通州区高三年级期中考试
数学试卷
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 M∩N＝（ ）
A. {-2，-1，0，1} B. {-1，0，1} C. {-1，0} D. {0，1}
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算集合 N，再计算 得到答案.
【详解】 ，
则
故选：C
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型.
2.等比数列 中， 则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用等比数列公式计算得到答案.
【详解】等比数列 中， ，
故选：A
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型.
3.下列函数中为偶函数且在 上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
{ }2, 1,0,1,2M = − − { }2 2 0N x x x= + − <
M N∩
{ } { }2 2 0 = 2 1N x x x x x= + − < − < < { }2, 1,0,1,2M = − −
{ }1,0M N∩ = −
{ }na 1 41, 8.a a= = na =
12n− 2n 12n+ 22n+
{ }na 3
1 4 11, 8 2a a a q q= = = \ = 12n
na -=
(0, )+∞
1y x
= lgy x= cosy x= 2xy =【答案】B
【解析】
【分析】
依次判断每个选项的奇偶性和单调性，判断得到答案.
【详解】A. ，是奇函数，排除；B. ，是偶函数， 时， ，单调
递增，正确；
C. ，偶函数， 时，是周期函数，排除；D. ，非奇非偶函数，排除；
故选：B
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键.
4.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案.
【详解】 ，充分性；
或
或 ，故 ，必要性.
故选：C
【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.
5.直线 经过点 ，且与直线 平行，如果直线 与曲线 相切，那么 等于
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
1y x
= lgy x= 0x > lgy x=
cosy x= 0x > 2xy =
sin 2 0α > tan 0α >
sin 2 0 2 2 2 tan 02k k k k
πα π α π π π α π α> ∴ < < + ∴ < < + ∴ >
tan 0 2 2 2k k
πα π α π> ∴ < < + 32 2 2k k
ππ π α π+ < < +
2 2 2k kπ α π π∴ < < + 4 2 2 4 3k kπ π α π π+ < < + sin 2 0α >
l (0, )A b y x= l 2y x= b
1
4
− 1
2
− 1
4
1
2先表示出直线方程为 ，求导计算切点为 ，代入直线方程得到答案.
【详解】直线 经过点 ，且与直线 平行，则直线方程为：
直线 与曲线 相切， ，切点为 代入直线方程
解得：
故选：A
【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用 计算答案.
6.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 ， ， ，则 ABC
的面积等于（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到 ，代入面积公式计算得到答案.
【详解】利用余弦定理得到： 或
（舍去）
故选：D
【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.
7.设函数 若方程 有且只有一个根，则实数 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
y x b= + 1 1( , )2 4
l (0, )A b y x= y x b= +
l 2y x= 1' 2 1 2y x x= = \ = 1 1( , )2 4
1
4b = −
0∆ =
∆
4A
π= 5a = 2b = ∆
1
2
3
2
1
2
2
2
3
2
3c =
2 2 2 22 cos 5 2 2 3a b c bc A c c c= + − ∴ = + − ∴ = 1c = −
1 3sin2 2ABCS bc A∆ = =
2
2 , 1,( )
log , 1,
x xf x
x x
≤= >
( ) 0f x k− = k
(0,2) (2, )+∞ [2, )+∞ [0,2]方程 有且只有一个根，等价于 图像有一个交点，画出函数图像得到
答案.
【详解】 方程 有且只有一个根，等价于 图像有
一个交点.
画出函数图像：
根据图像知：
故选：B
【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键.
8.2014 年 6 月 22 日，卡塔尔首都多哈召开的第 38 届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目
成功入选世界文化遗产名录，成为中国第 46 个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，
大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一
旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已
知游船在顺水中的速度为 ，在逆水中的速度为 （ ），则游船此次行程的平均速
度 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算平均速度 ，再计算 得到答案.
( ) 0f x k− = ( )f x k=
2
2 , 1,( )
log , 1,
x xf x
x x
≤= >
( ) 0f x k− = ( )f x k=
2k >
1v 2v 1 2v v≠
v 1 2
2
v v+
1 2
2
v vv
+> 1 2
2
v vv
+= 1 2
2
v vv
+<
1 2
2
v vv
+≥
1 2
1 2
2v vv v v
= +
( )1
2
1 2
21 2
2 0vv v v
vv v − −− += > ；
【解析】
【分析】
依次判断三个数与 1 和 3 的大小关系，判断得到答案.
【详解】 ；
；
故答案为：
【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用能力.
