石景山区 2020 届高三第一学期期末
数学
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算，得到答案.
【详解】因为集合 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.复数 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】A
【解析】
【分析】
先对复数 进行化简，然后得到其共轭复数 ，再找到其再复平面对应的点，得到答案.
【详解】 ，
所以
{ }0 2A x x= ≤ ≤ { }1,0,2,3B = − A B =
{ }0,1,2 { }0,2 { }1,3−
{ }1,0,1,2,3−
{ }0 2A x x= ≤ ≤ { }1,0,2,3B = −
{ }0,2A B =
2
1 iz = +
z z
( )
2
2 12 11 1
iz ii i
−= = = −+ −
1z i= +在复平面对应的点为 ，在第一象限.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.
3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断四个选项中的函数的奇偶性和在 上的单调性，得到答案.
【详解】选项 A 中， ，是奇函数，但在 上单调递增，不满足要求；
选项 B 中， ，是偶函数，不满足要求，
选项 C 中， ，是奇函数，在 上单调递减，满足要求；
选项 D 中， ，是偶函数，不满足要求.
故选：C.
【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.
4.已知向量 ， ，若 ，则实数 ( )
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量坐标的线性运算得到 ，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于 的方程，解
出 的值，得到答案.
【详解】因为向量 ，
所以 ，
z ( )1,1
3( )f x x= ( ) lg | |f x x= ( )f x x= −
( ) cosf x x=
( )0,1
( ) 3f x x= ( )0,1
( ) lgf x x=
( )f x x= − ( )0,1
( ) cosf x x=
( )5,a m= ( )2, 2b = − ( )a b b− ⊥ m =
a b− m
m
( )5,a m= ( )2, 2b = −
( )3, 2a b m+ = + 因为 ，
所以
所以
解得 .
故选：B.
【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.
5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石 D. 1365 石
【答案】B
【解析】
【详解】设夹谷 石，则 ，
所以 ，
所以这批米内夹谷约为 石，故选 B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
【此处有视频，请去附件查看】
6.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别对 ， ， 与特殊值 或 进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
( )a b b− ⊥
( ) 0a b b− ⋅ =
( )6 2 2 0m− + =
1m =
x 28
1534 254
x =
1534 28 169.1254x
×= ≈
169
3log 4a = log 3b π= 5c = a b c
a b c< < a c b< < b c a< <
b a c< <
a b c 1 2
3 3 31 log 3 log 4 log 9 2= < < = 1 2a< <
log 3 log 1π π π< = 1b<
5 4 2> = 2>c所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.
7.艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从 7 个原
始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分．5 个有效评分与 7 个原始评分
相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.
【详解】从 7 个原始评分去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分，
其平均数、极差、方差都可能会发生改变，
不变的数字特征数中位数.
故选：A.
【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.
8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方
体体积的比值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
b a c< <
1
8
1
7
1
6
1
5【分析】
根 据 三 视 图 还 原 出 几 何 体 ， 得 到 是 在 正 方 体 中 ， 截 去 四 面 体
，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.
【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述，
得到是在正方体 中，截去四面体
设正方体的棱长为 ，
则 ，
故剩余几何体的体积为 ，
所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公
式解答，属于简单题.
9.在等差数列 中，设 ，则 是 的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分非必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
举出特殊数列的例子，即可排除选项．
【详解】若等差数列为
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1 1A A B D−
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1A A B D−
a
1 1 1
3 31 1 1
3 2 6A A B DV a a− = × =
3 3 31 5
6 6a a a− =
1
5
{ }na *, , ,k l p r N∈ k l p r+ > + k l p ra a a a+ > +
1 2 3 4 55, 4, 3, 2, 1 ..a a a a a= = = = = …则当 时， 成立，但 不成立，所以非充
分条件
当 时， 成立，但 不成立，所以非必要
条件
综上可知， 是 的既非充分非必要条件
所以选 D.
