数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 ，则集合 M 与集合 P 的关系是
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域是
A. B. C. D.
3. 已知 ，且 ，则角 的终边位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知函数 ，则 的值是
A. B. C. D.
5. 设 ， ， ，则
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则 是
A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 偶函数
7. 在下列图象中，二次函数 及指数函数 的图象只可能是
A.
B.
C. D.
8. 若将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍纵坐标不变，再将所得图
象沿 x 轴向右平移 个单位长度，则所得图象的一个对称中心是A. B. C. D.
9. 函数 在区间 上的最大值是
A. 1 B. C. D.
10. 已知 是 上的减函数，那么 a 的取值范围是
A. B. C. D.
11. 已知函数 是定义在 R 上的奇函数．且当 时， ，则 的值为
A. B. C. D. 2
12. 设函数 ， ，则函数 的零点个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为______ ．
14. 已知函数 ， 是偶函数，则 ______．
15. 某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔 4 年价格就降低 ，则现在价格为 8100 元的
笔记本电脑，12 年后的价格将降为______元．
16. 已知 ，若 ，则实数 x 的取值范围为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 求函数 在区间 上的最大值和最小值．
18. 已知集合 ．
若集合 A 是空集，求 a 的取值范围；
若集合 A 中只有一个元素，求 a 的值，并写出此时的集合 A．19. 已知 ，Ⅰ求 tanx 的值；Ⅱ求 的值．
20. 已知函数 的一段图象如图所示
求此函数的解析式；
求此函数在 上的递增区间．
如图所示，摩天轮的半径为 40m，O 点距地面的高度为 50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转
动，且每 2min 转
一 圈 ， 摩 天 轮 上 点 P 的 起 始 位 置 在 最 高
点．
Ⅰ试确定点 P 距离地面的高度 单位： 关于旋转时间 单位： 的函数关系式；Ⅱ在摩
天轮转动一圈内，有多长时间 P 点距离地面超过 70m？
21. 已知函数 是对数函数．
若函数 ，讨论 的单调性；
若 ，不等式 的解集非空，求实数 m 的取值范围．答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为 ，
即 ，
，
所以 ，
故选：D．
由函数的定义域及值域得： ， ，即 ，得解
本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题
2.【答案】A
【解析】解：由 ，解得 ．
函数 的定义域是
故选：A．
由分母中根式内部的代数式大于 0，对数式的真数大于 0 联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知
三角函数值的符号问题，由 ，则角 的终边位于三四象限，由 ，可得角 的终
边位于二三象限，两者结合即可解决问题．
【解答】
解： ，且 ，
，则角 的终边位于三四象限，
，
角 的终边位于二三象限，
角 的终边位于第三象限．
故选 C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，结合分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键．比较基
础．
根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．
【解答】
解： ，，
故 ，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解： ， ， ，
则 ，
故选：B．
分别讨论 a，b，c 的取值范围，即可比较大小．
本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．
6.【答案】B
【解析】【分析】
化简解析式 即可求出其周期和奇偶性．
本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的奇偶性，属于基础题．
【解答】
解： 是最小正周期为 的偶函数．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出 a、
b 的正负情况是求解的关键．
根据二次函数的对称轴首先排除 B、D 选项，再根据 的值的正负，结合二次函数和指数
函数的性质逐个检验即可得出答案．
【解答】
解：根据指数函数 可知 a，b 同号且不相等
则二次函数 的对称轴 可排除 B 与 D
选项 C， ， ， ，则指数函数单调递增，故 C 不正确
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍纵坐标不变，
得到： 的图象，再将所得图象沿 x 轴向右平移 个单位长度，
得到： ，当 时，
所以：图象的一个对称中心是
故选：D．
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和函数的对称性求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和
转化能力，属于基础题型．
9.【答案】C
【解析】解：由 ，
， ．
故选：C．
先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到 ，然后再求其在区间 上的
最大值．
本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一
定要会灵活运用．
10.【答案】A
