北京市西城区 2019—2020 学年度第一学期期末试卷
高三数学
第Ⅰ卷（共 40 分）
本试卷共 5 页,共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试
卷上作答无效.
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项
1.设集合 ,若集合 有且仅有 个元素,则实数 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算，由题意知 ，由此可得， ．
【详解】因为集合 有且仅有 个元素，所以 ，即有 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
2.已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简复数 ，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.
【详解】由题意，复数 ，
所以复数 对应的点 位于第四象限.
{ } { }, 3,0,1| ,5A x x a B= < = − A B 2 a
( )3, − +∞ ( ]0,1 [ )1,+∞ [ )1,5
{ }3,0A B = − 0 1a< ≤
A B 2 { }3,0A B = − 0 1a< ≤
3
1
iz i
−= + z
1 2z i= −
( )( )
( )( )
3 13 2 4 1 21 1 1 2
i ii iz ii i i
− −− −= = = = −+ + −
z (1, 2)−故选 D.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法
则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.在 中,若 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ，再根据正弦定理即可求出边 ．
【详解】因为 ，所以根据正弦定理知， ，即
，解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题．
4.设 ,且 则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假．
【详解】对 A，若 ，则 ，错误；
对 B，当 时，取 ，根据对数函数的单调性可知， ，错误；
对 C，因为 ，所以 ，根据指数函数的单调性可知， ，正确；
对 D，当 时，取 ， ，错误．
故选：C．
ABC 6, 60 , 75a A B= = ° = ° c =
4 2 2 2 3 2 6
C c
180 75 60 45C = − − =
sin sin
a c
A C
=
6
sin 60 sin 45
c=
2 6c =
x y> 0,xy ≠
1 1
x y
> ln lnx y>
2 2x y− −< 2 2x y>
0x y> > 1 1
x y
<
x y> x 1, y 2= = − ln lnx y<
x y> x y− < − 2 2x y− −<
x y> x 1, y 2= = − 2 2x y
= − ≥
1 04 k− < ≤
( )51 x− 2x
( )51 x− ( )1 5
rr
rT C x+ = − 2x = 2x
( )22
5 1 10C − =属于基础题．
10.已知向量 满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，解得 ．
因此 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题．
11.在公差为 的等差数列 中, ,且 成等比数列, 则
______________
【答案】3
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式，用 表示出 ，再根据 成等比数列，列式即可
求解．
【 详 解 】 因 为 ， 所 以
，
而 成等比数列，所以 ，解得 或 (舍去)．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．
12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个
( ) ( )4,6 , 2,a b x= − = / /a b x∈R b =
13
x
/ /a b 4 2 6 0x− − × = 3x = −
( )222 3 13b = + − =
13
( ) 0d d ≠ { }na 1 1a = − 2 4 12, ,a a a d =
d 2 4 12, ,a a a 2 4 12, ,a a a
1 ( 1) 1 ( 1)na a n d n d= + − = − + −
2 4 121 , 1 3 , 1 11a d a d a d= − + = − + = − +
2 4 12, ,a a a 1 3 1 11
1 1 3
d d
d d
− + − +=− + − + 3d = 0d =【答案】3
【解析】
【分析】
根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．
【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱 PA 垂直于底面的四棱
锥．
由三视图可知， ， ．
因为 面 ，所以 都是直角三角形．
在 中， ，所以
， 也是直角三角形．
在 中， ，而 ，所以 不是直角
三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有 3 个．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，
2, 1PA AD AB BC= = = = ,AD AB BC AB⊥ ⊥
PA ⊥ ABCD ,PAB PAD
PBC 2 2 2 22 2, 1, 4 4 1 9PB BC PC PA AB BC= = = + + = + + =
2 2 2PB BC PC+ = PBC
PDC△ 2 2 2 24 4 8, 1 2 5PD CD= + = = + = 2 9PC = PDC△意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
13.对于双曲线,给出下列三个条件:
①离心率为 ;
②一条渐近线的倾斜角为 ;
③ 实轴长为 ,且焦点在 轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．
【答案】 ,答案不唯一
【解析】
【分析】
根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出 ，即可得到满足题意的一个的双曲线标
准方程．
【 详 解 】 若 选 择 ①③ ， 所 以 ， 解 得 ， 所 以
，
因为焦点在 轴上，所以双曲线的标准方程为 ．
若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．
故答案为： ，答案不唯一．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来 天内,这种水果每箱的销售利润
(单位:元)与时间 ,单位:天)之间的函数关系式为 , 且日销售量
(单位:箱)与时间 之间的函数关系式为
①第 天的销售利润为__________元;
②在未来的这 天中,公司决定每销售 箱该水果就捐赠 元给 “精准扶贫”对象.