【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应
用，属于基础题．
10.关于曲线 ．给出下列三个结论：
① 曲线 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数 点）
② 曲线 上任意一点到原点的距离都不大于
③ 曲线 上任意一点到原点的距离都不小于 2
其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
将曲线 ，看成关于 的方程，利用方程有解，得到 的范围，再分别研
究对应的整数 和 的情况；根据基本不等式，得到 的范围，从而判断出曲线 上
一点到原点的距离范围.
【详解】曲线 ，看成关于 的二次方程
则 ，得
所以整数 的取值为 ，
当 时， 或 ，满足题意
当 时， 不是整数，不满足题意
当 时， 或 ，满足题意
的
1, 5, 2, 3k l p r= = = = k l p r+ > + k l p ra a a a+ > +
1, 2, 3, 4k l p r= = = = k l p ra a a a+ > + k l p r+ > +
k l p r+ > + k l p ra a a a+ > +
:C 2 2 4x xy y+ + =
C 6
C 2 2
C
:C 2 2 4x xy y+ + = y x
x y 2 2x y+ C
:C 2 2 4x xy y+ + = y
( )2 24 4 0x x∆ = − − > 2 16
3x <
x 2, 1,0,1,2− −
2x = − 0y = 2y =
1x = − y
0x = 2y = 2y = −当 时， 不是整数，不满足题意
当 时， 或 ，满足题意
故曲线 过的整点为 ， ， ， ， ， ，共 6 个，
故命题①正确.
，
当 时， ，即 ，
得 ，即
当且仅当 或 时，等号成立
所以得曲线 上任意一点到原点的距离都不大于 ，命题②正确.
当 时， ，即 ，
得 ，即 ，
当且仅当 或 时，等号成立
所以得曲线 上任意一点到原点的距离都不小于 ，故命题③错误；
故选：C
【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题.
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
11.在 的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示)
【答案】-160
【解析】
试 题 分 析 ： ， 由 得 ： r=3 ， 所
1x = y
2x = 0y = 2y = −
C ( )2,0− ( )2,2− ( )0,2 ( )0, 2− ( )2,0 ( )2, 2−
( )2 24 x y xy− + =
0xy < 2 2
2
x yxy
+≥ − ( ) 2 2
2 24 2
x yx y
+− + ≥ −
2 2 8x y+ ≤ 2 2 2 2x y ≤+
2,2 −== yx 2, 2x y= − =
C 2 2
0xy ≥ 2 2
2
x yxy ≤ + ( ) 2 2
2 24 2
x yx y ≤ +− +
2 2 8
3x y+ ≥ 2 2 2 6
3x y+ ≥
2 3
3x y= = 2 3
3x y= = −
C 2 6
3
62( )x x
−
( )6- 6-2
+1 6 6
2= - = -2
r
rr r r r
rT C x C xx
6-2 =0r．
考点：二项式定理．
点评：熟记二项展开式的通项公式： ．此通项公式集中体现
了二项展开式中的指数、项数、系数的变化．
12.双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为_________________；
【答案】1
【解析】
试题分析：由双曲线方程可知 ，则 ，即 ，
所 以 焦 点 为 ， 渐 近 线 为 ． 所 以 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为
．
考点：1 双曲线的基本性质；2 点到线的距离．
13.已知数列 为等比数列， ， ，则 _______
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，得到 ，从而得到关于 的方程，解出 的值，得到
答案.
【详解】因为数列 为等比数列，
所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为： .
( ) 3
6 6-2 =-8 =-160r rC C
-
+1= ( =0,1,2, )r n r r
r nT C a b r n…，
2
2 13
x y− =
2 23, 1a b= = 2 2 2 4c a b= + = 3, 1, 2a b c= = =
( )2,0± 3
3y x= ±
2
3 23 1
3( ) 13
d
×
= =
+
{ } *( )na n n+ ∈N 1 1a = 2 2a = 3a =
5
( ) ( )( )2
2 1 32 1 3a a a+ = + + 3a 3a
{ } *( )na n n+ ∈N
( ) ( )( )2
2 1 32 1 3a a a+ = + +
( ) ( )( )2
32 2 1 1 3a+ = + +
3 5a =
5【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题.
