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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试卷
理科数学(八)
命题人：江科附中 梁懿涛 审题人：南大附中 陈一君
本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答．若在试题卷上作答，答题无效．
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．集合 6{ N | N}1A x x
，集合 6{ N | N}1B xx
，则 A B
A．{0,1,2,5} B．{1,2,3,6} C．{3,4,6} D．{1,2}
2．命题“对任意 2[1,2), 0x x a ”为真命题的一个充分不必要条件可以是
A． 4a B． 4a C． 1a D． 1a
3．欧拉公式 ie cos isinx x x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数
的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地
位，被誉为“数学中的天桥”， πi4
i
e
表示的复数位于复平面内
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4．某运动队由足球运动员 18 人，篮球运动员 12 人，乒乓球运动员 6 人组成（每人只参加一项），
现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除
个体，那么样本容量n 的最小值为
A．6 B．12 C．18 D． 24
5．设向量 ,a b 满足| | 2,| | | | 3a b a b ，则| 2 |a b
A． 6 B． 3 2 C． 10 D． 4 2
6．在等比数列{ }na 中，已知 1 1a ， 4 8a ，若 3a ， 5a 分别为等差数列{ }nb 的第 2 项和第 6 项，
则数列{ }nb 的前 7 项和为
A． 49 B． 70 C． 98 D． 140
7．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t 天后体积与天
数t 的关系式为： e k tV a ，若新丸经过50 天后，体积变为 4
9 a ；若一个新丸体积变为 8
27 a ，
则需经过的天数为
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天 — 高三理科数学(八)第 2 页(共 4 页) —
8．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为
A． 3 B． 3
C． 0 D． 3
3
9．已知 , (0, )a b ，且 2 91 ab a b
，则 a b 的
取值范围是
A． 1,9 B． 1,8
C． 8, D． 9,
10．已知某几何体的三视图如图
所示，若网格纸上小正方形的边
长为 1，则该几何体的体积为
A． 16
3 B． 16 2
3
C． 16 D． 16 2
11． 在 锐 角 ABC 中 ， 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 若 cos cos 2 3 sin
3sin
B C A
b c C ，
cos 3 sin 2B B ，则 a c 的取值范围
A． 3( , 3]2
B． 3( , 3]2 C． 3[ , 3]2
D． 3[ , 3]2
12． 已知 ( )f x 的定义域是(0, ) ，其导函数为 ( )f x ，若 ( )( ) 1 lnf xf x xx ，且 2(e) ef
（其中e 是自然对数的底数），则
A． (2) 2 (1)f f B． 4 (3) 3 (4)f f
C．当 0x 时， ( ) 0f x D．当 0x 时， ( ) e 0f x x
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分．
13．若函数 ( )f x 满足 (2 ) 2 ( )f x f x ，且 ( )y f x 的图象与 2
1
xy x
的图象共有 m 个不
同的交点 ,i ix y ,则所有交点的横、纵坐标之和
1
m
i i
i
x y
________．
14． 4( )a b c 的展开式中，共有________种不同的项．
15．已知双曲线C
2 2
2 2: 1( 0, 0)x y a ba b 的右焦点为 F ，左顶点为 A ．以 F 为圆心， FA为
半径的圆交C 的右支于 ,P Q 两点， APQ 的一个内角为60 ，则C 的离心率为___________．
16．函数 ( ) sin cos sin cosf x x x x x 的最大值是___________．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必做部分 — 高三理科数学(八)第 3 页(共 4 页) —
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
17．(本小题满分 12 分)已知数列{ }na 满足： 1 2
11, ,2a a 且对任意的 *Nk ，均有