为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间 的增大而增大,则 的最小值是
__________．
【答案】 (1). 1232 (2). 5
2
30°
8 x
2 2
116 48
x y− =
, ,a b c
2,2 8ce aa= = = 4, 8a c= =
2 2 2 2 28 4 48b c a= - = - =
x
2 2
116 48
x y− =
2 2
116 48
x y− =
20 r
1 20( ,t t t N≤ ≤ ∈ 1 104r t= +
y t 120 2y t= −
4
20 1 )( *m m N∈
t m【解析】
【分析】
①先求出第 4 天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；
②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出．
【详解】①因为 ， ，所以该天的销售利润
为 ；
②设捐赠后的利润为 元，则 ，
化简可得， ．
令 ，因为二次函数的开口向下，对称轴为 ，为满足题意所以，
，解得 ．
故答案为：①1232；②5．
【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题
意的理解和函数模型的建立，属于基础题．
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.已知函数
（1）求函数 的最小正周期;
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
【答案】（1） （2）最大值 ．最小值 .
【解析】
【分析】
（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)
合并成 的形式，即可求出函数 的最小正周期.
( ) 14 4 10 114r = × + = ( )4 120 2 4 112y = − × =
11 112 1232× =
W ( ) ( ) 1120 2 104W y r m t t m = − = − + −
( )21 2 10 1200 1202W t m t m= − + + + −
( )W f t= 2 10t m= +
( )
*
2 10 20
1 0
m
f
n N
+ ≥
>
∈
5m ≥
( ) 2 .6f x cosx sin x
π
=
−
( )f x
( )f x ,02
π−
π 0 3
2
−
( )siny A x kω ϕ= + + ( )f x（2）由 ，求出 ，再根据 的单调性可求出
函数 的最大最小值．
【详解】（1）因为
所以函数 最小正周期为 ．
（2）因为 ，所以 ，而 在 上单调递
减，在 上单调递增，而 ，
所以当 ，即 时， 取得最小值 ，
当 ，即 时， 取得最大值 ．
【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数
在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．
16.高铁和航空 飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在
2018 年这一年内从 市到 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 万人次.为了 解乘客出
行的满意度,现从中随机抽取 人次作为样本,得到下表(单位:人次):
老年人 中年人 青年人
满意度
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
10 分(满意) 12 1 20 2 20 1
5 分(一般) 2 3 6 2 4 9
0 分(不满
意)
1 0 6 3 4 4
的
的
,02x
π∈ −
72 ,6 6 6t x
π π π = − ∈ − − siny t=
( )f x
3 1( ) 2cos ( sin cos )2 2f x x x x= ⋅ −
23sin cos cosx x x= −
3 1 1sin 2 cos22 2 2x x= − −
π 1sin(2 )6 2x= − −
( )f x 2π π2T = =
π 02 x− ≤ ≤ 7π π π26 6 6t x− ≤ = − ≤ − siny t= 7 ,6 2
π π − −
,2 6
π π − −
7sin sin6 6
π π − > −
π π2 6 2t x= − = − π
6x = − ( )f x 3
2
−
π 7π2 6 6t x= − = − π
2x = − ( )f x 0
A B 50
100（1）在样本中任取 个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在 2018 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取 人次,记其中老年人出行
的人次为 .以频率作为概率,求 的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从 市出发到 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?
并说明理由.