S
1 2
1 2
1 2
22 v vSv S S v v
v v
= = ++
( )
( )
( )
( )1
2 2
1 21 2
1 2
1 2
2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
42 0(22 2 )2
v vv vv v v v vv v v v vv v v v v v
v − − −− − = < ≠+ + +
++ += = 1 2
2
v vv
+<
2 ii ia b
−+ = i , Ra b∈ a b+ =
3−
,a b +a b
2 ii 1 2 1, 2 3ia b i a b a b
−+ = = − − ∴ = − = − ∴ + = −
3−
2log 7a = 32b −= 3
23c =
c a b
2 2 21 log log 7 log2 8 3a= < = < =
3 02 2 1b −= < =
3
123 3 3c = > =
c a b> >11.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差等于____.
【答案】 ；
【解析】
分析】
根据 计算得到 ，再计算 得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以根据数列公式联立方程组解得答案.
12.定义在 R 上的函数 ，给出下列三个论断：
① 在 R 上单调递增；② ；③ .
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________.
【答案】①②推出③；
【解析】
【分析】
写出答案，再根据函数单调性得到证明.
详解】①②推出③；
证明： 在 单调递增且当 时，有 ，得证.
故答案为：①②推出③
【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.
13.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是___.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
求导根据函数单调递减得到 恒成立，计算函数 的最大值为 ，得
到答案.
【
【
{ }na n nS 11 22S = 7 1a = { }na
1−
11 22S = 5 7 4a a+ = 5 3a =
( )1 11
11 1 11 5 7
11 22 4 42
a aS a a a a
+ ×= = ∴ + = ∴ + =
57 1 3 1a a d= ∴ = ∴ = −
1−
( )f x
( )f x 1x > ( ) (1)f x f>
( )f x R 1x > ( ) (1)f x f>
( ) cos sinf x a x x= + π π( , )6 4
a
3a ≥
cos
sin
x ax
≤ cos( ) sin
xg x x
= 3【详解】 在 恒成立
即 恒成立， 在 的最大值为 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.
14.设 是整数集的一个非空子集，对于 ，若 ，且 ，则称 是 的
一个“孤立元”．集合 元素中 T 的“孤立元”是_____；对给定集合
，由 中的 3 个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有____个
【答案】 (1). 5 (2). 16.
【解析】
【分析】
（1）依次判断每个元素是否为孤立元得到答案.
（2）3 个元素构成的所有集合为 个，排除不满足的情况得到答案.
【详解】（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于 1， ，不是孤立元；对于 2，
，不是孤立元；对于 3， ，不是孤立元；对于 5， ，是孤立
元；
故答案为：5
（2）3 个元素构成的所有集合为 个
不含孤立元的集合有 ， ， 4 个
故含“孤立元”的集合有 16 个
故答案为：16
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用能力.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程．
15.已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期及单调增区间．
( ) cos sin '( ) sin cos 0f x a x x f x a x x= + ∴ = − + ≤ π π( , )6 4
cos
sin
x ax
≤ cos( ) sin
xg x x
= π π( , )6 4 3 3a ≥
3a ≥
A k A∈ 1k A− ∉ 1k A+ ∉ k A
{ }1 2 3 5T = , , ,
{ }1 2 3 4 5 6S = , , , , , S
3
6 20C =
2 A∈
1 ,3A A∈ ∈ 2 A∈ 4 ,6A A∉ ∉
3
6 20C =
{ }1,2,3 { }2,3,4 { }3,4,5 { }4,5,6
( ) 23sin 2 2cos 1f x x x= + −
5
12f
π
( )f x【答案】（1）0（2）最小正周期 ， 的单调增区间为
【解析】
【分析】
（1）直接代入数据计算得到答案.
（2）化简得到 ，再计算周期和单调增区间.
【详解】（1）
（2）
所以 最小正周期 .
令 ，解得
所以 的单调增区间为
【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函
数公式和性质的灵活运用.
16.在 中， ， ， ，D 是 AB 边的中点.
（1）求 AB 的长；
（2）求 CD 的长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先计算 ，根据正弦定理得到答案.
（2）先计算 ，再利用余弦定理得到答案.
的
π ( )f x π π[ π , π+ ] ( )3 6k k k Z− ∈
( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
( ) 23sin 2 2cos 1f x x x= + −
25 5 53sin(2 ) 2cos ( ) 112 12 12f
π π π = × + −
5 53sin(2 ) cos(2 )12 12
π π= × + ×
5 53sin( ) cos( )6 6
π π= + 0=
( ) 23sin 2 2cos 1 3sin 2 cos 2sin(2 )62f x x x x xx
π== + +− = +
( )f x 2π π2T = =
π π2 π 2 2 π+2 6 2k x k
π− ≤ + ≤ π ππ π+ ( )3 6k x k k Z− ≤ ≤ ∈
( )f x π π[ π , π+ ] ( )3 6k k k Z− ∈
ABC∆ 60B∠ = ° 1cos 7C = 7AC =
8 21
4 3sin 7C =
11cos 14A =【详解】（1） 则 由正弦定理得到：
解得：AB=
（2）
因 D 是 AB 中点，则 ，在 中，由余弦定理得：
解得：CD= .
