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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.3 幂函数
A级 基础巩固
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x－
答案：A
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为( )
A. B. C. D．2
解析：依题意，3α＝＝3－，则α＝－，所以f(x)＝x－，故f(4)＝4－＝.
答案：A
3．函数y＝x图象的大致形状是( )
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解析：因为y＝x是偶函数，且在第一象限图象沿x轴递增，所以选项D正确．
答案：D
4．下列函数中与y＝ 定义域相同的函数是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
答案：D
5．下图中的曲线C1与C2分别是函数y＝xp和y＝xq在第一象限内的图象，则一定有( )
A．q0
答案：A
6．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x B．y＝x－
C．y＝x D．y＝x
解析：y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故y＝x
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的定义域与值域不同．
答案：D
7．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．a＜b＜c D．b＞c＞a
解析：因为函数y＝在R上是减函数，
又＞，所以＜，即a＜b.
又因为函数y＝x在R上是增函数，且＞，
所以＞，
即c＞b，所以a＜b＜c.
答案：C
8．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0，0)(1，1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
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解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确，④正确．
答案：④
9．下列幂函数：①y＝x－1；②y＝x；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3.其中在定义域内为增函数的是________(填序号)．
解析：由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．
答案：②③⑤
10．幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．
解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
所以m2－m－1＝1.所以m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意．
综上可知m＝2.
答案：2
11．由幂函数的图象可知，使x3－x2＞0成立的x的取值范围是________．
解析：在同一坐标系中作出y＝x3及y＝x2的图象(图略)可得不等式成立的x的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
12．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A.
(1)求实数α的值；
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(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
解：(1)因为f(x)＝xα的图象经过点A，
所以＝，即2－α＝2.所以α＝－.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－＝－＝＝
.
因为x2＞x1＞0，
所以x1－x2＜0，且·(＋)＞0.
于是f(x2)－f(x1)＜0，f(x2)＜f(x1)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)内是减函数.
B级 能力提升
13．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x) B．g(x)＜h(x)＜f(x)
C．h(x)＜f(x)＜g(x) D．f(x)＜g(x)＜h(x)
解析：在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示．
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所以当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2，
即f(x)＜g(x)＜h(x)．
答案：D
14．已和幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________．
解析：因为函数是幂函数，所以k＝1，又因为其图象过点，所以＝，解得α＝，故k＋α＝.
答案：
15．若(a＋1)＜(2a－2) ，则实数a的取值范围是________．
解析：因为幂函数y＝x在R上为增函数，
又(a＋1) ＜(2a－2) ，
所以a＋1＜2a－2，解得a＞3.
答案：(3，＋∞)
16．已知幂函数f(x)＝xm2＋m－2(m∈Z)的图象关于y轴对称，
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且在(0，＋∞)上是减函数，则函数g(x)＝2x＋的最小值是________．
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1.
又m∈Z，所以m＝－1，0.
此时均有f(x)＝x－2时图象关于y轴对称．
所以f(x)＝x－2(x≠0)．
所以g(x)＝2x＋x2＝(x＋1)2－1(x≠0)．
所以g(x)min＝－1.
答案：－1
17．已知幂函数f(x)的图象过点(25，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．
解：(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
所以α＝，所以f(x)＝x.
(2)因为g(x)＝f(2－lg x)＝，
所以要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0.
所以lg x≤2，则0＜x≤100.
所以g(x)的定义域为(0.100]，
又2－lg x≥0，
所以g(x)的值域为[0，＋∞)．
18．已知函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，且为奇函数．
(1)求a的值；
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(2)求函数g(x)＝f(x)＋(f(x))2在上的值域．
解：(1)因为函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，
所以a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
当a＝0时，f(x)＝x是奇函数．
当a＝1时，f(x)＝x2为偶函数，不合题意(舍去)．
因此a＝0.
(2)由(1)知g(x)＝x＋x2＝－.
g(x)在上是增函数，
当x＝0时，函数取得最小值g(0)＝0；
当x＝时，函数取得最大值g＝＋＝.
故g(x)在区间 上的值域为.
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