【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望 （3）建议甲乘坐高铁从 市到 市.见
解析
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为
， ， ，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知 服从二项分布，先计算出随机选取 人次，此人为老年人概率是
，所以 ，即 ，即可求出 的分布列和
数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】（1）设事件：“在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人”为 ，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 ， ， ，
所以在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 ．
（2）由题意， 的所有可能取值为：
因为在 2018 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次，此人
为老年人概率是 ，
所以 ，
，
，
1
A B 2
X X
A B
29
50
2
5 A B
19 39 42
X 1
15 1
75 5
= 12, 5X B
( ) 2
2
1 115 5
k k
kP x k C
− = = − X
1 M
19 39 42
1 19 39 29( ) 100 50P M
+= =
X 01 2.，，
A B 1
15 1
75 5
=
0 2
2
1 16( 0) C (1 )5 25P X = = × − =
1
2
1 1 8( 1) C (1 )5 5 25P X = = × × − =
2 2
2
1 1( 2) C ( )5 25P X = = × =所以随机变量 的分布列为：
故 ．
（3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为 ，
所以建议甲乘坐高铁从 市到 市．
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分
布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
17.如图,在三棱柱 中, 平面 为正三角形, 侧面 是
边长为 的正方形, 为 的中点.
（1）求证 平面 ;
（2）求二面角 的余弦值;
（3）试判断直线 与平面 的位置关系,并加以证明.
X
0 1 2
16
25
8
25
1
25
16 8 1 2( ) 0 1 225 25 25 5E X = × + × + × =
52 10 12 5 11 0 116
52 12 11 15
× + × + × =+ +
4 10 14 5 7 0 22
4 14 7 5
× + × + × =+ +
116 22
15 5
>
A B
1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ,ABC ABC 1 1ABB A
2 D BC
1: / /A B 1AC D
1C AC D− −
1 1A B 1AC D【答案】（1）证明见解析（2） （3）直线 与平面 相交.证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理,在面 内找一条直线平行于 即可．所以连接
交 与点 ，再连接 ，由中位线定理可得 ，即可得证；
（2）取 的中点 ，连接 ．分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，如图建
立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；
（3）根据平面 的法向量与直线 的方向向量的关系，即可判断直线 与平面
的位置关系．
【详解】（1）由题意，三棱柱 为正三棱柱．
连接 ． 设 ，则 是 的中点．连接 ， 由 ， 分别为 和
的中点，得 ．又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ．
因为 为正三角形，且 为 中点，所以 ．
由 ， 分别为 和 的中点，得 ，
又因为 平面 ， 所以 平面 ，即有 ， ．
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
15
5 1 1A B 1AC D
1AC D 1A B 1AC
AC E DE 1//DE A B
1 1B C F DF DC DF DA x y z
1AC D 1 1A B 1 1A B
1AC D
1 1 1ABC A B C−
1AC 1 1AC AC E= E 1AC DE D E BC 1AC
1//DE A B DE ⊂ 1AC D 1A B ⊄ 1AC D
1 //A B 1AC D
1 1B C F DF
ABC D BC AD BC⊥
D F BC 1 1B C 1//DF BB
1BB ⊥ ABC DF ⊥ ABC DF AD⊥ DF BC⊥
DC DF DA x y z
(0,0, 3)A 1(1,2,0)C (1,0,0)C (0,0,0)D ( 1,0,0)B −所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ， ，得
令 ，得 ．
设平面 的法向量 ，
由 ， ，得
令 ，得 ．
设二面角 的平面角为 ，则 ．
由图可得二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3）结论：直线 与平面 相交．
证明：因为 ， ，且 ，
所以 ．
又因为平面 的法向量 ，且 ，
所以 与 不垂直，
因为 平面 ，且 与平面 不平行，
1 (1,2,0)DC = (0,0, 3)DA = ( 1,0, 3)CA = −
1 (0,2,0)CC =
1AC D 11 1 1( , , )n x y z=
1 0DA n⋅ =
1 1 0DC n⋅ = 1
1 1
3 0,
2 0,
z
x y
= + =
1 1y = 1 ( 2,1,0)= −n
1AC C 2 2 2 2( , , )n x y z=
2 0CA n⋅ =
1 2 0CC n⋅ = 2 2
2
3 0,
2 0,
x z
y
− + = =
2 1z = 2 ( 3,0,1)n =
1C AC D− − θ 1 2
1 2
15| cos | | | 5| | | |
n n
n n
θ ⋅= =
⋅
1C AC D− −
1C AC D− − 15
5
1 1A B 1AC D
( 1,0, 3)AB = − −
1 1 //A B AB 1 1=A B AB
1 1 ( 1,0, 3)A B = − −
1AC D 1 ( 2,1,0)n = −
1 1 1 2 0A B n⋅ = ≠
1 1A B
1n
1 1A B ⊄ 1AC D 1 1A B 1AC D故直线 与平面 相交．
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置
关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
18.已知椭圆 右焦点为 ,过点 且斜率为 的直线 与椭圆
交于 两点,线段 的中点为 为坐标原点.