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
17.已知数列 的前 6 项依次成等比数列，设公比为 q（ ），数列从第 5 项开始各项
依次为等差数列，其中 ，数列 的前 n 项和为 .
（1）求公比 q 及数列 的通项公式；
（2）若 ，求项数 n 的取值范围.
【答案】（1） ， （2） ，
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为 q， ，代入 ，解得 ，再讨
论 和 两种情况得到答案.
（2）先计算数列前 4 项的和为 20，构造数列 ，前 m 项和 计算不等式
得到答案.
【详解】(1)设等比数列的公比为 q，则
∵从第 5 项开始各项依次为等差数列，∴
1cos 7C = 1 4 3sin 1 49 7C = − =
sin sin
AC AB
B C
=
4 37 7 8
3
2
×
=
1 3 11cos cos( ) cos(60 ) cos sin2 2 14A B C C C C= − + = − °+ = − + =
4=AD ADC∆
2 2 2 2 2 112 cos 7 4 2 7 4 2114CD AC AD AC AD A= + − ⋅ ⋅ = + − × × × =
21
{ }na 1q ≠
4 7 4a a= = − { }na nS
{ }na
0nS ≥
1
2q = −
1132 ( ) , 42
3 17, 5
n
n
na
n n
− ⋅ − ≤=
− + ≥
9n ≤ n ∗∈N
2
5 64 , 4a q a q= − ⋅ = − ⋅ 4 7 4a a= = − 1q =
4n ≤ 5n ≥
{ }mb 23 7
2 2mT m m= − +
2
5 64 , 4a q a q= − ⋅ = − ⋅
5 7 62a a a+ =∵ ，∴ ，解得 或
∵数列 为非常数列，∴
当 时，
当 时， ，∴
综上所述，
(2)易知数列前 4 项的和为 20，从第 5 项开始为等差数列，
当 时，数列为 2，-1，-4，-7，
可令数列 为 2，-1，-4，-7，数列 的前 m 项和 ，
依题意， ，∴
综上所述： ，
【点睛】本题考查了数列的通项公式，先 N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的掌
握情况.
18.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为菱形，且∠ABC=60°， 平面
ABCD， ，点 E，F 为 PC，PA 的中点．
（1）求证：平面 BDE⊥平面 ABCD；
（2）二面角 E—BD—F 的大小；
（3）设点 M 在 PB(端点除外)上,试判断 CM 与平面 BDF 是否平行，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2） （3）CM 与平面 BDF 不平行，详见解析
【解析】
【分析】
7 4a = − 22 1 0q q− − = 1q = 1
2q = −
{ }na 1
2q = −
4n ≤ 1132 ( )2
n
na −= ⋅ −
5n ≥ 5 62, 1a a= = − 2 ( 5) ( 3) 3 17na n n= + − ⋅ − = − +
1132 ( ) , 42
3 17, 5
n
n
na
n n
− ⋅ − ≤=
− + ≥
5n ≥
{ }mb { }mb 23 7
2 2mT m m= − +
23 7 20 02 2m m− + + ≥ 0 5m< ≤
9n ≤ n ∗∈N
P ABCD− PA ⊥
PA AB=
4
π（1）连接 AC 与 BD，设交点为 O，连接 FO，证明 平面 ABCD，得到答案.
（2）以 O 为原点，以 OB，OC，OE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的
法向量，计算夹角得到答案.
（3）假设存在，设 ，计算得到 ，所以不存在.
【详解】（1）证明：连接 AC 与 BD，设交点为 O，连接 FO，
由已知 E，O 分别为 PC，AC 中点，可得 EO//PA,
又因为 平面 ABCD，
所以 平面 ABCD， 平面 BDE
所以平面 BDE⊥平面 ABCD.
（2）以 O 为原点，以 OB，OC，OE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系
设 AB=a，因为底面 ABCD 为菱形，且∠ABC=60°， ，则 AC=a，
， ， ， ， ， ，
则 ， .
