江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷文科数学（五）（PDF版附解析）.pdf

— 高三文科数学(五)第 1 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(五) 命题人：南昌二中 周启新 审题人：八一中学杨平涛 立德朝阳胡玉玲 本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟． 注意事项： 1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答．若在试题卷上作答，答题无效． 2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回. 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．设  1,0,1,2U   ，集合  2| 1,A x x x U   ，则 UC A  A． 0,1,2 B． 1,1,2 C． 1,0, 2 D． 1,0,1 2. 在复平面内，复数 1 2i iz  对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 设函数 xxf 2log)(  ，在区间 )6,0( 上随机取一个自然数 x ，则 2)( xf 的概率为 A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 4. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍， 逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用 程序框图表达如图所示，即最终输出的 0x  ，则一开始输入的 x 的值为 A. 3 4 B. 7 8 C.15 16 D. 31 32 5. 已知 1ln 5 3ln 2, e ,5 8a b c   ，则 cba ,, 的大小关系为 A.b a c  B. a c b  C. a b c  D.b c a  6. 已知各项均为正数的等比数列 na 中， 1 3 2 13 , ,22a a a 成等差数 列，则 11 13 8 10 a a a a   = A． 27 B．3 C． 1 或3 D．1 或 27 7.已知 ( 11,1)a  ，| | 3b  ，且( 2 ) ( ) 3a b a b       ,则 a 与 b 的夹角为 A. 5 6  B. 2 3  C. 3  D. 6  — 高三文科数学(五)第 2 页(共 4 页) — 8.已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的左、右顶点分别为 21, AA ，且以线段 21 AA 为直径的圆与 直线 02  abaybx 相交，则C 的离心率范围为 A. )1,3 6( B. )1,3 3( C. )3 3,0( D. )3 6,0( 9.某小区计划建造一个椭圆形的花坛，O 为椭圆的中心，ON 位于椭圆的长轴上， MON 为直 角，欲在其中建立一个长方形的水池，如图已知矩形OAPB ，有 8, 6ON OM  则该矩形的最 大面积为 A．10 B．12 C． 20 D． 24 10. 已知复数 1 cos 2 ( )iz x f x  ， 2 ( 3 sin cos ) iz x x   ，xR .在复平面上，设复数 1z ， 2z 对 应的点分别为 1Z ， 2Z ，若 1 2 90Z OZ   ，其中O 是坐标原点，则函数 ( )f x 的最大值为 A． 1 4 B． 1 4 C． 1 2 D． 1 2 11.已知| | | | 2OA OB   ，点C 在线段 AB 上，且| |OC 的最小值为1，则| |OA tOB  (t R )的 最小值为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 12.已知双曲线C : 2 2 1( 0)x y mm    的离心率为 6 2 ，过点 (2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不 同的两点 A 、 B ,且AOB 为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是 A. 5 5( , )5 5 B. 5 5( ,0) (0, )5 5  C. 2 2( , )2 2 D. 2 2( ,0) (0, )2 2  二.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. x ， y 满足约束条件 1 1 2 2 x y x y x y          ，若目标函数 2z x y  的最大值为__________. 14. 