江西省南昌市2020届高三文科数学第二轮复习测试卷(八)(PDF版附解析)
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资料简介
— 高三文科数学(八)第 1 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(八) 命题人:江科附中 梁懿涛 审题人:南大附中 陈一君 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.集合 6{ N | N}1A x x   ,集合 6{ N | N}1B xx   ,则 A B  A.{0,1,2,5} B.{1,2,3,6} C.{3, 4,6} D.{1,2} 2.命题“对任意 2[1,2), 0x x a   ”为真命题的一个充分不必要条件可以是 A. 4a  B. 4a  C. 1a  D. 1a  3.欧拉公式 ie cos isinx x x  (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数 的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地 位,被誉为“数学中的天桥”, πi4 i e 表示的复数位于复平面内 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.高二某班共有学生 60 名,座位号分别为 01, 02, 03,···, 60.现根据座位号,用系统抽 样的方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 03 号、18 号、48 号同学在样本中,则样本中还有一 个同学的座位号是 A.31号 B.32 号 C.33 号 D.34 号 5.设向量 ,a b  满足 2, 3a b a b      ,则 2a b  A. 6 B.3 2 C. 10 D. 4 2 6.将函数 siny x 的图象向左平移 π 3 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标扩大到原来的3 倍,所得的函数解析式为 A. 3sin(2 )3 πy x  B. 1 2sin(2 )3 π 3y x  C. 13sin π( )2 3y x  D. 1 23sin( )2 π 3y x  7.在等比数列{ }na 中,已知 1 1a  , 4 8a  ,若 3a , 5a 分别为等差数列{ }nb 的第 2 项和第6 项, 则数列{ }nb 的前7 项和为 A. 49 B. 70 C. 98 D. 140 — 高三文科数学(八)第 2 页(共 4 页) — 8.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a ,经过t 天后体积与天 数t 的关系式为: e k tV a    ,若新丸经过50 天后,体积变为 4 9 a ;若一个新丸体积变为 8 27 a , 则需经过的天数为 A.75天 B.100天 C.125天 D.150天 9.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为 A. 3 B. 3 C. 0 D. 3 3 10.已知某几何体的三视图如图所示,若网格纸 上小正方形的边长为 1,则该几何体的体积为 A. 16 3 B. 16 2 3 C. 16 D. 16 2 11. 在 锐 角 ABC 中 , 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c , 若 cos cos 2 3 sin 3sin B C A b c C  , cos 3 sin 2B B  ,则 a c 的取值范围 A. 3( , 3]2 B. 3( , 3]2 C. 3[ , 3]2 D. 3[ , 3]2 12. 已知 ( )f x 的定义域是(0, ) ,其导函数为 ( )f x ,若 ( )( ) 1 lnf xf x xx    ,且 2(e) ef  (其中e 是自然对数的底数),则 A. (2) 2 (1)f f B. 4 (3) 3 (4)f f C.当 0x  时, ( ) 0f x  D.当 0x  时, ( ) e 0f x x  二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 1 7a a  ,则 1a a  ______. 14.已知实数 x , y 满足约束条件 1 0 2 2 x y x y y a         ,若目标函数 2z x y  的最大值为 5,则 a 的 值为_______. 15.已知双曲线C 2 2 2 2: 1( 0, 0)x y a ba b    的右焦点为 F ,左顶点为 A .以 F 为圆心, FA 为 半径的圆交C 的右支于 ,P Q 两点, APQ 的一个内角为60 ,则C 的离心率为_________. 16.