设平面 BFD 的法向量为 ，
则有 ，即 ，即
令 ，则
又由（1）可知 为平面 BDE 的法向量，
所以二面角 E—BD—F 的大小为
（3）因为点 M 在 PB(端点除外)上，设 ，
则 ， ，
EO ⊥
(0 1)PM PBλ λ= < ( ) 0f x′ > 20 3x< < ( ) 0f x′ <
2
3x =
3 22 2 2 4
3 3 3 27f = − = −
3 2 2( )f x x bx x bx= − − + 2( ) 3 2 2f x x b x b= − +′ +（ ）
( )f x 0 0,x y因为 ，所以 ，
所以有
又 ，相减得 ，
所以 ，所以 ，解得 b=3.
（3）
设 ，
在 上单调递增；在 单调递减.
极大值 ，极小值 ，画出函数图象：
根据图象得到答案： .
【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的零点个数；
（3）当 时，求证不等式 解集为空集.
【答案】（1） 的单调增区间为 ，单调减区间为 （2） 在 上只
有一个零点（3）证明见解析
【解析】
【分析】
(0) 1f b′ = > 0 0x ≠
( )2
0 0 0
0 0
3 2
0 0 0 0
( ) 3 2 2 1
( 1)
f x x b x b
y x
y x b x bx
= − + + = −
= −
= − + +
′
( )2
0 03 2 2 1x b x b− + + = − ( )2
0 02 1 0x b x− + =
0
1
2
bx
+= 1 11 ( 1)2 2
b b b
+ + − = − −
3 2 3 2( ) 4 3 4 4f x x x x x m m x x x= − + = − + ∴ = − +
3 2( ) 4 4g x x x x= − + 2'( ) 3 8 4 (3 2)( 2)g x x x x x= − + = − −
( )g x 2(0, ) (2, )3
∪ +∞ 2( ,2)3
2 32( )3 27g = (2) 0=g
320 27m< <
( ) lnf x x a x= − ( 0)a >
( )f x
21( ) ( )2g x x ax f x= − −
1a = 1( ) xf x x
−≤
( )f x ( , )a +∞ (0, )a ( )g x (0, )+∞（1）求导得到 ，计算得到答案.
（2）求导得到 ，分类讨论 ， 和 三种情况得到答案.
（3）原题等价于 恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值
得到证明.
【详解】（1） 的定义域为 .
令 ，得
当 时，有 ，所以 在 上单调递增.
当 时，有 ，所以 上单调递减.
综上所述： 的单调增区间为 ，单调减区间为
（2）函数 ，
令 ，解得
，
当 时， 在 上递减，有 .所以 .
所以 有一个零点.
当 时， 在 上递增，所以 有一个零点.
当 时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增.
此时 ，所以 有一个零点.
综上所述： 在 上只有一个零点.
（3）当 时，不等式 解集为空集,等价于 在定义域内恒成立.
即 在定义域内恒成立.
在
( ) 1 a x af x x x
−′ = − =
( )( 1)( ) x a xg x x
− −′ = 1a > 1a = 0 1a< <
1( ) ln 1 0h x x xx
= + − − >
5 1( ) 02h
+ >
( )f x (0, )+∞ ( ) 1 a x af x x x
−′ = − =
( ) 0f x′ = x a=
x a> ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a +∞
0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )a
( )f x ( , )a +∞ (0, )a
21( ) ln2g x x ax x a x= − − + ( )( 1)( ) x a xg x x
− −′ =
( )( 1)( ) 0x a xg x x
− −′ = = 1 2, 1x a x= =
1(1) - - 02g a= < , ( )x g x→ +∞ → +∞
1a > ( )g x (1, )a (1) ( )g g a> ( ) 0g a <
( )g x
1a = ( )g x (0, )+∞ ( )g x
0 1a< < ( )g x (0, )a ( ,1)a (1, )+∞
21( ) ln 02g a a a a a= − − + < ( )g x
( )g x (0, )+∞
1a = 1( ) xf x x
−≤ 1( ) xf x x
−>
1( ) 0xf x x
−− >令 .
，令 ，得
列表得
— 0 +
递减 最小值 递增
因为 ，所以 .
又 ，所以
所以 恒成立.所以不等式 解集为空集
【点睛】本题考查了单调区间，零点个数，不等式恒成立，将不等式恒成立问题通过构造转
化为函数的最值问题是解题的关键.
1 1( ) ( ) ln 1xh x f x x xx x
−= − = + − −
2
2 2
1 1 1( ) 1 x xh x x x x
− −′ = − − = ( ) 0h x′ = 5 1
2x
+=
x 5 1(0, )2
+ 5 1
2
+ 5 1( , )2
+ +∞
( )h x′
( )h x
5 1 5 1( ) 5 1 ln2 2h
+ += − − 5 1
2 e
+ < 5 1ln 12
+ <
5 1 1− > 5 1( ) 02h
+ >
1( ) ( ) 0xh x f x x
−= − > 1( ) xf x x
−≤
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