2[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0k k
k ka a ．
（Ⅰ）令 2 1n nb a ，判断{ }nb 是否为等差数列，并求出 nb ；
（Ⅱ）记{ }na 的前n项的和为 nT ，求 2nT ．
18．（本小题满分 12 分）随着中国的经济快速增长，人民
生活水平逐步提升，人们的生育意愿进入下行通道，随之
出现了人口老龄化和劳动力短缺等各类问题．某大学“人口
与计划生育”课题组为了调研人们对“延迟退休年龄政策” 的
态度，从年龄在15 ~ 65 岁的人群中随机调查 100 人，调査数
据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计
结果如下：
年龄 [15 ， 25) [25 ，35) [35 ， 45) [45 ，55) [55 ， 65)
支持“延迟退休”的人数 15 5 15 28 17
（Ⅰ）由以上统计数据填 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45
岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
45 岁以下 45 岁以上 总计
支持
不支持
总计
（Ⅱ）若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活
动．现从这 8 人中随机抽 2 人．
①若已知抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率；
②记抽到 45 岁以上的人数为 x ，求随机变量 x 的分布列及数学期望．
2
0( )P K K
0．150 0．100 0．050 0．025 0．010
0K 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635
19．（本小题满分 12 分）如图，已知长方形 ABCD 中， 2AB ， 2AD ，M 为CD 的中点．将
ADM 沿 AM 折起得到四棱锥 D ABCM ，点 E 为棱 DB 的中点．
（Ⅰ）求证：直线 / /CE 平面 ADM ；
（Ⅱ）若点 D 在平面 ABCM
上的射影恰好在直线 AC 上，
求异面直线 AE 与 DM 所成角
的余弦值．
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20．(本小题满分 12 分)已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 的离心率为 3
2
，左、右焦点分别为 1F 、
2F ， M 为椭圆上异于长轴端点的点，且 1 2MF F 的最大面积为 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l 是过点 1,0P 点的直线，且l 与椭圆C 交于不同的点 A 、 B ，是否存在直线
0 0 0: 2l x x x ，使得点 A 、 B 到直线 0l 的距离分别为 Ad 、 Bd ，且满足 A
B
d PA
d PB 恒成立，
若存在，求 0x 的值，若不存在，说明理由．
21．(本小题满分 12 分)已知函数 e ln , Zxf x x a x a x a ．
（Ⅰ）若函数 f x 在定义域上为单调增函数， 求a最大值；
（Ⅱ）证明： 2 33 4 1 eln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 e 1
nn
n
， *Nn ．
（二）选做部分
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 cos 3 sin (
sin 3 cos
x
y
为参数），坐标原点O 为极
点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 取 相 同 长 度 单 位 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
cos( ) 2( 0,0 2 )6
π π ．
（Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x a ， Ra ．
（Ⅰ）当 0a 时，求不等式 ( ) 5f x 的解集；
（Ⅱ）若 ( ) 2f x 对于 Rx 恒成立，求 a 的取值范围．
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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
理科数学(八)参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A A D B A C B A B D
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分)
13． 0 14．15 15． 4
3
16． 6
2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．【解析】（Ⅰ）令 2 1k n ， *Nn ， 2 1 2 1