函数 ( ) sin cos sin cosf x x x x x   的最大值是_________. — 高三文科数学(八)第 3 页(共 4 页) — D A C M E B M D A B C 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ }na 满足: 1 2 11, ,2a a  且对任意的 *Nk  ,均有 2[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0k k k ka a       . (Ⅰ)令 2 1n nb a  ,判断{ }nb 是否为等差数列,并求出 nb ; (Ⅱ)记{ }na 的前 n 项的和为 nT ,求 20T . 18.(本小题满分 12 分)随着中国的经济快速增长, 人民生活水平逐步提升,人们的生育意愿进入下行 通道,随之出现了人口老龄化和劳动力短缺等各类 问题.某大学“人口与计划生育”课题组为了调研人 们对“延迟退休年龄政策”的态度,从年龄在15 ~ 65 岁的人群中随机调查 100 人,调査数据的频率分布 直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果 如下: 年龄 [15 , 25) [25 ,35) [35 , 45) [45 ,55) [55 , 65) 支持“延迟退休”的人数 15 5 15 28 17 (Ⅰ)由以上统计数据填 2 2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 (Ⅱ)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 4 人参加某项活 动.现从这 4 人中随机抽 2 人,求抽到的 2 人都是 45 岁以下的概率. 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      19.(本小题满分 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, 2AB  , 2AD  ,M 为CD 的中点.将 ADM 沿 AM 折起得到四棱锥 D ABCM ,点 E 为棱 DB 的中点. (Ⅰ)求证:直线 //CE 平面 ADM ; (Ⅱ)若点 D 在平面 ABCM 上的射 影恰好在直线 AC 上,求空间几何体 DEACM 的体积. 2 0( )P K K 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 — 高三文科数学(八)第 4 页(共 4 页) — 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    的离心率为 3 2 ,左、右焦点分别为 1F 、 2F , M 为椭圆上异于长轴端点的点,且 1 2MF F 的最大面积为 3 . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)若直线l 是过点  1,0P 点的直线,且l 与椭圆C 交于不同的点 A、 B ,是否存在直线  0 0 0: 2l x x x  ,使得点 A、 B 到直线 0l 的距离分别为 Ad 、 Bd ,且满足 A B d PA d PB 恒成立, 若存在,求 0x 的值,若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 ( ) ( )ln 1f x x a x ax    . (Ⅰ)若当 1x  时,都有 ( ) 0f x  ,求实数 a的取值范围; (Ⅱ)求证: 1 1 1 1 ln( 1)3 5 7 2 1 nn     , *Nn . (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 cos 3 sin ( sin 3 cos x y           为参数),坐标原点O 为极 点 , x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 , 取 相 同 长 度 单 位 建 立 极 坐 标 系 , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 πcos( ) 2( 0,0 2π)6        . (Ⅰ)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线l 与曲线C 交点的极坐标. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x a    , Ra  . (Ⅰ)当 0a  时,求不等式 ( ) 5f x  的解集; (Ⅱ)若 ( ) 2f x  对于 Rx  恒成立,求a的取值范围. — 高三文科数学(八)第 5 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(八)参考答案 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A C D C B A C A B D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 5 14. 