA 与平面 ABC 所成的角为
30°，则球 O 的表面积为______．
15. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现 0.618
就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 a=2sin18°，若 a2+b=4，则
=______．
16. 如图，已知双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆
心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若∠PAQ=60°，且 =3 ，则双曲线的
离心率为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 满足 ．
（1）求 A．
（2）若△ABC 的面积 ，求△ABC 的周长．
18. 棋盘上标有第 0，1，2，…，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳
棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到
第 99 站或第 100 站时，游戏结束．设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望；（2）证明： ;
（3）求 P99，P100 的值．
19. 如图，已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截
面）BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线 CC1 的中
点，已知 AB=AC=AA1=4
（1）求证：B1O⊥平面 AEO
（2）求二面角 B1-AE-O 的余弦值．
20. 椭圆 C 焦点在 y 轴上，离心率为 ，上焦点到上顶点距离为 2- ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l 与椭圆 C 交与 P，Q 两点，O 为坐标原点，△OPQ 的面积 S△OPQ=1，则|
|2+| |2 是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx- ex，其中 e 为自然对数的底数．
（1）∀x1∈[- ，0]，∃x2∈[0， ]，使得不等式 f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围；
（2）若 x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．
22. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ．
（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，点 P（1，2），求|PA|+|PB|的值．
23. 已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-4|．
（1）解不等式 f（x）≤6；
（2）若不等式 f（x）+|x-4|＜a2-8a 有解，求实数 a 的取值范围．答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1．
故选：A．
直接利用虚数单位 i 的运算性质求解．
本题考查虚数单位 i 的运算性质，是基础的计算题．
2.【答案】B
【解析】解：由 A 中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即 1＜x＜4，
∴A=（1，4），
由 B 中 y=3x+2＞2，得到 B=（2，+∞），
则 A∩B=（2，4），
故选：B．
求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：a=ln2＞ln = ， = ＜ ， = =
∴a＞c＞b，
故选：A．
利用指数、对数函数的性质，判断 a＞ ，b＜ ，利用定积分的性质求得 c= ，即可判断 a、b
和 c 的大小．
本题考查求定积的值及指数函数的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x，
∴log3x＜x3＜3x，
故选：C．
利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
5.【答案】B
【解析】解：∵已知 cos（ -α）=2cos（π+α），即 sin α=-2cosα，即 tan α=-2．
又∵tan（α+β）= = = ，则 tanβ=7，
故选：B．
由题意利用诱导公式求得 tanα 的值，再利用两角和的正切公式，求得 tanβ 的值．本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考察学生的运算
能力和转换能力，属于基础题．
利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．
【解答】
解：函数 f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象，
即：把函数 的图象，向左平移 个单位，即得到 f（x）的图象，
故： =sin（2x+ ），∴
令： （k∈ ），
解得： （k∈ ），
当 k=0 时， ，
故选 A．
7.【答案】C
【解析】解： =（a-1，1）， =（-b-1，2），
∵A，B，C 三点共线，∴2（a-1）-（-b-1）=0，化为：2a+b=1．
又 a＞0，b＞0，则 + =（2a+b） =4+ + ≥4+2 =8，当且仅当 b=2a= 时取等号．
故选：C．
利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知：
∵数列{ }为调和数列
∴ - =xn+1-xn=d
∴{xn}是等差数列
又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20
又∵x1+x20=x5+x16
∴x5+x16=20
故选：B．
由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{xn}是等差数列，运用等差数列
的性质可求解答案．
本题主要考查新数列定义，及等差数列的重要性质，属中档题型．
9.【答案】B
【解析】解：函数 f（-x）=（-x）2+2cos（-x）=x2+2cosx=f（x），
则函数 f（x）是偶函数，
函数的导数 f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx），
[f′（x）]′=2-2cosx≥0，即 f′（x）在[-1，1]是为增函数，