（1）证明:点 在 轴的右侧;
（2）设线段 的垂直平分线与 轴、 轴分别相交于点 .若 与 的面
积相等,求直线 的斜率
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点 的横坐标即可证
出；
（2）根据线段 的垂直平分线求出点 的坐标，即可求出 的面积，再表示出
的面积，由 与 的面积相等列式，即可解出直线 的斜率 ．
【详解】（1）由题意，得 ，直线 （ ）
设 ， ，
联立 消去 ，得 ，
显然 ， ，
则点 的横坐标 ，
因为 ，
所以点 在 轴的右侧．
的
1 1A B 1AC D
2
2: 14
xW y+ = F F ( )0k k ≠ l W
,A B AB ,M O
M y
AB x y ,C D ODC△ CMF
l k
2
4
±
l M
AB ,C D ODC△
CMF ODC CMF l k
( 3,0)F ( 3)l y k x= −： 0k ≠
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
2
( 3),
1,4
y k x
x y
= −
+ =
y 2 2 2 2(4 1) 8 3 (12 4) 0k x k x k+ − + − =
> 0∆ 2
1 2 2
8 3
4 1
kx x k
+ = +
M
2
1 2
2
4 3
2 4 1M
x x kx k
+= = +
2
2
4 3 04 1M
kx k
= >+
M y（2）由（1）得点 的纵坐标 ．
即 ．
所以线段 的垂直平分线方程为： ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的面积 ，
的面积 ．
因为 与 的面积相等，
所以 ，解得 ．
所以当 与 的面积相等时，直线 的斜率 ．
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的
面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
19.已知函数 其中
（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
（2）当 时,求函数 的单调区间;
（3）若 对于 恒成立,求 的最大值.
【 答 案 】（1） （2） 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 单 调 递 减 区 间 为
.（3）
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；
M 2
3( 3) 4 1M M
ky k x k
−= − = +
2
2 2
4 3 3( , )4 1 4 1
k kM k k
−+ +
AB
2
2 2
3 1 4 3( )4 1 4 1
k ky xk k k
+ = − −+ +
0x =
2
3 3(0, )4 1
kD k + 0y = 2
2
3 3( ,0)4 1
kC k +
ODC
2 2
2 2 2 2
1 3 3 3 3 27 | || | | |=2 4 1 4 1 2(4 1)ODC
k k k kS k k k∆
⋅= ⋅ ⋅+ + +
CMF
2 2
2 2 2 2
1 3 3 3 3( 1) | || 3 | | |2 4 1 4 1 2(4 1)CMF
k k k kS k k k∆
+ ⋅= ⋅ − ⋅ − =+ + +
ODC CMF
2 2
2 2 2 2
27 | | 3( 1) | |
2(4 1) 2(4 1)
k k k k
k k
⋅ + ⋅=+ +
2
4k = ±
ODC CMF l 2
4k = ±
( ) 21 ,2
xf x e ax x= − + 1a > −
0a = ( )y f x= ( )( )0, 0f
1a = ( )f x
( ) 21
2f x x x b≥ + + x∈R b a−
1 0x y− + = ( )f x (0, )+∞
( ,0)−∞ 11 e
+（2）求出导数，依据 在 上单调递增，且 ，分别解不等
式 以及 ，即可求出函数 的单调增区间和减区间；
（3）由题意得 在 上恒成立，设 ，用导数讨
论函数的单调性，求出最小值 ，可得 ．再设
，求出函数 的最大值，即为 的最大值．
【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）由 ，得 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以
由 得， ，
所以函数 在 上单调递增 ，
由 得，
所以函数 在 上单调递减．
综上，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（3）由 ，得 在 上恒成立．
设 ，
则 ．
由 ，得 ，（ ）．
随着 变化， 与 的变化情况如下表所示：
0
( ) e 1xf x x′ = − + ( ),−∞ +∞ (0) 0f ′ =
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )f x
e ( 1) 0x a x b− + − ≥ x∈R ( ) e ( 1)xg x a x b= − + −
(ln( 1)) 0g a + ≥ 1 ( 1)ln( 1)b a a a− − + +≤
( ) 1 ln ( 0)h x x x x= − > ( )h x b a−
21( ) e 2
xf x x= + ( ) exf x x′ = +