1 3 15. 4 3 16. 6 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.【解析】(Ⅰ)令 2 1k n  , *Nn , 2 1 2 1 2 1 2 1[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0n n n na a          , 化简得 2 1 2 12 2 4 0n na a    ,即 2 1 2 1 2n na a   .又 2 1n nb a  , 1 2 1n nb a  , 1 2 1 2 1 2n n n nb b a a       , { }nb 是以 1 1 1b a  为首项,以 2 为公差的等差数列, 1 ( 1) 2 2 1nb n n      . (Ⅱ)令 2k n , *Nn ,可得 2 2 2(3 1) 2 2(1 1) 0n na a     ,即 2 2 2 1 2 n n a a   , 2 4 6 , , , ......a a a ,是以 2 1 2a  为首项,以 1 2 为公比的等比数列; 又由(Ⅰ)可知 1 3 5 2 1, , , ..., na a a a  ,是以 1 1a  为首项,以 2 为公差的等差数列. 20 1 3 19 2 4 20( ..... ) ( ..... )T a a a a a a        101 1[(1 ( ) ]10 9 2 2[10 1 2] 12 1 2       10 1101 2  . 18.【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人, 故可得 2 2 列联表如下: 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计 50 50 100 由列联表可得 2 2 100 (35 5 45 15) 6.25 3.84150 50 80 20K         , 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对,“延迟退休年龄 政策”的支持度有差异; (Ⅱ)设抽取 4 人中,45 岁以下的人记为 1 2 3, ,a a a ,45 岁以上的人记为b ,从中任选两人,共有 1 2,a a“ ”, 1 3,a a“ ”, 1,a b“ ”, 2 3,a a“ ”, 2 ,a b“ ”, 2 ,a b“ ”6 种,其中 2 人都是 45 岁以下的有— 高三文科数学(八)第 6 页(共 4 页) — 1 2,a a“ ”, 1 3,a a“ ”, 2 3,a a“ ”3 种,所以所求概率为 1 2 . 19.【解析】(Ⅰ)设线段 AD 的中点为 F ,连结 ,EF MF ,则 //EF MC , ∴四边形 EFMC 是平形四边形,∴ / /FM EC . 又 FM  平面 ADM , /CE  平面 ADM , 从而直线 / /CE 平面 ADM ; (Ⅱ)连结 ,AC BD , AC BD O , AM BD N , 由 AB AD AD DM , RT ADM ~ RT BAD ,∴ 90ADB DAM DMA DAM         , ∴ 90DAN  ,即 DB AM . ∵点 D 在平面 ABCM 的射影恰好落在直线 AC 上,∴点 D 在平面 ABCM 的射影为O . ∵ 2, 1AD DM  ,∴ 3AM  ,∴ 6 3DN  . 又 6 2DO  ,∴ 6 6 6 2 3 6NO    ,∴ 2 2 2 26 6 2( ) ( )3 6 2DO DM NO     . ∴ 1 3 2 2 1 2 123 2 2 3 4 3DEACM D ABCM E ABCV V V          . 20.【解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为  2 0c c  ,且 1 2MF F 的最大面积为 3 ,则 3bc  , 由已知条件得 2 2 2 3 2 3 c a bc a b c         ,解得 2 1 3 a b c       ,因此,椭圆C 的标准方程为 2 2 14 x y  ; (Ⅱ)当直线l 不与 x 轴重合时,设直线l 的方程为 1x my  ,设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y , 将直线l 的方程与椭圆方程联立 2 2 1 14 x my x y     ,消去 x 并整理得 2 24 2 3 0m y my    , D A C M E B M D A B C F O N O N — 高三文科数学(八)第 7 页(共 4 页) —    2 2 24 12 4 16 3 0m m m       ,由韦达定理得 1 2 2 2 4 my y m    , 1 2 2 3 4y y m   . A B d PA d PB ,即 0 1 1 0 2 2 x x y x x y    ,即 0 1 1 0 2 2 1 1 x my y x my y      , 整理得 21 2 0 1 2 2 32 ( )2 41 1 42 4 mmy y mx my y m          ; 当直线l 与 x 轴重合时,则直线l 与椭圆C 的交点为左、右顶点,设点  2,0A 、  2,0B  , 1 3 PA PB  , 0 0 2 2 A B xd d x   ,由 A B d PA d PB ,得 0 0 2 1 2 3 x x   ,解得 0 4x  . 