14.已知平面 ．给出下列三个论断：① ；② ；③ ∥ ．以其中 两个
论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___
【答案】①③ ②或②③ ①
【解析】
【分析】
根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案.
【详解】由 ， ∥ ，可得
故①③ ②，
由 ， ∥ ，可得
故②③ ①，
由 ， ，
则平面 与平面 可以平行和可以相交，
故①② ③.
故答案为：①③ ②或②③ ①
【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题.
15.在 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，则 的值为_______.
【答案】
【解析】
试题分析：∵ 代入 得 ，由余弦定
理得 ．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．
【此处有视频，请去附件查看】
16.已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，
的, ,α β γ α β⊥ α γ⊥ β γ
⇒ ⇒
α β⊥ β γ α γ⊥
⇒
α γ⊥ β γ α β⊥
⇒
α β⊥ α γ⊥
β γ
⇒ ⇒
ABC∆ A B C a b c
1 ,2sin 3sin4b c a B C− = = cos A
1
4
−
32sin 3sin , 2 3 , ,2B C b c b c= ∴ = ∴ =
1
4b c a− = 2a c=
2 2 2 1cos 2 4
b c aA bc
+ −= = −
1e
2e α O α α P当 时，则称有序实数对 为点 的广义坐标，若点 、 的广义坐标分
别为 、 ，对于下列命题:
① 线段 的中点的广义坐标为
② 向量 平行于向量 的充要条件是
③ 向量 垂直于向量 的充要条件是
其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号）
【答案】①②
【解析】
分析】
根据定义，分别写出 中点 的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标
表示进行判断，得到答案.
【详解】点 、 的广义坐标分别为 、
可得 ，
设 为 中点，则
所以线段 的中点的广义坐标为 ，故命题①正确
向量 平行于向量 ，则
即 ，
所以 ，故命题②正确，
向量 垂直于向量 ，则
即
，故命题③不一定正确.
故答案为：①②.
【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查
理解推理能力，属于中档题.
【
1 2OP xe ye= + ( , )x y P A B
1 1( , )x y 2 2( , )x y
AB 1 2 1 2( , )2 2
x x y y+ +
OA OB
1 2 2 1x y x y=
OA OB
1 2 1 2 0x x y y+ =
AB M
A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y
1 1 1 2OA x e y e= +
2 1 2 2OB x e y e= +
M AB ( ) 1 2 1 2
1 2
1
2 2 2
x x y yOM OA OB e e
+ += + = +
AB 1 2 1 2( , )2 2
x x y y+ +
OA OB OA OBλ=
( ) ( )1 1 2 2, ,x y x yλ=
1 2 2 1x y x y=
OA OB 0OA OB⋅ =
( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2 0x e y e x e y e+ ⋅ + =
( )2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 0x x e x y x y e e y y e+ + + = 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.已知函数 .
（Ⅰ）若 ，且 ，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的最小正周期，及函数 的单调递减区间.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）最小正周期 . .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 以及 的范围，得到 ，代入到 中，得到答案；（Ⅱ）对
进行整理化简，得到 ，根据正弦型函数的图像和性质，求
出其周期和单调减区间.
【详解】解：（Ⅰ）因为 ，且 ，
所以 .
所以 .
（Ⅱ）
所以函数 的最小正周期 .
由 ，
解得 .
1( ) cos (sin cos ) 2f x x x x= + −
π0 2
α< < 3sin 5
α = ( )f α
( )f x ( )f x
( ) 31
50f α = π π 5ππ π+8 8k ,k ,k + ∈ Z
3sin 5
α = α cosα ( )f α
( )f x ( ) 2 sin 22 4f x x
π = +
0 ,2
πα< < 3sin 5
α =
2 41 5cos sinα α= − =
( ) 4 3 4 1 28 1 31=5 5 5 2 25 2 50f α = + − = −
( ) ( ) 1cos sin cos 2f x x x x= + −
2 1cos sin cos 2x x x= ⋅ + −
1 1 cos2 1sin 22 2 2
xx
+= + −
( )1 sin 2 cos22 x x= +
2 sin 22 4x
π = +
( )f x 2π π2T = =
π π 3π2 π 2 2 π+ ,2 4 2k x k k Z+ ≤ + ≤ ∈
π 5ππ π+ ,8 8k x k k Z+ ≤ ≤ ∈所以函数 的单调递减区间 .
