数学试题
【满分 150 分，考试时间 120 分钟】
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合 ，则 所有子集个数为
A．3 B．4 C．7 D．8
2．如图是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去
掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次
为
A． B． C． D.
3．已知 ，则使函数 的值域为 ，且为奇函数的
所有 的值为
A． B． C． D．
4．在区间 内任取一个数，则使 有意义的概率为
A． B． C． D．
5．将一个骰子抛掷一次，设事件 表示向上的一面出现的点数不超过 ，事件 表示向上
的一面出现的点数不小于 ，事件 表示向上的一面出现奇数点，则
A． 与 是对立事件 B． 与 是互斥而非对立事件
C． 与 是互斥而非对立事件 D． 与 是对立事件
6． 采 用 系 统 抽 样 方 法 从 人 中 抽 取 人 做 问 卷 调 查 ， 为 此 将 他 们 随 机 编 号 为
，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 .抽到的 人中，
编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ，其余的
人做问卷 .则抽到的人中，做问卷 的人数为
A．7 B．9 C．10 D．15
7．已知某地 、 、 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了
解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取 的户数进行调査，
则样本容量和抽取 村贫困户的户数分别是
A． B． C． D．
8．已知小张每次射击命中十环的概率都为 %，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击
恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定
表示命中十环， 表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击
(0,5) 2 3x −
2
5
1
2
3
5
7
10
A 2 B
3 C
A B A B
B C B C
960
1,2,3,...,960 9 32
[ ]1,450 A [ ]451,750 B
C B
A B C
10%
C
{ }2 42 0 , 0,1
xM x x x N x x Zx
− = − − > = ≤ ∈ + M N∩
85,84 84,85 86,84 84,84
{ }1,1,2,3α∈ − y xα= R
α
1,3 1,1− 1,3− 1,1,3−
32
100,20 100,10 200,20 200,10
40
0 9 2,4,6,8
0,1,3,5,7,9的结果，经随机模拟产生了如下 组随机数：
据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为
A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40
9．一组数据的平均数是 ，方差是 ，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到
一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是
A． B． C． D．
10．设 表示 三者中的最小者，若函数 ，则当
时， 的值域是
A． B． C． D．
11．已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 的零点个数为 4 个时，
实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．如图，矩形的长为 ，宽为 ，在矩形内随机地撒 颗黄豆，数得落
在阴影部分的黄豆为 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为
________．
14．一个样本 ， ， ， 的平均数是 ，且 ， 是方程 的两根，则这
个样本的方差是 ．
15．一只蚂蚁在边长分别为 的 区域内随机爬行，则其恰在到顶点 或顶点
或顶点 的距离小于 的地方的概率为___________．
16．下列说法：
①函数 的单调增区间是 ；
②若函数 定义域为 且满足 ，则它的图象关于 轴对称；
③函数 的值域为 ；
④函数 的图象和直线 的公共点个数是 ，则 的值可能是
{ }cba ,,min cba ,, { }xxxf x 224,,2min)( 2 −=
[ ]5,1∈x )(xf
[ ]32,1 [ ]14,1 [ ]14,2 [ ]16,1
( )
>−
≤+
=
1,1ln
1,2
22
)(
xx
xxf
x
3
2)()()( 2 +−= xafxfxF
a
+∞∪
,3
7
3
5,3
62
3
7,3
62
2,3
5 ( )+∞∪
,23
5,3
62
6 3 300
125
a 3 5 7 b a b 2 5 4 0x x− + =
20
321,421,292,925,274,632,800,478,598,663,531,297,396,021,506,318,230,113,507,965.
2.8 3.6
57.2,3.6 57.2,56.4 62.8,63.6 62.8,3.6
( ) ( )2log 2af x x ax= − [ ]4,5 a
( )1,4 ( ]1,4 ( )1,2 ( ]1,2
6,8,10 ABC∆ A
B C 1
( )2
1
2
log 2 3y x x= − − ( ),1−∞
( )y f x= R ( ) ( )1 1f x f x− = + y
( ) ( )
1
xf x x Rx
= ∈+ ( )1,1−
23y x= − ( )y a a R= ∈ m m；
⑤若函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是
.
其中正确的序号是_________.