综上所述,存在直线 0 : 4l x  ,使得 A B d PA d PB . 21.【解析】(Ⅰ)∵当 1x  时,都有 ( ) 0f x  ,∴必有 (1) 1 0f a    , 1a  . ( ) ln 1f x x a ax     ,令 ( ) ( )g x f x  , 2 1( ) 0ag x x a x x x      , ∴ ( )f x 在(1, ) 上单调递增,∴ ( ) (1) 1f x f    , ∴ ( )f x 在(1, ) 上单调递增, ( ) (1) 1 0f x f a    成立.综上分析, 1a  . (Ⅱ)由(1),当 1a  时, ( ) ( 1)ln 1 0f x x x x     ,即 1ln 1 xx x   对 1x  恒成立, 令 1nx n  ,得 1 11 1ln 1 2 11 n n n nn n n      ,即ln( 1) l 1n 2 1n n n    . ∴ 1ln 2 ln1 2 1   , 1ln 3 ln 2 5 1   ,, 1ln( 1) ln 2 1n n n    , 累加得 1 1 1ln( 1) ln1 3 5 2 1n n      , 即 1 1 1 1 ln( 1)3 5 7 2 1 nn     , *n N 命题得证. 22.【解析】(Ⅰ)由 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3 cos ) 4x y          , 得曲线 2 2: 4C x y  .直线l 的极坐标方程展开为 3 1cos sin 22 2     , 故l 的直角坐标方程为 3 4 0x y   . (Ⅱ)曲线C 的极坐标方程为 2  ,代入直线l 的极坐标方程 3 1: cos sin 22 2     , — 高三文科数学(八)第 8 页(共 4 页) — 得 3 cos sin 2   , πcos( ) 16   , 11π 6  , 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标为 11π(2, )6 . 23.【解析】(Ⅰ)当 0a  时, ( ) | 1| | 2 | | 1| | 2 |f x x x a x x       . ( ) 5f x  , 1 3 1 5 x x      或 1 0 1 5 x x       或 0 3 1 5 x x     , 2 1x   或 1 0x   或 40 3x  , 42 3x   , 不等式的解集为 4[ 2, ]3 ; (Ⅱ) ( ) | 1| | 2 | | 1| | | |1 |2 2 a af x x x a x x         ,当且仅当 2 ax   时取等号, ( ) ( ) |1 |2 2min a af x f     . ( ) 2f x  对于 x R  恒成立, |1 | 22 a   , 2a  或 6a  , a 的取值范围为( , 2] [6, )   . — 高三文科数学(八)第 9 页(共 4 页) — 高三文科数学(八)选择填空详细解析 1.D【解析】 {0,1,2,5}A  , {1,2,3,6}B  , A B  {1,2}A B  . 2.B【解析】命题的等价条件是: 2 max( )a x ,即 4a  .A 是充要条件,C、D 是必要不充分条 件,只有 B 是充分不必要条件. 3. A【解析】 πi4 i i π π 2 2i(cos -isin ) iπ π 4 4 2 2cos isine 4 4      . 4. C【解析】抽取的样本号成公差为 15 的等差数列:03,18,33,48,故选 C. 5. D【解析】由已知得 2( ) 2 9 2 9a b a b         ,得 2a b    ,所以 2| 2 | ( 2 ) 4 36 8 4 2a b a b          . 6. C【解析】 π 1 π 1 πsin sin( ) sin( ) 3sin( )3 2 3 2 3y x y x y x y x          . 7. B【解析】在等比数列{ }na 中,由 1 1a  , 4 8a  ,得 2q  , 3 4a  , 5 16a  ,即 2 4b  , 6 16b  , 1 7 2 6 7 7( ) 7( ) 7(4 6) 702 2 2 b b b bS       ,故选 B. 8. A【解析】由题意,得 504 e9 ka a  ,解得 25 2e 3 ka   ;令 8e 27 kta a  ,即 3 25 3 752e ( ) (e ) e3 kt t t     ,即需经过的天数为 75 天. 9. C【解析】每次循环的步长为 3,其进行 674 次循环,每次循环产生周期数列: 3, 3, 3, 3,  中的一项,输出的前 674 项的和为 0. 