【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数
进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.
18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6 点”获得 15 分，
出现三次“6 点”获得 120 分，没有出现“6 点”则扣除 12 分(即获得－12 分)．
（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6 点”的次数为 X，求 X 的分布列；
（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；
（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而
减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．
【答案】（Ⅰ）分布列见解析 （Ⅱ） （Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先得到 可能的取值为 ， ， ， ，根据每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 ，
得到 每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得 15 分的概率，从而
得到两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为 ，得到 的分布列和
数学期望，从而得到结论.
【详解】解：（Ⅰ） 可能的取值为 ， ， ， .
每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 .
， ，
， ，
所以 X 的分布列为：
0 1 2 3
（Ⅱ）设每盘游戏没有得到 15 分为事件 ，
( )f x π 5ππ π+8 8k ,k ,k + ∈ Z
95
144
X 0 1 2 3 1
6p =
X
Y Y
X 0 1 2 3
1
6p =
0 3
3
1 125( 0) (1 )6 216P X C= = − = 1 2
3
1 1 75( 1) (1 )6 6 216P X C= = ⋅ − =
2 2
3
1 1 15( 2) ( ) (1 )6 6 216P X C= = ⋅ − = 3 3
3
1 1( 3) ( )6 216P X C= = =
X
P 125
216
25
72
5
72
1
216
A则 .
设“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”为事件 ，
则
因此，玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为 .
（Ⅲ）设每盘游戏得分为 .
由（Ⅰ）知， 的分布列为：
Y -12 15 120
P
的数学期望为 .
这表明，获得分数 的期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题.
19.已知在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 是正三角形，
CD⊥平面 PAD，E,F,G,O 分别是 PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面 ；
（Ⅱ）求平面 EFG 与平面 所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，若存在，求线
段 的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ） （Ⅲ）不存在，见解析
( ) 125 1 7
216 216 12P A = + =
B
( )P B = ( ) 2
2 7 951 1 12 144P A − = − =
95
144
Y
Y
125
216
5
12
1
216
Y 125 5 1 512 15 120216 12 216 36EY = − × + × + × = −
Y
P ABCD− ABCD 4 PAD△
ABCD
ABCD
PA M GM EFG π
6
PM
π
3【解析】
【分析】
（Ⅰ）正三角形 中 ，由 平面 得到 ，所以得到
面 ；（Ⅱ）以 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面 的法向量，和平面
的法向量，从而得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，再得到所求
的角；（Ⅲ）线段 上存在满足题意的点 ，直线 与平面 法向量的夹角为 ，
设 ， ，利用向量的夹角公式，得到关于 的方程，证明方程无解，从
而得到不存在满足要求的点 .
【详解】（Ⅰ）证明:因为△ 是正三角形，
是 的中点，
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 .
， 平面 ，
所以 面 .
（Ⅱ）如图，以 点为原点分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间
直角坐标系.
则 ，
， ，
设平面 的法向量为
所以 ，即
令 ，则 ，
PAD PO ⊥ AD CD ⊥ PAD PO ⊥ CD PO ⊥
ABCD O EFG
ABCD EFG ABCD
PA M GM EFG 3
π
PM PAλ= [ ]0,1λ ∈ λ
M
PAD
O AD
PO ⊥ AD
CD ⊥ PAD PO ⊂ PAD
PO ⊥ CD
AD CD D= AD CD ⊂， ABCD
PO ⊥ ABCD
O OA OG OP x y z
(0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), ( 2,4,0), ( 2,0,0), (0,4,0), (0,0,2 3)O A B C D G P− −
( 1,2, 3), ( 1,0, 3)E F− − (0, 2,0), (1,2, 3)EF EG= − = −
EFG ( , , )m x y z=
0
0
EF m
EG m
⋅ =
⋅ =
2 0,
2 3 0,
y
x y z
− = + − =
1z = ( 3,0 1)m = ，又平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
所以 .
