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第2章 函数
2.2 函数的简单性质
2.2.2 函数的奇偶性
A级 基础巩固
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－x2＋5(x∈R) B．y＝－x
C．y＝x3(x∈R) D．y＝－(x∈R，x≠0)
解析：函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x是减函数；y＝－(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件．
答案：C
2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1
解析：设x＜0，则－x＞0.
所以f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1.
所以f(x)＝－x－1(x＜0)．
答案：B
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
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A. B. C. D．1
解析：因为f(－x)＝－f(x)，
所以＝－.
所以(2a－1)x＝0.
所以a＝.故选A.
答案：A
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．所以b＝0.
又a－1＝－2a，所以a＝.所以a＋b＝.
答案：B
5．(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
则f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|.
所以y＝f(x)|g(x)|为奇函数．
答案：C
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6．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：因为f(x)是偶函数，
则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又当x≥0时，f(x)是增函数，
所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
答案：A
7．如图所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值是________．
解析：利用f(－2)＝－f(2)或作出函数y＝f(x)在区间[－2，0]上的图象(关于原点中心对称)可知，f(－2)＝－.
答案：－
8．已知f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x(1－x)．则当x＜0时，f(x)＝________ .
解析：当x＜0时，－x＞0，
又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．
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答案：x(1＋x)
9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，即k＝1，此时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为________．
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
答案：0
11．已知函数f(x)和g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1.且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
解：因为f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，所以g(－1)＝.
又因为g(x)为奇函数，
所以g(－1)＝－g(1)．
所以g(1)＝－g(－1)＝－.
所以f(1)＝2g(1)＋1＝2×＋1＝－6.
12．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
(1)当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝
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－(x3－3x2＋1)＝－f(x)；
(2)当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝
－(x3＋3x2－1)＝－f(x)，
由(1)(2)知，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
B级 能力提升
13．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，
所以g(－1)＝g(1)．
因为f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
答案：B
14．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)＞f(7) B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9) D．f(7)＞f(10)
解析：因为函数y＝f(x＋8)为偶函数，其对称轴是y轴，所以y＝f(x)的对称轴是直线x＝8.
所以f(7)＝f(9)，
又y＝f(x)在区间(8，＋∞)上是减函数．
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所以f(9)＞f(10)，故f(7)＞f(10)．
答案：D
15．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．
解析：因为函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
则(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|.
所以|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|.
所以a＝0.
答案：0
16．已知函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明．
解：(1)函数f(x)是偶函数，定义域为R.
因为f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数．证明如下：
当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2－2|x|＝x2＋2x.
设－1＜x1＜x2＜0，
则x1－x2＜0，且x1＋x2＞－2，
即x1＋x2＋2＞0.
因为f(x1)－f(x2)＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在区间(－1，0)上是增函数．
17．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求实数a的取值范围．
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解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
因为2a2＋a＋1＝2＋＞0，
2a2－2a＋3＝2＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a－2a＋3)，
所以2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞.
故a的取值范围是.
18．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上：f(x)＝
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(2)图象如图所示．
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