设向量 (2 tan , tan )a   ，向量 (4, 3)b   ，且| | 0a b   ，则 tan( )   ________. 15. 定义在R 上的函数 )(xf 满足 ( ) ( )f x f x  ，且当 0x 时， 2 1, 1 0 ( ) 12 ( ) , 12 x x x f x x          ， 若对任意的 [ 1,1]n  ，不等式 ( ) ( )f n f m 恒成立，则实数 m 的取值范围是_________. 16.在棱长为 446  的密封直四棱柱容器内有一个半径为 1 的小球，晃动此容器，则小球可以经 过的空间的体积为___________. — 高三文科数学(五)第 3 页(共 4 页) — 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必做部分 17. （本小题满分 10 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边 分别是 a ， b ， c ，且 tan 3( cos cos )b B a C c A  ． （Ⅰ）求角 B ； （Ⅱ）若函数 ( ) 2sin(2 ) 2cosπ 26f x x x   ,且 6( )2 5f A  ，求cos( )6 πA 的值． 18. （本小题满分 12 分）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是菱形， 1 4AA  ， 2AB  ， 60BAD   ， E ， M ， N 分别是 BC ， 1BB ， 1A D 的中点. （Ⅰ）证明： / /MN 平面 1C DE ； （Ⅱ）求点 N 到平面 1C DE 的距离． 19. （本小题满分 12 分）南昌市教育局为了了解中学生对某项活动的兴趣，随机从南昌二中抽取 了 100 人进行调查，经统计男生与女生的人数比为9 :11，男生中有 25 人表示对这项活动没有兴 趣，女生中有 40 人对这项活动有兴趣. （Ⅰ）完成 2 2 列联表，并判断能否有99%把握认为“对这项活动是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没有兴趣 合计 男 25 女 40 合计 100 （Ⅱ）用分层抽样的方法从样本中对这项活动有兴趣的学生中抽取 6 人，求抽取的男生和女生分 别为多少人？若从这 6 人中选取 3 人作为这项活动的宣传员，求选取的 3 人中恰好有 1 位男生和 2 位女生的概率. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d     2 0P k k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 — 高三文科数学(五)第 4 页(共 4 页) — 20.（本小题满分 12 分）设抛物线 2 4：C y x ，过点 )0,4(P 且斜率为 k 的直线l 与C 交于 A ，B 两点． （Ⅰ）若 1k ，求弦长 AB ； （Ⅱ）在 x 轴上是否存在一点Q ，满足 BQPAQP  ？若存在，求出Q 的坐标，若不存在， 说明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 21( ) e 22 xf x x x   . （Ⅰ）求证： )(xf 存在唯一极值点； （Ⅱ）当 0x 时， 1)(  axxf 恒成立，求 a 的取值范围. （二）选做部分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为           2 2 2 2 1 323 1 1 t tty t tx （t 为参数）．以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 02sincos   （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 (2,4)P ，设曲线C 与直线l 交于 A ， B 两点，求| | | |PA PB . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设函数 1( ) | 3 | 2 | |2f x x x    ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的取值范围； （Ⅱ）若任意 ,s t R ，不等式 (| 1| |1 |) ( )k t t f s    恒成立，求 k 的取值范围． — 高三文科数学(五)第 5 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(五)参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C A A B A D B B D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分) 13． 