三、解答题：本大题共 70 分
17．(本题满分 10 分)
某学校高二年级举办了一次数学史知识竞赛活动，共有 名学生参加了这次竞赛．为
了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为 分）进
行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：
序号 分组 组中
值 频数 频率
（i） （分数） （Gi） （人数） （Fi）
1 65 6 ①
2 75 ② 0.40
3 85 ③ 0.24
4 95 ④ 0.24
合计 50 1
（1）填出频率分布表中的空格；
（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于 分的同学能获奖，请估计在参
加的 名学生中大概有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的 的值．
18．(本题满分 12 分)
口袋中有质地、大小完全相同的 个小球，编号分别为 、 、 、 、 ，甲、乙
两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸出一个球，记下编号，如
5 1 2 3 4 5
0,2,3,4
( ) ( )2 2 5 1f x x ax a= − + > [ ]1,3x∈ a
5,3
800
100
80
800
S果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求甲赢且编号的和为 的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
19．(本题满分 12 分)
某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得
到如下数据：
单价 元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
销量 件 100 94 93 90 85 78
（1）若销量 与单价 服从线性相关关系，求该回归方程；
（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是 元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂
获得最大利润。
附：对于一组数据 ， ，… ，
其回归直线 的斜率的最小二乘估计值为 ；
本题参考数值： ．
20．(本题满分 12 分)
某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分
成 ， ， ， ， ， 六组后，得到部分频率分
布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数 内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（3）若从第 组和第 组两组学生中，随机抽取 人，求所抽取 人成绩之差的绝对值大于
的概率.
21．(本题满分 12 分)
在平面直角坐标系中，记满足 的点 形成区域 ，
（1）若点 的横、纵坐标均在集合 中随机选择，求点 落在区域 内
的概率；
（2）若点 在区域 中均匀出现，求方程 有两个不同实数根的概率
6
x
y
( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y
y bx a= + 1
2 2
1
n
i i
i
n
i
i
x y n x y
b
x n x
=
=
− ⋅ ⋅
=
− ⋅
∑
∑
6 6
2 2
1 1
5116 , 6 0.7i i i
i i
x y x x
= =
= − =∑ ∑
[40 50)， [50 60)， [60 70)， [70 80)， [80 90)， [90 100]，
[70 80)，
y x
5
ˆˆa y bx= −
60
1 6 2 2
10
3, 3p q≤ ≤ ( ),p q A
( ),p q { }1,2,3,4,5 ( ),p q A
( ),p q A 2 2 0x x q− + =22．(本题满分 12 分)
已知函数 ，其中 为实数．
（1）若函数 为定义域上的单调函数，求 的取值范围．
（2）若 ，满足不等式 成立的正整数解有且仅有一个，求 的取值范
围．
2
4 ,0 2( )
( 2) 2 , 2
x xf x x
x a x a x
− < ≤=
− + + − >
a
( )f x a
7a < ( ) 0f x a− > a数学试题答案
一、选择题：
1-5：BAADA 6-10:CBBDD 11-12:CA
二、填空题：
13． . 14. 15. 16. ③ ④ ⑤
三、解答题：
17. （1）①0.12②20③12④12…………………..4 分
（2）
∴可估算出参赛的 800 名学生中大概有 384 名同学获奖;………….7 分
（3）
∴输出 S 的值为 81……………………..10 分
18．解： 设“甲赢且编号的和为 ”为事件 ，
事件 包含的基本事件为 ， ， ， ， ,共 个．
又甲、乙两人取出的数字共有 个等可能的结果．∴ ,
故甲赢且编号的和为 的事件发生的概率为 ．……………………….6 分
设“甲胜”为事件 ，“乙胜”为事件 ,则甲胜包含的基本事件数为 个，即
， ， , , , , , ， , , , , ,
∴ , ∵ ≠
∴这种游戏规则不公平．……………………………………………………12 分
19.解： （1） =
又
所以
故 回 归 方 程 为
15
2 5
)1( 6 A
A )5,1( )4,2( )3,3( )2,4( )1,5( 5
25 5
1
25
5)( ==AP
6 5
1
)2( B C 13
)1,1( )3,1( )5,1( )2,2( )4,2( )1,3( )3,3( )5,3( )2,4( )4,4( )1,5( )3,5( )5,5(
25
13)( =BP 25
12
25
131)(1)( =−=−= BPCP )(BP )(CP
9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
6x
+ + + + += 9.5
100 94 93 90 85 78 90,6y
+ + + + += =
6 6
2 2
1 1
5116 , 6 0.7i i i
i i
x y x x
= =
= − =∑ ∑
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
= =
−
∑
∑
5116 6 9.5 90 200.7
− × × = −
90 20 9.5 280,a y bx= − = + × =…………………………..6 分
（2）设该产品的售价为 元，工厂利润为 元，当 时，利润 ，定价不合理。
由 得 ，故
，当 时， 取得最大值.