则当 0≤x≤1 时，f′（x）≥f′（0）=0，即 f（x）在[0，1]上为增函数，
则不等式 f（x-1）＞f（2x）等价为 f（|x-1|）＞f（|2x|），
得 得 ，得 得 ，
得 0≤x＜ ，
又
即不等式的解集为[0， ），
故选：B．
根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用进行和单调性进行
转化是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点，
则 M、N 重合（设为 M），此时 A 为椭圆的右焦点，则
= = ．
故选：A．
若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点，则 M、N 重合（设为 M），此
时 A 为椭圆的右焦点，由此可知 = ，从而能够得到结果．
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．
11.【答案】A
【解析】解：如图，
=．
由 ， ，可得
∴cos = ，则 ，
从而向量 与向量 的夹角为 ．
故选：A．
由题意画出图形，结合 求得 ，从而向量 与向量 的夹角为
．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题．
12.【答案】A
【解析】解：对不等式两边同时取对数得 lnx1 ＜lnx2 ，
即 x2lnx1＜x1lnx2，
即 ＜ 恒成立，
设 f（x）= ，x∈（0，m），
∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数 f（x）在（0，m）上为增函数，
函数的导数 f′（x）= = ，
由 f′（x）＞0 得 1-lnx＞0 得 lnx＜1，
得 0＜x＜e，
即函数 f（x）的最大增区间为（0，e），
则 m 的最大值为 e
故选：A．
在不等式两边同时取对数，然后构造函数 f（x）= ，求函数的导数，研究函数的单调性即
可得到结论．
本题主要考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导
数研究函数的单调性是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：当 n≥2 时，sn=2an，……①
令 n=2，则 s2=a1+a2=1+a2=2a2，故 a2=1，
令 n≥3，则 sn-1=2an-1，……②
①-②得：an=2an-2an-1，
即 an=2an-1，
即从第二项开始，数列{an}成以 1 为首项以 2 为公比的等比数列，故 an= ，
故答案为： ．
由已知可得数列{an}满足 a1=1，从第二项开始，数列{an}成以 1 为首项以 2 为公比的等比数
列，进而得到答案．
本题考查的知识点是数列的递推式，本题要注意数列并非等比，而是从第二项开始才是等比
数列．
14.【答案】16π
【解析】解：边长为 3 的正△ABC 的外接圆的半径为 = ，
∵OA 与平面 ABC 所成的角为 30°，
∴球 O 的半径为 =2，
∴球 O 的表面积为 4πR2=16π．
故答案为：16π．
求出边长为 3 的正△ABC 的外接圆的半径，利用 OA 与平面 ABC 所成的角为 30°，求出球 O
的半径，即可求出球 O 的表面积．
本题考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，求出球 O 的半径是关键．
15.【答案】
【解析】解：∵a=2sin18°，若 a2+b=4，
∴b=4-a2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°，
∴ = = = ，
故答案为： ．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求 b=4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍
角的正弦函数公式化简得答案．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在
三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为∠PAQ=60°且 =3 ，
所以△QAP 为等边三角形，
设 AQ=2R，则 OP=R，
渐近线方程为 y= x，A（a，0），取 PQ 的中点 M，则 AM=由勾股定理可得（2R）2-R2=（ ）2，
所以（ab）2=3R2（a2+b2）①
在△OQA 中， = ，所以 7R2=a2②
①②结合 c2=a2+b2，可得 e= = ．
故答案为：
确定△QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出
结论
本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1） ，
由正弦定理可得： ，∴ ，
∴ ，且 A∈（0，π），
∴ ，
（2） ，
∴bc=12，
又 a2=b2+c2-2bcosA，∴9=（b+c）2-3bc，
∴ ，
即△ABC 的周长为 ．
【解析】（1）结合已知及正弦定理进行化简可求 cosA，进而可求 A，
（2）结合三角形的面积公式可求 bc，然后结合余弦定理可求 b+c，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
18.【答案】解：（1）解：由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6，
P(X=3)=( )3= ，
P(X=4)= = ，
P(X=5)= = ，
P(X=6)=( )3= ．
∴X 的分布列如下：
X 3 4 5 6
P∴ ．
（2）证明：棋子先跳到第 n-2 站，再掷出反面，其概率为 ，
棋子先跳到第 n-1 站，再掷出正面，其概率为 ，
∴ ，即 ，
∴. ．
（3）解：由（2）知数列{Pn-Pn-1}（n≥1）是首项为{Pn-Pn-1}(n≥1)，
，公比为 的等比数列．
∴ ，
由此得到 ，
由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，
故 ．
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算
求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题．
（1）由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列
和数学期望．
（2）棋子先跳到第 n-2 站，再掷出反面，其概率为 ，棋子先跳到第 n-1 站，再掷出正
面，其概率为 ，从而 ，由此能证明.
