北京市石景山区2019-2020高一上学期期末考试数学试题（Word版带解析）.doc

石景山区 2019—2020 学年第一学期高一期末试卷 数学 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一：选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ， ，那么集合 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 B，根据并集运算求解即可. 【详解】因为 ， 所以 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题. 2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.35，则仅用非现金支付的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】 利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率 【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率 为 0.35， ∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5． 故选：C { }1, 0,1A = − { }| 3B x x= ∈ ( )0ay x x= ≥ 1a > ( )log 0ay x x= > 0 1a< < ( )0ay x x= ≥ 0 1a< < ( )log 0ay x x= > 1a > ( )0ay x x= ≥ 0 1a< < ( )log 0ay x x= > 0 1a< 【解析】 【分析】 由题意设 ，根据 求出解析式，即可比较 ， 的大小. 【详解】因为函数 是指数函数， 设 ， 则 ， ABCD (1,2)AB = (2,3)AD = AC = (3,5) AC AB AD= +   ABCD AC AB AD= +   (1,2)AB = (2,3)AD = AC = (2,3)(1,2) (3,5)=+ (3,5) ( )f x (3) 9 (1)f f= (8)f (4)f > = < ( ) xf x a= (3) 9 (1)f f= (8)f (4)f ( )f x ( ) xf x a= 3 1(3) 9 9 (1)f a a f= = =解得 或 （舍去） 所以 ，是增函数， 所以 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题. 13.已知 ，且 ，则 的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 由 ， 为定值，运用均值不等式求 的最大值即可. 【详解】 , , ,当且仅当 时，等号成立， 即 ， 而 ，当且仅当 时，等号成立， 故 的最大值为 2， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题. 14.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且当 时， ． 若关于 的方 程 有四个不同的实数解，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 若方程 有四个不同的实数解，则函数 与直线 有 4 个交点，作 出函数 的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数 是定义在 R 上的偶函数且当 时， ， 3a = 3a = − ( ) 3xf x = (8) (4)f f> > 0, 0a b> > 20a b+ = lg lga b+ 2 0, 0a b> > 20a b+ = ab 0, 0a b∴ > > 20a b+ = 20 2a b ab∴ = + ≥ 10a b= = 100ab ≤ lg lg lg lg100 2a b ab+ = ≤ = 10a b= = lg lga b+ ( )f x 0x ≥ 2( ) 2f x x x= − x ( ) 0f x m− = m ( 1,0)− ( ) 0f x m− = ( )y f x= y m= ( )f x ( )f x 0x ≥ 2( ) 2f x x x= −所以函数 图象关于 轴对称， 作出函数 的图象： 若方程 有四个不同的实数解，则函数 与直线 有 4 个交点， 由图象可知： 时，即有 4 个交点. 故 m 的取值范围是 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系， 数形结合，属于中档题. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 48 分．应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 15.设集合 ，不等式 的解集为 B． 当 时，求集合 A，B； 当 时，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）A={x|-1）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符 号为止）；（3）定号： 和 0 比较； （4）下结论. 19.已知函数 （ ，且 ）． （Ⅰ）求函数 的定义域； （Ⅱ）判断函数 奇偶性； （Ⅲ）解关于 x 的不等式 ． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）奇函数. （Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据对数的真数为正可求出函数定义域（Ⅱ）由定义域的对称性及 的关 系可判断函数奇偶性（Ⅲ）分 ， 两种情况讨论，利用单调性求不等式的解. 【详解】（Ⅰ）要是函数有意义，则 解得 ， 故函数 的定义域为 . （Ⅱ） ， 所以函数 为奇函数. （Ⅲ） ， 所以，不等式 可化为 . 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 或 . 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，对数函数的单调性，分类讨论，属于中档 题. 的 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x− ( ) ( )1 2f x f x− ( ) log (2 ) log (2 )a af x x x= + − − 0a > 1a ≠ ( )f x ( )f x ( ) log (3 )af x x≥ ( 2,2)− ( ), ( )f x f x− 0 1a< < 1a > 2 0, 2 0, x x + >  − > 2 2x− < < ( )f x ( 2,2)− ( 2,2), ( 2,2)x x∀ ∈ − − ∈ − ( ) log (2 ) log (2 ) [log (2 ) log (2 )] ( ) a a a a f x x x x x f x − = − − + = − + − − = − ( )f x 2( ) log (2 ) log (2 ) log 2a a a xf x x x x += + − − = − ( ) log 3af x x≥ 2log log 32a a x xx + − ≥ 0 1a< < 20 32 x xx +< − ≤ 2 13 x≤ ≤ 1a > 2 3 02 x xx + >− ≥ 20 3x< ≤ 1 2x≤ 20x < 45x > ( )45 100x∈ ， 0 30x< ≤ ( ) ( )30 % 40 1 % 40 10 xg x x x= ⋅ + − = − 30 100x< < ( ) ( ) 2180 132 90 % 40 1 % 5850 10 xg x x x x xx  = + − ⋅ + − = − +  ∴ ； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增； 说明该地上班族 中有小于 的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 时，人均通勤时间最少． 【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能 力． ( ) 2 40 10 13 5850 10 x g x x x  −=   − + 0 32.5x< < ( )g x 32.5 100x< < ( )g x S 32.5% 32.5% 32.5%