所以平面 与平面 所成锐二面角为 .
（Ⅲ）假设线段 上存在点 ，
使得直线 与平面 所成角为 ，
即直线 与平面 法向量 所成的角为 ，
设 ， ，
，
所以
所以 ，
整理得 ，
，方程无解，
所以，不存在这样的点 .
【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在
性问题.
20.已知函数 .（ ）
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ， 的图象与 轴交于点 ，求 在点 处的切线方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当 时， 恒成立．
【答案】（Ⅰ） 时， 单调增区间为 ，无单调减区间，
时， 单调增区间为 ，单调减区间为 .
ABCD (0,0,1)n =
EFG ABCD θ
( )2 2
1 1cos 23 1 1
m n
m n
θ
⋅
= = =
+ ×
EFG ABCD π
3
PA M
GM EFG 6
π
GM EFG m
3
π
PM PAλ= [ ]0,1λ ∈
,GM GP PM GP PAλ= + = +
( )( )2 , 4,2 3 1GM λ λ= − −
2
3cos cos ,3 2 4 6 7
GM m
π
κ λ
= =
− +
22 3 2 0λ λ− + =
∆ < 0
M
( ) xf x e ax= − a R∈
( )f x
3a = ( )f x y A ( )y f x= A
0x > 2( ) 3 1f x x x> − +
0a ≤ ( )f x R
0a > ( )f x ( )ln ,a +∞ ( ),ln a−∞ （Ⅱ） （Ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对 求导，得到 ，对 按照 和 进行分类讨论，研究 的正
负，从而得到 的单调区间；（Ⅱ）将 代入 ，得到切线斜率，点斜式写出
切线方程；（Ⅲ）令 ，得到 ，令 ，得
到 ，从而得到 ，得到 在 上单调递增，即
，从而使得原命题得证.
【详解】解：（Ⅰ） ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 .
当 变化时， ， 变化情况如下表：
– 0 +
减 极小值 增
所以 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述， 时， 单调增区间为 ，无单调减区间，
时， 单调增区间为 ，单调减区间为 .
（Ⅱ） 时，
令 ，得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
的
2 1y x= − +
( )f x ( )f x′ a 0a ≤ 0a > ( )f x′
( )f x 0x = ( )f x′
( ) 2( ) ( 3 1)g x f x x x= − − + ( ) 2xg x e x′ = − ( ) ( )h x g x′=
( ) 2xh x e′ = − ( ) ( )ln2 0h x h≥ > ( )g x ( ),−∞ +∞
( ) ( )0 1 0 1 0g x g> = − − =
( ) xf x e a′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R
0a > ( ) 0f x′ = lnx a=
x ( )f x′ ( )f x
x ( ,ln )a−∞ ln a (ln , )a +∞
( )f x′
( )f x
0a > ( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞
0a ≤ ( )f x R
0a > ( )f x ( )ln ,a +∞ ( ),ln a−∞
3a = ( ) 3xf x e x= −
0x = 1y = ( )0,1A
( ) e 3xf x′ = − ( )0 1 3 2f ′ = − = −所以在 点处的切线方程为 ，即 .
（Ⅲ）证明：令 ，
则 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
所以 ，
即 恒成立.
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
即当 时， 恒成立．
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切
线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.