10 14． 1 7 15．( , 1] [1, )   16． 2856 3 π 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解析】（Ⅰ） tan 3( cos cos )b B a C c A  ， 由正弦定理得  sin tan 3 sin cos sin cosB B A C C A  ，  sin tan 3sin 3 sinB B A C B    ， π0 C  ， sin 0B  ， tan 3B  ， π 3B  . （Ⅱ） ( ) 2sin(2 ) 2cos2 2sin2 cos 2cos2 sin 2cos26 6 6 π π πf x x x x x x      π3sin2 cos2 2sin(2 )6x x x    ， 6( ) 2sin π( )2 6 5 Af A   π 3sin( )6 5A   由（Ⅰ）得 π 3B  , 2(0, )3 πA  , (π π π, )6 6 2A    ， 2π π 4cos( ) 1 sin ( )6 6 5A A      π π πcos( ) cos( ) cos( )cos sin( )sin6 6 3 6 3 π π π 6 3 πA A A A         4 1 3 3 4 3 3 5 2 5 2 10      18．【解析】（Ⅰ）连接 ME ， 1B C M ， E 分别为 1BB ， BC 中点， ME 为 1B BC 的中位线 1//ME B C 且 1 1 2ME B C ，又 N 为 1A D 中点， 且 1 1/ /A D B C ， 1/ /ND B C 且 1 1 2ND B C — 高三文科数学(五)第 6 页(共 4 页) — / /ME ND 四边形 MNDE 为平行四边形 / /MN DE ，又 MN 平面 1C DE ， DE  平面 1C DE / /MN 平面 1C DE （Ⅱ）在菱形 ABCD 中， E 为 BC 中点，所以 DE BC ， 根据题意有 3DE  ， 1 17C E  ，因为棱柱为直棱柱，所以有 DE  平面 1 1BCC B ， 所以 1DE EC ，所以 1 1 3 172DECS    ，由（1）知 / /MN 平面 1C DE ， 所以点 N 到平面 1C DE 的距离=点 M 到平面 1C DE 的距离， 设点 M 到平面 1C DE 的距离为 d ，根据题意有 1 1M C DE D C MEV V  ， 又 1 1 1 11 1C ME BME C CE B C MBCB CS S S S S      四边形 1 1 12 4 1 2 1 4 2 2 32 2 2            ， 则有 1 1 13 17 3 33 2 3d       ，解得 6 6 17 1717 d   ， 所以点 N 到平面 1C DE 的距离为 6 17 17 . 19．【解析】（Ⅰ）根据题意得如下 2 2 列联表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 所以 2 2 100(20 15 25 40) 8.25 6.63545 55 60 40K        ， 所以有99%把握认为“对这项活动是否有兴趣与性别有关”， （Ⅱ）对这项活动有兴趣的学生共 60 人，从中抽取 6 人，抽取的男生数、女生数分别为： 6 20 260   ， 6 2 4  . 记男生为 a ，b ；女生为 A ， B ，C ， D ，则从中选取 3 人的基本事件 为 aAB ， aAC ， aAD ， aBC ， aBD ， aCD ，bAB ，bAC ，bAD ，bBC ，bBD ，bCD ， abA ， abB ， abC ， abD ， ABC ， ABD ， ACD ， BCD 共 20 个 含有 1 男 2 女的基本事件为：aAB ，aAC ，aAD ，aBC ，aBD ，aCD ，bAB ，bAC ，bAD ， bBC ，bBD ，bCD ，共 12 个 记“对这项运动有兴趣的学生中抽取 6 人做宣传员，恰好 1 男 2 女”的事件为 M ，则 3( ) 5P M  ， 所以选取的 6 人中恰好有 1 位男生和 2 位女生的概率为 3 5 . — 高三文科数学(五)第 7 页(共 4 页) — 20．【解析】（Ⅰ）由已知可知 AB 的方程为： 4y x  ，并设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立方程：      xy xy 4 4 2 ，消元可得： 016122  xx 由韦达定理： 16,12 2121  xxxx .