10. A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,记为 三棱锥 A BCD ,将其放在棱长为 4 的正方体中,如图所示, 2 2, 4AD BC BD   ,且 ,AD BD AD BC  , BC BD ,所以 AD  面 BCD , 所以三棱锥 A BCD 的体积为 1 1 1 162 2 2 2 43 3 2 3A BCD BCDV AD S          . 11.B【解析】由 cos cos 2 3 sin 3sin B C A b c C  ,得 cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B C bc b C   sin( ) sin 2 3 sin sin sin 3sin B C A A b C b C C    ,解得 3 2b  .由 πcos 3 sin 2sin( ) 26B B B    , ∴ π π 6 2B   , π 3B  , 1sin b B  .∴ 2π 3A C  ,由 2π π0 3 2C A    , π0 2A  , 得 π π 6 2A  ,∴ sin sina c A C    2π 3 3 πsin sin( ) sin cos 3 sin( )3 2 2 6A A A A A      ,∵ π π 6 2A  ,∴ π π 2π 3 6 3A   — 高三文科数学(八)第 10 页(共 4 页) — ∴ 3 πsin( ) 12 6A   ,∴ 3 π3 sin( ) 32 6A   ,即 3( , 3]2a c  . 12.D【解答】构造函数 ( )( ) f xg x x ,则 2 ( ) ( ) 1 ln( ) xf x f x xg x x x x      ,对其两边积分得 21( ) ln (ln )2g x x x c   ,又 2(e) ef  得 (e) 1(e) ee 2 fg C    ,所以 1e 2C   , 即 21 1( ) (ln ) ln e2 2g x x x     ,令 lnt x ,则二次函数 21 1e2 2y t t     的对称轴为 1t  ,即 ex  ,且图象开口向下, (2) (1)g g ,即 (2) (1) 2 1 f f ,故 (2) 2 (1)f f ,所以 A 项 错误; (3) (4)g g ,所以 4 (3) 3 (4)f f ,故 B 项错误;根据开口向下的二次函数的图象可知,当 0x  时, ( ) 0f x  不正确,故C 项错误; 当 0x  时,要使 ( ) e 0f x x  成立,只需 ( ) e 0f x x   成立, 显然二次函数 21 1e2 2y t t     在对称轴 1t  处取得最大值e ,很明显 ( ) e 0f x x   成立,故 D 项正确. 13. 3 5 【解析】 1 2 1 2( ) ( ) 4 45a a a a      , 1a a  3 5 . 14. 1 3 【解析】作出不等式对应的平面区域如图 ( 1, )B a a  ,  2 2, , (0, 1)D a a C  , 由 2z x y  ,得 2y x z  , 由图象可知当直线 2y x z  ,经过点 D 时, 直线 2y x z  的截距最小,此时 z 最大为5 , 即 2(2 2) 5a a   ,得 1 3a  . 15. 4 3 【解析】如图,设左焦点为 1F ,圆与 x 轴的另一个交点为 B , APQ 的一个内角为60 , 30PAF   , 60PBF PF AF a c       , 1 3PF a c  ,在 1PFF 中,由余弦定理可得 2 o2 2 1 1 12 cos120PF PF FF PF FF    . 2 2 2 43 4 0 3 4 0 3c ac a e e e         . 16. 6 2 【解析】令 sin cosx x t  ,则 21sin cos 2 tx x  , 21( ) ( ) 2 tf x g t t    ,由 21 1 1sin cos sin 2 [0, ]2 2 2 tx x x   ,得 [ 1,1]t   . — 高三文科数学(八)第 11 页(共 4 页) — 方法一:∵ 2 2 2 21 1 3( ) ( 1 )(1 )2 2 2 tt t t      ,∴ 21 6 2 2 tt   ,即 ( )f x 的最大值为 6 2 ,此时 6 3t  . 方法二:由 2 1( ) 1 21 2 tg t t      ,易知当 6[ 1, ]3t   时, ( ) 0g t  ,函数 ( )g t 单调递增;当 6[ ,1]3t  时, ( ) 0g t  ,函数 ( )g t 单调递减.∴ max 6 6( ) ( )3 2f x g  .

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