2 1 2 1[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0n n
n na a
，化
简得 2 1 2 12 2 4 0n na a ，即 2 1 2 1 2n na a ．又 2 1n nb a ， 1 2 1n nb a ，
1 2 1 2 1 2n n n nb b a a ， { }nb 是以 1 1 1b a 为首项，以2 为公差的等差数列，
1 ( 1) 2 2 1nb n n ．
（Ⅱ）令 2k n ， *Nn ，可得 2 2 2(3 1) 2 2(1 1) 0n na a ，即 2 2
2
1
2
n
n
a
a
，
2 4 6 2 , , , ...... na a a a ，是以 2
1
2a 为首项，以 1
2
为公比的等比数列；
又由（Ⅰ）可知 1 3 5 2 1, , , ..., na a a a ，是以 1 1a 为首项，以2 为公差的等差数列．
2 1 3 2 1 2 4 2( ..... ) ( ..... )n n nT a a a a a a
1 1[(1 ( ) ]1 2 2[ 1 ( 1) 2] 12 1 2
n
n n n
2 11 2nn ．
18．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人，
故可得 2 2 列联表如下：
45 岁以下 45 岁以上 总计
支持 35 45 80
不支持 15 5 20
总计 50 50 100
由列联表可得
2
2 100 (35 5 45 15) 6.25 3.84150 50 80 20K
，
所以在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对
“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（Ⅱ）①设“抽到 1 人是 45 岁以下”为事件 A ，“抽到的另一人是 45 岁以上”为事件 B ， — 高三理科数学(八)第 6 页(共 4 页) —
则 ( )P A
1 1
6 2 6
2
2
8
27
28
C C C
C ，
1 1
6 2
2
8
3( ) 7
C CP AB C
， 27 9
3
( ) 47( / )
28
) (
P ABP B A P A ，
即抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率为 4
9
；
②从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人，则 45 岁以下的应抽 6 人，45 岁以上的应抽 2 人．
由题意得 X 的可能取值为 0，1，2．
2
6
2
8
15( 0) 28
CP X C ，
1 1
6 2
2
8
12 3( 1) 28 7
C CP X C
，
2
2
2
8
1( 2) 28
CP X C ；
故随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 15
28 3
7 1
28
所以 15 3 1 1( ) 0 1 228 7 28 2E X ．
19．【解析】(Ⅰ)设线段 AD 的中点为 F ，连结 ,EF MF ，则 //EF MC ，
∴四边形 EFMC 是平形四边形，∴ / /FM EC ．
又 FM 平面 ADM ， /CE 平面 ADM ，从而直线 / /CE 平面 ADM ；
（Ⅱ）连结 ,AC BD ， AC BD O ， AM BD N ，
由 AB AD
AD DM ， RT ADM ～ RT BAD ，∴ 90ADB DAM DMA DAM ，
∴ 90DAN ，即 DB AM ．
∵点 D 在平面 ABCM 的射影恰好落在直线 AC 上，∴点 D 在平面 ABCM 的射影为O ．
∵ 2, 1AD DM ，∴ 3AM ，∴ 6
3DN ．又 6
2DO ，∴ 6 6 6
2 3 6NO ，
∴ 2 2 2 26 6 2( ) ( )3 6 2DO DM NO ．
以O 为原点，平行于 ,CB AB 的直线分别为 x 轴，y 轴，
OD 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则 2( , 1,0)2A ， 2( ,1,0)2B ， 2( ,0,0)2M ，
2(0,0, )2D ， 2 1 2( , , )4 2 4E ．
∴ 2 3 2( , , )4 2 4AE ， 2 2( ,0, )2 2DM ，
∴ cos | cos , | 0AE DM ．∴异面直线 AE 与 DM 所成角的余弦值为 0．
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20．【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2 0c c ，且 1 2MF F 的最大面积为 3 ，则 3bc ，
由已知条件得
2 2 2
3
2
3
c
a
bc
a b c
，解得
2
1
3
a
b
c
，因此，椭圆C 的标准方程为
2
2 14
x y ；
（Ⅱ）当直线l 不与 x 轴重合时，设直线l 的方程为 1x my ，设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
将直线l 的方程与椭圆方程联立 2
2
1
14
x my
x y