21.已知椭圆 过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程，并求其离心率；
（Ⅱ）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线
上），直线 关于 的对称直线 与椭圆交于另一点 ．设 为坐标原点，判断直线
与直线 的位置关系，并说明理由．
【答案】（Ⅰ） ，离心率 ．（Ⅱ）直线 与直线 平行．见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点 代入到椭圆方程，解得 的值，根据 ，得到 的值，从而求
A 1 2( 0)y x− = − − 2 1y x= − +
( ) 2 2( ) ( 3 +1) = e 1xg x f x x x x= − − − −
( ) 2xg x e x′ = −
( ) e 2xh x x= − ( ) 2xh x e′ = −
0 ln2x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
ln2x > ( ) 0h x′ > ( )h x
( ) ( ) ln2ln2 e 2ln2 2 2ln2 0h x h≥ = − = − >
( ) 0g x′ >
( )g x ( ),−∞ +∞
( ) ( )0 1 0 1 0g x g> = − − =
2e 1 0x x− − >
0x > ( ) 2 3 1f x x x> − +
2 2
2: 12
x yC a
+ = (2,1)P
C
P x l A C A l
PA l PB B O AB
OP
2 2
18 2
x y+ = 3
2
AB OP
( )2,1 a 2 2c a b= − c出离心率；（Ⅱ）直线 ， ，点 ，
，将直线与椭圆联立，得到 和 ，从而得到 的斜率，得到 ，得到
直线 与直线 平行．
【详解】解：（Ⅰ）由椭圆 过点 ，
可得 ，解得 ．
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，离心率 ．
（Ⅱ）直线 与直线 平行．
证明如下：由题意，设直线 ， ，
设点 ， ，
由 得
，
所以 ，所以 ，
同理 ，
所以 ，
由 ， ，
有 ，
因为 在第四象限，所以 ，且 不在直线 上，所以 ，
又 ，故 ，所以直线 与直线 平行.
: 1 ( 2)PA y k x− = − : 1 ( 2)PB y k x− = − − A ( )1 1,x y B
( )2 2,x y 1x 2x AB AB OPk k=
AB OP
2 2
2: 12
x yC a
+ = (2,1)P
2
4 1 12a
+ = 2 8a =
2 2 2 8 2 6c a b= − = − =
C
2 2
18 2
x y+ = 6 3
22 2
e = =
AB OP
: 1 ( 2)PA y k x− = − : 1 ( 2)PB y k x− = − −
A ( )1 1,x y B ( )2 2,x y
2 2
18 2
2 1
x y
y kx k
+ =
= − +
( ) ( )2 2 24 1 8 1 2 16 16 4 0k x k k x k k+ + − + − − =
1 2
8 (2 1)2+ 4 1
k kx k
−= +
2
1 2
8 8 2
4 1
k kx k
− −= +
2
2 2
8 +8 2
4 1
k kx k
−= +
1 2 2
16
4 1
kx x k
− = − +
1 1 2 1y kx k= − + 2 2 2 1y kx k= − + +
1 2 1 2 2
8( ) 4 4 1
ky y k x x k k
− = + − = − +
A 0k ≠ A OP 1 2
1 2
1
2AB
y yk x x
−= =−
1
2OPk = AB OPk k= AB OP【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档
题.
22.已知由 个正整数构成的集合 ，记
，对于任意不大于 的正整数 ，均存在集合 的一个子集，使得该
子集的所有元素之和等于 m.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求证：“ 成等差数列”的充要条件是“ ”；
（Ⅲ）若 ，求 的最小值，并指出 取最小值时 的最大值.
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ） 的最小值为 11，此时 的最大
值 .
【解析】
【分析】
（ Ⅰ ） 和 时 ， 根 据 的 定 义 ， 以 及 集 合
的性质，得到答案；（Ⅱ）必要性： ，可得
，充分性：由条件可得 ，从而有 ，当且仅当 时，
等号成立，从而得证；（Ⅲ）含有 个元素的非空子集个数有 ，当 时，不满足
题 意 ， 当 时 ， 集 合 ， 可 以 表 示
共 个正整数，满足题意，由 并且 得
到 ，结合 ，得到 的最大值
【详解】解:（Ⅰ） 时，由条件知 ，必有 ，又 均为整数，
.
时，由条件知 ，由 的定义及 均为整数，必有 ，
.
（Ⅱ）必要性：由“ 成等差数列”及 ,
*( )n n∈N 1 2 1 2{ , , , }( , 3)n nA a a a a a a n= < <
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