(0) 1f = (0) 1f ′ =
( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + =
21( ) e 2
xf x x x= − + ( ) e 1xf x x′ = − +
(0) 0f ′ = ( ) e 1xf x x′ = − + ( ),−∞ +∞
( ) e 1 0xf x x′ = − + > 0x >
( )f x (0, )+∞
( ) e 1 0xf x x′ = − + < 0x <
( )f x ( ,0)−∞
( )f x (0, )+∞ ( ,0)−∞
21( ) 2f x x x b+ +≥ e ( 1) 0x a x b− + − ≥ x∈R
( ) e ( 1)xg x a x b= − + −
( ) e ( 1)xg x a′ = − +
( ) e ( 1) 0xg x a′ = − + = ln( 1)x a= + 1a > −
x ( )g x′ ( )g x
x ( ,ln( 1))a−∞ + ln( 1)a + (ln( 1), )a + +∞
( )g x′ − +↘ 极小值 ↗
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以函数 的最小值为 ．
由题意，得 ，即 ．
设 ，则 ．
因为当 时， ； 当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以当 时， ．
所以当 ， ，即 ， 时， 有最大值为
．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函
数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难
题．
20.设整数集合 ,其中 ，且对于任意
，若 ，则
（1）请写出一个满足条件的集合 ;
（2）证明:任意 ;
（3）若 ,求满足条件的集合 的个数.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）16 个
【解析】
【分析】
（1）根据题目条件，令 ，即可写出一个集合 ；
( )g x
( )g x ( ,ln( 1))a−∞ + (ln( 1), )a + +∞
( )g x (ln( 1)) ( 1) ( 1)ln( 1)g a a a a b+ = + − + + −
(ln( 1)) 0g a + ≥ 1 ( 1)ln( 1)b a a a− − + +≤
( ) 1 ln ( 0)h x x x x= − > ( ) ln 1h x x′ = − −
10 ex< < ln 1 0x− − > 1
ex > ln 1 0x− − <
( )h x 1(0, )e
1( , )e
+∞
1
ex = max
1 1( ) ( ) 1e eh x h= = +
11 ea + = 1 ( 1)ln( 1)b a a a= + − + + 1 1ea = − 2
eb = b a−
11 e
+
{ }1 2 100, , ,A a a a= … 1 2 1001 ··· 205a a a≤ < < < ≤
( ), 1 100i j i j≤ ≤ ≤ i j A+ ∈ .i ja a A+ ∈
A
{ }101,102, ,200 ,x x A∈ … ∉
100 205a = A
{1,2,3, ,100}A =
na n= {1,2,3, ,100}A = （2）由反证法即可证明；
（3）因为任意的 ，所以集合 中至多 5
个元素.设 ，先通过判断集合 中前 个元素的最大值可以推出
，故集合 的个数与集合 的子集个数相同，即可求
出．
【详解】（1）答案不唯一． 如 ；
（2）假设存在一个 使得 ，
令 ，其中 且 ，
由题意，得 ，
由 为正整数，得 ，这与 为集合 中的最大元素矛盾，
所以任意 ， ．
（3）设集合 中有 个元素， ，
由题意，得 ， ，
由（2）知， ．
假设 ，则 ．
因为 ，
由题设条件，得 ，
因为 ，
所以由（2）可得 ，
这与 为 中不超过 的最大元素矛盾，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
任给集合 的 元子集 ，令 ，
{ }101,102, ,200 ,x x A∈ … ∉ {201, 202, , 205}A
100 100ma b− = ≤ A 100 m−
(1 100 )ia i i m= −≤≤ A {201,202,203,204}
{1,2,3, ,100}A =
0 {101,102, , 200}x ∈ 0x A∈
0 100x s= + s∈N 1 00s≤ ≤1
100 sa a A+ ∈
sa 100 100sa a a+ > 100a A
{101,102, , 200}x ∈ x A∉
{201, 202, , 205}A (1 5)m m≤ ≤ 100 ma b− =
1 2 100 200ma a a −< <
100 100 100 5 5 100b m m− + − + = < −≤
100 100m b ma a A− − ++ ∈
100 100 100 100 200m b ma a− − ++ + =≤
100 100 100m b ma a− − ++ ≤
100 ma − A 100
100 100ma m− −≤
1 2 1001 ma a a −< <
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