，消去 x 并整理得 2 24 2 3 0m y my ，
2 2 24 12 4 16 3 0m m m ，由韦达定理得 1 2 2
2
4
my y m
，
1 2 2
3
4y y m
． A
B
d PA
d PB ，即 0 1 1
0 2 2
x x y
x x y
，即 0 1 1
0 2 2
1
1
x my y
x my y
，
整理得
2
1 2
0
1 2
2
32 ( )2 41 1 42
4
mmy y mx my y
m
；
当直线l 与 x 轴重合时，则直线l 与椭圆C 的交点为左、右顶点，设点 2,0A 、 2,0B ，
1
3
PA
PB ， 0
0
2
2
A
B
xd
d x
，由 A
B
d PA
d PB ，得 0
0
2 1
2 3
x
x
，解得 0 4x ．
综上所述，存在直线 0 : 4l x ，使得 A
B
d PA
d PB ．
21．【解析】（Ⅰ）由题意知， e lnxf x x a ，
若函数 f x 在定义域上为单调增函数，则 0f x 恒成立．
先证明e 1x x ．设 e 1xg x x ，则 e 1xg x ，
则函数 g x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
∴ 0 0g x g ，即e 1x x ．
同理可证ln 1x x ，
∴当 2a 时， e ln ( 1) ( 1) 2 0xf x x a x x a a ；
当 3a 时， 0 1 ln 0f a ，即 e ln 0xf x x a 不恒成立．
综上所述， a的最大整数值为 2．
（Ⅱ）①知， e ln 2x x ，令 1tx t
， — 高三理科数学(八)第 8 页(共 4 页) —
∴
1 1 1e ln( 2) ln( )
t
t t t
t t
，∴ 1 1e (ln )t tt
t
．
由此可知，当 1t 时， 0e ln2 ．当 2t 时， 1 23e (ln )2
，
当 3t 时， 2 34e (ln )3
， ，当t n 时， 1 1e (ln )n nn
n
．
累加得 0 1 2 1 2 33 4 1e e e e ln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3
n nn
n
．
又 0 1 2 1
11 ( ) 1 ee e e e 1 1 e 11 1e e
n
n n
，
∴ 2 33 4 1 eln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 e 1
nn
n
．
22．【解析】（Ⅰ）由 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3 cos ) 4x y ，
得曲线 2 2: 4C x y ．直线l 的极坐标方程展开为 3 1cos sin 22 2 ，
故l 的直角坐标方程为 3 4 0x y ．
（Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为 2 ，代入直线l 的极坐标方程 3 1: cos sin 22 2 ，
得 3 cos sin 2 ， πcos( ) 16 ， 11π
6 ，
所以直线l 与曲线C 交点的极坐标为 11π(2, )6
．
23．【解析】（Ⅰ）当 0a 时， ( ) | 1| | 2 | | 1| | 2 |f x x x a x x ．
( ) 5f x ，
1
3 1 5
x
x
或 1 0
1 5
x
x
或 0
3 1 5
x
x
，
2 1x 或 1 0x 或 40 3x ， 42 3x ，不等式的解集为 4[ 2, ]3 ．
（ Ⅱ ） ( ) | 1| | 2 | | 1| | | |1 |2 2
a af x x x a x x ， 当 且 仅 当
2
ax 时 取 等 号 ，
( ) ( ) |1 |2 2min
a af x f ． ( ) 2f x 对于 x R 恒成立， |1 | 22
a ， 2a 或 6a ，
a 的取值范围为( , 2] [6, ) ．
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高三理科数学（八）选择填空详细解析
1． D【解析】 {0,1,2,5}A ， {1,2,3,6}B ， A B {1,2}A B ．
2． B【解析】命题的等价条件是： 2
max( )a x ，即 4a ．A 是充要条件，C、D 是必要不充分
条件，只有 B 是充分不必要条件．
3．A【解析】 πi4
i i π π 2 2i(cos -isin ) iπ π 4 4 2 2cos isine 4 4
．
4．A【解析】由题已知，总体样本容量为 36 人，当样本容量为n时，系统抽样的样距为 36
n
，分
层抽样的样比为
36
n ，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为 1836 2
n n ，篮球运动员人数为
1236 3
n n ，乒乓球运动员人数为 636 6
n n ，可知n是 6 的整数倍，最小值为 6．
5．D【解析】由已知得 2( ) 2 9 2 9a b a b ，得 2a b ，所以
2| 2 | ( 2 ) 4 36 8 4 2a b a b ．
6．B【解析】在等比数列{ }na 中，由 1 1a ， 4 8a ，得 2q ， 3 4a ， 5 16a ，即 2 4b ，
