高三年级数学试卷 第 1页（共 3页）
天津市和平区 2019～2020 学年度高三年级上学期期末考试
一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 设全集为 R ，集合 { | 1 3}A x Z x ，集合 {B 1，2}，则集合 ( )RA B ð （ ）
A.{ 1 ， 0} B. ( 1 ，1) (2 ， 3]
C. (0 ，1) (1 ， 2) (2 ， 3] D.{0 ，3}
2. 设 x R ，则“ 2 1x ”是“ 2 4 3 0x x ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 奇函数 ( )f x 在区间[3 ，6] 上是增函数，在区间[3 ， 6]上的最大值为 8，最小值为 1，则 (6)f
( 3)f 的值为（ ）
A. 10 B.15 C.10 D.9
4. 已知圆的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且与直线3 4 4 0x y 相切，则圆的方程是（ ）
A. 2 2 4 0x y x B. 2 2 4 0x y x
C. 2 2 2 3 0x y x D. 2 2 2 3 0x y x
5. 设 0.22a ， 3log 0.9b ， 0.11 log 4c ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A. a c b B.b c a C. c a b D. c b a
6. 将函数 sin( )cos( )2 2y x x 的图象沿 x 轴向左平移
8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的取值不可能是（ ）
A. 3
4
B.
4
C.
4
D. 5
4
7. 抛物线 2 8y x 的焦点 F 是双曲线
2 2
2 2 1( 0x y aa b
， 0)b 的一个焦点， (A m ， )( 0)n n 为抛
物线上一点，直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，若 8AF ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
8. 某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括 A 、 B 、C 三个类型问题，这三个类型所含
题目的个数分别占总数的 1
2
， 1
3
， 1
6
.现有 3 名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题
目所属类型互不相同的概率为（ ）
A. 1
36
B. 1
12
C. 1
6
D. 1
3
9. 已知函数
2
2
log ( 1) 1 1 0
( ) 2 0
x x
f x x x xx
.若方程 ( ) 1f x kx 有两个实根，则实数 k 的取值
范围是（ ）
A. 1(2
， 2) B.(1， 2 ]ln2
C. (1， 2] D. 1(2
， 2 )ln2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
10. 设i 是虚数单位，复数
2
a i
i
的模为 1，则正数 a 的值为_______.
11. 已知 0a ， 6
2( )ax x
的二项展开式中，常数项等于 60，则 6
2( )ax x
的展开式中各项系数和为____
（用数字作答）.高三年级数学试卷 第 2页（共 3页）
12. 设随机变量 X 的概 1 1 1ABC A B C 率分布列如下表，则随机变量 X 的数学期望 EX ________.
X 1 2 3 4
P 1
3 m 1
4
1
6
13. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3 ， 2AB ， 1AC ，
60BAC ，则此球的表面积等于_______.
14. 如图，在 ABC 中， 3AB ， 4AC ， 45BAC ， 2CM MB ，过点 M 的直线分别交射线
AB 、 AC 于不同的两点 P 、Q ，若 AP mAB ， AQ nAC ，则当 3
2m 时， n __________，
AP AQ _______.
15. 已知正实数 x ， y 满足 2 24 1 2x y xy ，则当 x ______时， 1 2 1
x y xy
的最小值是_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 14×2＋15＋16×2＝75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c .已知 2 2 2 4 cosc a b bc C ，且
2A C .
⑴求 cosC 的值；
⑵求 cos( )3B 的值.
17. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB AC ，顶点 1A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ，且
1 2AB AC A B .
⑴证明：平面 1A AC 平面 1AB B ；
⑵求棱 1AA 与 BC 所成的角的大小；
⑶若 P 为 1 1B C 的中点，求二面角 1P AB A 的平面角的余弦值.高三年级数学试卷 第 3页（共 3页）
18. 已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，离心率为 1
2
，点 P 是椭圆C 上
的一个动点，且 1 2PF F 面积的最大值为 3 .
⑴求椭圆C 的方程；
⑵过点 (0M ，1) 作直线 1l 交椭圆C 于 A 、B 两点，过点 M 作直线 1l 的垂线 2l 交圆O ：
2
2 2
4
ax y
于另一点 N .若 ABN 的面积为 3，求直线 1l 的斜率.
19. 已知等比数列{ }na 的公比 1q ，且 3 4 5 28a a a ， 4 2a 是 3a 、 5a 的等差中项.
⑴求数列{ }na 的通项公式；
⑵试比较
1 1 2( 1)( 1)
n
k
k k k
a
a a 与 1
2
的大小，并说明理由；
⑶若数列{ }nb 满足 *
2 1log ( )n nb a n N ，在每两个 kb 与 1kb 之间都插入 1 *2 ( )k k N 个 2，使得数
列{ }nb 变成了一个新的数列{ }pc ，试问：是否存在正整数 m ，使得数列{ }pc 的前 m 项和 2019mS ？
如果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由.
20. 设函数 ( ) xf x ae ， ( ) lng x x b ，其中 a ， b R ， e 是自然对数的底数.
⑴设 ( ) ( )F x xf x ，当 1a e 时，求 ( )F x 的最小值；
⑵证明：当 1a e ， 1b 时，总存在两条直线与曲线 ( )y f x 与 ( )y g x 都相切；
⑶当 2
2a e
时，证明： ( ) [ ( ) ]f x x g x b .高三年级数学试卷 第 1页（共 6页）
参考答案高三年级数学试卷 第 2页（共 6页）高三年级数学试卷 第 3页（共 6页）高三年级数学试卷 第 4页（共 6页）高三年级数学试卷 第 5页（共 6页）高三年级数学试卷 第 6页（共 6页）
微信/支付宝扫码支付