【解析】解：因为 为 上的减函数，
所以有 ，
解得 ，
故选：A．
由 为 上的减函数，知 递减， 递减，且 ，从而
得 ，解出即可
本题考查函数单调性的性质，属中档题
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．
【解答】
解： ，
，
是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，
，所以 ，
故选 B．
12.【答案】B
【解析】解：可由题意在同一个坐标系中画出 和 的
图象
其中红色的为 的图象，由图象可知：
函数 和 的图象由三个公共点，即 的零
点个数为 3，
故选：B．
由题意可作出函数 和 的图象，图象公共点的个数即
为函数 的零点个数．
本题为函数零点个数的求解，转化为函数图象的交点个数
来求是解决问题的关键，属中档题．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
【解答】
解：设扇形的半径为 R，弧长为 l，面积为 S，圆心角为 ，
由于 弧度，可得： ，
由于扇形的周长为 ，
所以： ，
所以解得： ，扇形的弧长 ，
扇形的面积为：
故答案为 4．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查偶函数的定义和性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，属于基础
题．
利用偶函数的定义及图象关于 y 轴对称的特点，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于
a，b 的方程，即可求出 的值．
【解答】
解： 函数 ， 是偶函数，
， 或 1，
， ．
偶函数的图象关于 y 轴对称，
， ．．
故答案为 4．
15.【答案】2400
【解析】解：12 年后的价格可降为 元．
故答案为：2400．
每 4 年后的价格成公比为 、首项为 8100 的等比数列，由通项公式可得．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由 ，得 ．
由 ，得 ，即 ．
实数 x 的取值范围为
故答案为：
由已知可得 ，再由有理指数幂的运算性质转化为对数不等式求解．
本题考查对数不等式的解法，考查对数的运算性质，是基础题．
17.【答案】解：令 ，由 ，可得 ，
则函数 ，
则当 即 时，函数 y 取得最小值 4；
当 即 时，函数 y 取得最大值 53，
综上可得函数的最小值为 4，最大值为 53．
【解析】本题考查指数函数的最值和可化为二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档
题．
可令 ，由 ，可得 ，则函数 ，可得最值．
18.【答案】解： 若 A 是空集，
则方程 无解
此时
即
若 A 中只有一个元素
则方程 有且只有一个实根
当 时方程为一元一次方程，满足条件
当 ，此时 ，解得：或
若 ，则有 ；
若 ，则有
【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程
根的情况，是解答本题的关键．
为空集，表示方程 无解，根据一元二次方程根的个数与 的关系，我们易得
到一个关于 a 的不等式，解不等式即可得到答案．
若 A 中只有一个元素，表示方程 为一次方程，或有两个等根的二次方程，分
别构造关于 a 的方程，即可求出满足条件的 a 值．
19.【答案】解：Ⅰ由 ，
；
Ⅱ原式
，
由Ⅰ知 ，
所以上式 ．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．Ⅰ由
可直接求出 ，再由二倍角公式可得 tanx 的值．
Ⅱ先对所求式子进行化简，再同时除以 cosx 得到关于 tanx 的关系式得到答案．
20.【答案】解： 由函数的图象可知 ， ，
周期 ，
，
，，
函数的图象经过 ，
，
即 ，
又 ，
；
函数的解析式为：
由已知得 ，
得 ，
即函数的单调递增区间为 ， ．
当 时，为 ，
当 时，为 ，
，
函数在 上的递增区间为 和 ．
【解析】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要
求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．
根据三角函数的图象求出 A， ， ，即可确定函数的解析式；
根据函数的表达式，即可求函数 的单调递增区间．
21.【答案】解：Ⅰ建立平面直角坐标系，如图所示；
设 是以 x 轴正半轴为始边， 表示点 P 的起始位置为终边的角，
由题意知 OP 在 内转过的角为 ，即 ；
所以以 x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为 ，
即点 P 的纵坐标为 ，
由题意知 ，
所以点 P 距离地面的高度 h 关于旋转时间 t 的函数关系式为
，化简得 ；Ⅱ当 时，
解得 ；
又 ，
所以符合题意的时间段为 或 ，
即在摩天轮转动一圈内，有 内 P 点距离地面超过 70m．
【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．Ⅰ建立平面直角坐标系，设 是
以 x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角，求出 OP 在 t 时间内转过的角度，表示出点 P 的纵
坐标，再求点 P 距离地面的高度 h 关于 t 的函数关系式；Ⅱ计算 时 t 的取值
范围，再求对应的时间段．
22.【答案】解： 由题中可知： ，解得： ，
所以函数 的解析式：
，
，
，
即 的定义域为 ，
由于
，
令 ， 则：由对称轴 可知，
在 单调递增，在 单调递减；
又因为 在 单调递增，
故 单调递增区间 ，单调递减区间为 ．
不等式 的解集非空，
所以 ，
由 知，当 时，函数 单调递增区间 ，单调递减区间为 ，
，
所以 ，
所以 ， ，
所以实数 m 的取值范围 ．
【解析】 先求出 a 的值，根据复合函数的单调性即可求出 的单调区间；
，不等式 的解集非空，转化为求出 的最小值即可．
本题考查了对数函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和不等式恒成立的问题，属于中
档题．
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