6 16b ， 1 7 2 6
7
7( ) 7( ) 7(4 6) 702 2 2
b b b bS ，故选 B．
7．A．【解析】由题意，得 504 e9
ka a ，解得 25 2e 3
ka ；令 8e 27
kta a ，即
3 25 3 752e ( ) (e ) e3
kt t t ，即需经过的天数为 75 天．
8．C 【解析】每次循环的步长为 3，其进行 674 次循环，每次循环产生周期数列：
3, 3, 3, 3, 中的一项，输出的前 674 项的和为 0．
9． B【解析】由 2
2 9 81 1 ( )ab a b a b ，得 2( ) 9( ) 8 0a b a b ，1 8a b ．
10． A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,记为三棱锥 A BCD
将其放在棱长为 4 的正方体中,如图所示, 2 2, 4AD BC BD ，
且 ,AD BD AD BC ， BC BD ，所以 AD 面 BCD ，
所以三棱锥 A BCD 的体积为
1 1 1 162 2 2 2 43 3 2 3A BCD BCDV AD S ．
11． B【解析】由 cos cos 2 3 sin
3sin
B C A
b c C ，可得 cos cosc B b C
bc
sin cos sin cos
sin
C B B C
b C
sin( ) sin 2 3 sin
sin sin 3sin
B C A A
b C b C C
，解得 3
2b ． — 高三理科数学(八)第 10 页(共 4 页) —
由 πcos 3 sin 2sin( ) 26B B B ，∴ π π
6 2B ， π
3B ， 1sin
b
B ．∴ 2π
3A C ，
由 2π π0 3 2C A ， π0 2A ，得 π π
6 2A ，
∴ sin sina c A C 2π 3 3 πsin sin( ) sin cos 3 sin( )3 2 2 6A A A A A ，
∵ π π
6 2A ，∴ π π 2π
3 6 3A ∴ 3 πsin( ) 12 6A ，∴ 3 π3 sin( ) 32 6A ，
即 3( , 3]2a c ．
12． D【解答】构造函数 ( )( ) f xg x x ，则 2
( ) ( ) 1 ln( ) xf x f x xg x x x x
，对其两边积分得
21( ) ln (ln )2g x x x c ，又 2(e) ef 得 (e) 1(e) ee 2
fg C ，所以 1e 2C ，
即 21 1( ) (ln ) ln e2 2g x x x ，令 lnt x ，则二次函数 21 1e2 2y t t 的对称轴为
1t ，即 ex ，且图象开口向下， (2) (1)g g ，即 (2) (1)
2 1
f f ，故 (2) 2 (1)f f ，所以 A 项
错误；
(3) (4)g g ，所以 4 (3) 3 (4)f f ，故 B 项错误；
根据开口向下的二次函数的图象可知，当 0x 时， ( ) 0f x 不正确，故C 项错误；
当 0x 时，要使 ( ) e 0f x x 成立，只需 ( ) e 0f x
x 成立，显然二次函数 21 1
2 2y t t e
在对称轴 1t 处取得最大值e ，很明显 ( ) e 0f x
x 成立，故 D 项正确．
13． 0【解析】因为 f x 满足 2 2f x f x ，所以 y f x 的图象关于点 1, 1 对称，
而 2 1 11 1
xy x x
的图象也关于点 1, 1 对称，所以所有交点也关于点(1, 1) 对称．从而所
有交点的横坐标之和等于 m ．所有交点的纵坐标之和等于 m ，
故所有交点的横、纵坐标之和等于 0．
14． 15 【解析】 4( )a b c 的每一项的结构为 x y za b c ，其中 , , Nx y z ，且 4x y z ，由
隔板法共有 2
6 15C 种不同情形，即有15种不同的项．
15． 4
3
【解析】如图，设左焦点为 1F ，圆于 x 轴的另一个交点
为 B ， APQ 的一个内角为60 ， 30PAF ，
， 1 3PF a c ，在 1PFF 中，
由余弦定理可得
2 o2 2
1 1 12 cos120PF PF FF PF FF ． — 高三理科数学(八)第 11 页(共 4 页) —
2 2 2 43 4 0 3 4 0 3c ac a e e e ．
16． 6
2
【解析】令sin cosx x t ，则
21sin cos 2
tx x ，
21( ) ( ) 2
tf x g t t ，
由
21 1 1sin cos sin 2 [0, ]2 2 2
tx x x ，得 [ 1,1]t ．
方法一：∵
2
2 2 21 1 3( ) ( 1 )(1 )2 2 2
tt t t ，∴
21 6
2 2
tt ，即 ( )f x 的最大值为
6
2
，此时 6
3t ．
方法二：由 2
( ) 1
1
2
tg t
t
，易知当 6[ 1, ]3t 时， ( ) 0g t ，函数 ( )g t 单调递增；当
6[ ,1]3t 时， ( ) 0g t ，函数 ( )g t 单调递减．∴ max
6 6( ) ( )3 2f x g ．
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