因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为 9.5 元……………………………12 分
20.解：（1）设分数在 内的频率为 ，根据频率分布直方图，
则有 ，可得 ，
所以频率分布直方图略……………………..4 分
（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的
两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，
所以中位数是 ，所以估计本次考试成绩的中位数为 ……………8 分
（3）设所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 为事件 ，
第 1 组学生数： 人（设为 1，2，3，4，5，6）
第 6 组学生数： 人（设为 ）
所有基本事件有：12，13，14，15，16， ，23，24，25，26， ， ， ，
34，35，36， ， ， ，45，46， ， , ，56， ， ， ， ，
， ， ， ， 共有 36 种，
事件 包括的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ,
， ， ， ， ， ， 共有 18 种
所以 ……………………………………………………………………..12 分
21.解：根据题意，点 的横、纵坐标在集合 中随机选择，共有 个
基本事件，并且是等可能的，其中落在 ， 的区域内有 ， ， ， ，
， ， ， ， 共 个基本事件
所以点 落在区域 内的概率为 …………………………………………..6 分
（2） ， 表示如图的正方形区域，易得面积为
20 280.y x= − +
x L 5x ≤ 0L ≤
20 280 0y x= − + > 14x < 5 14x< <
( 5)( 20 280)L x x= − − + 20( 5)(14 )x x= − − 9.5x = L
[ )70,80 x
( )0.01 0.015 2 0.025 0.005 10 1x+ × + + × + = 0.3x =
1 170 10 733 3
+ × = 1733
M
60 0.1 6× =
60 0.05 3× = , ,A B C
1 ,1 ,1A B C 2A 2B 2C
3A 3B 3C 4A 4B 4C 5A 5B 5C 6A
6B 6C AB AC BC
M 1 ,1 ,1A B C 2A 2B 2C 3A 3B 3C 4A 4B
4C 5A 5B 5C 6A 6B 6C
( ) 18 1
36 2P M = =若方程 有两个不同实数根，即 ，解得
为如图所示直线 下方的阴影部分，其面积为
则方程 有两个不同实数根的概率 ……………………………..12 分
22.解：（1）由题意，当 时， 为减函数，
当 时， ，
若 时， 也为减函数，且 ，
此时函数 为定义域上的减函数，满足条件；
若 时， 在 上单调递增，则不满足条件．
综上所述， ．…………………………………..4 分
（2）由函数的解析式，可得 ，
当 时， ，不满足条件；
当 时， 为定义域上的减函数，仅有 成立，满足条件；
当 时，在 上，仅有 ，
对于 上， 的最大值为 ，
不存在 满足 ，满足条件；
当 时，在 上，不存在整数 满足 ，
0 2x< ≤
4( )f x xx
= −
2x > ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + −
2a ≤ ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + − ( ) ( )2 0f x f< =
( )f x
2a > ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + −
22 , 2
a +
2a ≤
( ) ( )1 3, 2 0f f= =
0a < ( ) ( )2 0 , 1 3f a f a= > = >
0 2a≤ ≤ ( )f x ( )1 3f a= >
2 3a< < 0 2x< ≤ ( )1 3f a= >
2x > ( )f x
22 ( 2) 1
2 4 4
a af a
+ − = ≤
3 7a≤ < 0 2x< ≤ x ( ) 0f x a− >对于 上， ，
不存在 满足 ，不满足条件；综上所述， ．……………………12 分
2x >
2 2( 2) ( 4) 12 3
4 4 4
a aa
− − −− = < −
x ( ) 0f x a− > 0 3a≤
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