（3）数列{Pn-Pn-1}（n≥1）是首项为{Pn-Pn-1}（n≥1）， ，公比为 的等
比数列，从而 ，由此能求出 P99，P100 的值．
19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面 ABC，
∠BAC=90°，
如图建立空间直角坐标系 A-xyz，因为 AB=AC=AA1=4，
则 A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1
（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2
分）
=（-2，2，-4）， =（2，-2，-2）， =（2，2，
0），（3 分）• =（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，
∴ ⊥ ，∴B1O⊥EO，
=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴ ⊥ ，∴B1O⊥AO，（5 分）
∵AO∩EO=O，AO，EO⊂平面 AEO，
∴B1O⊥平面 AEO．（6 分）
（2）由（1）知，平面 AEO 的法向量为 =（-2，2，-4），（7 分）
设平面 B1AE 的法向量为 =（x，y，z），
，
则 ，令 x=2，则 =（2，2，-2），（10 分）
∴cos＜ ＞= = = ，
∴二面角 B1-AE-F 的余弦值为 ．（12 分）
【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面 ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系 A-xyz，利用
向量法能证明 B1O⊥平面 AEO．
（2）求出平面 AEO 的法向量和平面 B1AE 的法向量，利用向量法能求出二面角 B1-AE-F 的
余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注
意向量法的合理运用．
20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得 ，
解得 ，
可得 b2=a2-c2=1，
即有椭圆 C 的标准方程为： ；
（Ⅱ）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）
（1）当 l 斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，
S△OPQ=|x1|•|y1|=1，
又 ，解得 ，
| |2+| |2=2（x12+y12）=2×（ +2）=5；
（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+m，由题意知 m≠0，将其代入 ，得
（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，
即有 ，
则 ，O 到 PQ 距离 ，
则 ，
解得 k2+4=2m2，满足△＞0，
则 ，
即有| |2+| |2=（x12+y12）（x22+y22）
=
= =-3+8=5，
综上可得| |2+| |2 为定值 5．
【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及 a，b，c 的关系，解得 a，b，
进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线 l 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代
入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式
和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值 5．
本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦
长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）f′（x）=excosx-exsinx-sinx-xcosx；
∵ ；
∴cosx≥0，sinx≤0，ex＞0；
∴excosx-exsinx-sinx-xcosx＞0；
即 f′（x）＞0；
∴f（x）在 上单调递增；
∴f（x）的最大值为 f（0）=1；
，设 h（x）=g′（x），则： ；
∵ ；
∴ ；∴h′（x）＜0；
∴h（x）在[0， ]上单调递减；
∴h（x）的最大值为 h（0）= ；
∴h（x）＜0，即 g′（x）＜0；
∴g（x）在[0， ]上单调递减；
∴g（x）的最大值为 g（0）= ；
根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；
∴ ；
∴ ；
∴实数 m 的取值范围为 ；
（2） ；
设 F（x）=ex-（x+1），则 F′（x）=ex-1；
∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；
∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为 F（0）=0；
∴F（x）≥0；
∴ex≥x+1 在 x∈（-1，+∞）上恒成立；
；
∴ ①，x=0 时取“=”；
∴ ；
= = ；
；
∴ ，该不等式和不等式①等号不能同时取到；
∴ ；
∴f（x）-g（x）＞0．
【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求 f（x），g（x）
的最大值：求导数 f′（x），容易说明 f′（x）＞0，从而可以得出 f（x）在 上单调递
增，从而可求出最大值为 1；同样的办法，求 ，可设 h（x）=g′（x），再
求导便可得出 h（x）＜0 在 上恒成立，从而得出 g（x）单调递减，从而可以得出最大
值为 g（0）= ，从而便可得到 1 ，这样便可得出实数 m 的取值范围；
（2）先求出 f（x）-g（x）= ，根据导数可以证明 ex≥x+1，而显
然 恒 成 立 ， 从 而 有
，而根据两角和的余弦公式即
可说明（x+1）（cosx+ ）-sinx（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不
同时取到，从而便证出 f（x）-g（x）＞0．
考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导
数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质．22.【答案】解：（1）∵直线 l 的参数方程为 （t 为参数），
由 得 ，
∴l 的普通方程为： ，
∵C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ，
∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，
∴C 的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0．
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，得：
，
∴ ，
∴ ，∴t1，t2 同号，
∴ ．
【解析】（1）由直线 l 的参数方程，能求出 l 的普通方程；由曲线 C 的极坐标方程，能求
出曲线 C 的直角坐标方程．
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，得 ，由此能求出
|PA|+|PB|的值．
本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能
力，考查化归与转化思想等．
23.【答案】解：（1）由已知得当 时，不等式 f（x）≤6 化为-3x+3≤6，
解得 x≥-1，所以取 ；
当 时，不等式 f（x）≤6 化为 x+5≤6，
解得 x≤1，所以取 ；
当 x＞4 时，不等式 f（x）≤6 化为 3x-3≤6，
解得 x≤3，不合题意，舍去；
综上知，不等式 f（x）≤6 的解集为[-1，1]．
（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，
当且仅当- ≤x≤4 时取等号；
由不等式 f（x）+|x-4|＜a2-8a 有解，则 a2-8a＞9，
即（a-9）（a+1）＞0，解得 a＜-1 或 a＞9；
所以 a 的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．
【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）≤6 的解集；（2）利用绝对值不等式求出 f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于 a 的不等式，求解集即
可．
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题．
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