则 2 2 1 2 1 2( 1)[( ) 4 ] 4 10AB k x x x x     ； （Ⅱ）假设存在，并设 )0,(aQ ， AB 的方程为： )4(  xky ，并设 ),(),,( 2211 yxByxA 联立方程：      xy xky 4 )4( 2 消元可得： 016)48( 2222  kxkxk 由韦达定理： 16,48 212 2 21  xxk kxx ，由 BQPAQP  可知 0)4()4( 2 2 1 1 2 2 1 1    ax xk ax xk ax y ax ykk BQAQ ， 化简可得： 08))(4(2 2121  axxaxx ， 代入可得： 08)48)(4(32 2 2  ak ka ，即 0)4(4 2  ka ）（ ，所以 4a . 故存在这样的点Q ，且Q 的坐标为( 4,0) . 21．【解析】（Ⅰ）证明： ' ( ) e 2xf x x   ，易知 )(' xf 为增函数， ' '(0) 1 0, (1) e 1 0f f      ，由零点存在定理知   0f x  有唯一解. 所以 )(xf 有唯一极值点. （Ⅱ）构造 21( ) ( ) 1 e 2 12 xg x f x ax x x ax        ，则 (0) 0.g  又 ' ( ) e 2xg x x a    ，易知 )(' xg 为增函数. 当 ' (0) 1 0g a    时，即 1a ，则有 )(xg 在 ,0 递增，    0 0g x g  ， 故 0)( xg 恒成立. 当 ' (0) 1 0g a    时，即 1a ，则存在 00 x 满足 0)( 0 ' =xg ，即 )(xg 在  0,0 x 递减，在  ,0x 递增，则 0)0()( 0  gxg ，与已知矛盾. 综上所述： 1.a   22．【解析】（Ⅰ）因为曲线 C 的参数方程为           2 2 2 2 1 323 1 1 t tty t tx （t 为参数）， 2 2 11 11 t t    ，所以 2 2 2 2 2 2 2 1 2( 3) ( ) ( ) 11 1 t tx y t t       ， 所以曲线 C 的普通方程为 2 2( 3) 1 ( 1)x y x      . 因为直线 l 的极坐标方程为 02sincos   , 所以直线 l 的直角坐标方程为 2 0x y   ； — 高三文科数学(五)第 8 页(共 4 页) — （Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线 l 的参数方程为 22 2 24 2 x t y t       ，代入到 2 2( 3) 1x y   ，得到 2 22 2(2 ) (4 3) 12 2t t     ，即 2 3 2 4 0t t   ，设点 A 、B 所对应的参数分别为 1t 、 2t ， 则有 1 2 1 2 3 2 0 4 0 t t t t        ，所以  1 2 1 2 3 2PA PB t t t t       . 23．【解析】（Ⅰ） 1( ) | 3 | 2 | |2f x x x    ,当 1 2x  时， ( ) 3 4,f x x   当 1 32 x  时， ( )= 2,f x x  当 3x  时， ( )=3 4,f x x  ( )f x 的最小值为 5 2 5( ) 2f x  . （Ⅱ）由题意知：对于任意 ,s t R ，不等式 (| 1| |1 |) ( )k t t f s    恒成立， 等价于 5(| 1| |1 |) 2k t t    恒成立，设 | 1| |1 |u t t    ， 则 | 1| |1 | 2u t t     ，所以 2 2u   ， 所以有 52 2k  且 52 2k  ，解得 5 5 4 4k   . — 高三文科数学(五)第 9 页(共 4 页) — 高三文科数学（五）选择填空详细解析 1.B 【 解 析 】 集 合 }2,1,0,1,2{ A ， }11|{}1|{ 2  xxxxB ， 图 形 表 示 }2,2{},|{  BxAxx 且 ,故选 B. 2.C【解析】 2 2 1 2i i 2i 2 ii iz       . 3.C 【解析】已知 2( ) logf x x ，在区间 (0,6) 上随机取一个自然数 x ，有1,2,3,4,5五个数， ( ) 2f x  即 0 4x  ，有1,2,3共三个数，所以概率 3 5 .故选择 C. 4.C 【解析】 1, 2 1i x x   ， 2, 2 (2 1) 1 4 3i x x x       ， 3, 2 (4 3) 1 8 7i x x x       ， 4, 2 (8 7) 1 16 15i x x x       ，当16 15 0x   时，解得 15 16x  . 5.A【解析】依题意，已知 ln 5 5a  ， 1b e ， 3ln 2 ln 8 8 8c   ， 令 ln( ) xf x x ，所以 2 1 ln'( ) xf x x  .所以函数 ( )f x 在(0,e) 上单调递增，在(e, ) 上单调递减. 所以 max 1[ ( )] (e) ef x f b   ，且 (3) (8)f f ，即 a c ，所以b a c  . 6.A【解析】由题意，得 3 1 23 2a a a  ，即 2 1 1 13 2a q a a q  ，解得 3q  或 1q   （舍去）， 则 11 13 8 10 a a a a   ＝ 3 5 38 8 2 8 8 27a q a q qa a q    ，故选 A． 7.B【解析】由( 2 ) ( ) 3a b a b       得 2 2 2 3      a a b b ,又 ( 11,1),| | 3,a b   所以 1cos , 2a b    即 a 与 b 的夹角为 2 3  ，所以选 B. 8.A【解析】根据题意：原点到直线距离小于半径即 a ba abd    22 |2| 即 2222 3,|2| abbab  则 ， 3 2 3 111 2 2 2  a be 得到 )1,3 6(e . 9.D【解析】设 ),sin6,cos8( P  2sin24sin6cos8 OAPBS矩形 ， 当 24,4  OAPBS矩形最大 ，故选 D. 10.B【解析】据条件， 1(cos ,2 ( ))Z x f x ， 2 3 sin( , )cos 1x xZ  ，且 1 2OZ OZ ， 所以，cos ( 3 sin cos ) 2 ( ) 0x x x f x    ，化简得， 1 1( ) sin(2 )2 6 4 πf x x    ， 当sin(2 ) 1π 6x    时， 1 1( ) sin(2 )2 6 4 πf x x    取得最大值为 1 4 . 11.B【解析】∵ 2OA OB   ，∴ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上．∵ 点C 在线段 AB 上,且 OC— 高三文科数学(五)第 10 页(共 4 页) — 的最小值为 1，∴ 当 C 是 AB 的中点时 OC 最小，此时 1OC  ，∴ OB 与OC 的夹角为60， ∴ ,OA OB  的夹角为120 ．又 2 2 22 2OA tOB OA t OB tOA OB          24 4 2 2 cos120t t      24 2 4t t   214( ) 3 32t    ，当且仅当 1 2t   时等号成立． ∴ 2 OA tOB  的最小值为 3，∴ OA tOB  的最小值为 3 ． 12.D【解析】解法一：由题意得，双曲线 C: 2 2 12  x y ， 设直线 l： 2 x ty ，与双曲线 C 联立得： 2 22 4 2 0   t y ty ， 设点    1 1 2 2, , B ,A x y x y ，则   2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 8, 2 42 2         ty y x x t y y t y yt t ， 又因为AOB 为钝角，所以 1 2 1 2 0 x x y y ， 即 2 2 2 6 02    t t 得出 2 2 0t   ，所以直线 l 的斜率 2 2 1 1 2k t  ，解得 2 2 2 2k   ， 又因为 0k  时， AOB 不是钝角，所以直线 l 斜率的取值范围是 2 2( ,0) (0, )2 2  ，故选 D. 解法二：由题意得，双曲线 C: 2 2 12  x y ，两条渐近线方程为 2 2y x  ，点(2,0) 在双曲线内 部，若直线l 与双曲线一支交于 A 、 B ，则 o90AOB  ，不合题意；若直线l 与双曲线左右两 支分别交于 A 、B ，则 o90AOB  恒成立，所以 2 2 2 2k   ；又因为 0k  时， AOB 不 是钝角，所以直线 l 斜率的取值范围是 2 2( ,0) (0, )2 2  ，故选 D. 13．10【解析】作出不等式组 1 1 2 2 x y x y x y          表示的平面区域， 得如图的 ABC 及其内部，其中      1,0 , 0,1 , 3,4A B C ， 将直线 yxz  2 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数 z 达到最大值为 10. 14． 7 1 【解析】：由| | 0a b   ，得 2 tan 4 0   ， tan 3 0   ， 所以 3tan,2tan   ，所以 7 1)tan(   . 15. ( , 1] [1, )   【解析】由题意得，函数 )(xf 为定义在 R 上，在区间 ( ,0] 单调递增的 偶函数，由不等式 )()( mfnf  恒成立，得 00  mn ，对任意的 ]1,1[n 恒成立， 1|| m , 得到 1,1  mm 或 . — 高三文科数学(五)第 11 页(共 4 页) — 16. 2856 3 π 【解析】容器内的八个角附近区域不满足题意，其 3 1 π1 4 48(1 1 ) 88 3 π 3V       ； 容器内的十二条棱附近的区域不满足题意，其体积 2 2 2 8(1 ) 2 4(1 ) 4 32 84 4 π π πV         ， 则小球可以经过的空间的体积为 1 2 286 4 5 π4 6 3V V V       .