新乡市 2020 届新高三调研考试
数学（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1.若向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量减法的坐标运算直接求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量减法的坐标运算，属于基础题.
2.设 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数 运算法则，分子分母同时乘以 ，得出 ，再利用共轭复数的定义即
可得出。
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若 ， ，
， ，在进行复
的
( )1,2AB = ( )1,3AC = − BC =
( )2, 1− ( )1,2− ( )2,1− ( )1, 2−
( ) ( ) ( )1,3 1,2 2,1BC AC AB= − = − − = −
C
2
2
iz i
−= + z =
3 4
5 5 i+ 3 4
5 5
− i
3 4
5 5 i− + 3 4
5 5 i− −
(2 i)− 3 4 i5 5z = −
22 i (2 i) 3 4 i2 i (2 i)(2 i) 5 5z
− −= = = −+ + −
3 4
5 5z i∴ = +
1 az bi= + 2z c di= +
1 2 a + c d a b dz z bi i c+ = + + +（ ）（ ）=（ ）+( + ) i 1 2 ac- + ad )z z bd bc i= + （ ）（数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。
3.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合 ，根据并集的定义可求得结果.
【详解】 ，
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
4.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不
更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现
有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，
要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”
已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
【答案】B
【解析】
【分析】
将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列 ，可知 ， ，从而求得等差数列
的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果.
【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列 ,则
又
{ }2 12M x x x+ = + − ≤ ， 2 a
4 027
− ， ( ( )41, ] 0 +27
− − ∪ ∞，
41 27
− − ， ( )41 0 +27
− − ∪ ∞ ， ，【解析】
【分析】
将问题转化为 与 恰有 个交点；利用导数和二次函数性质可得
到 的图象，通过数形结合可确定 或 时满足题意，进而求得结
果.
【详解】令 ，则 恰有 个零点等价于 与 恰有
个交点
当 时， ，则
当 时， ；当 时，
上单调递减，在 上单调递增
当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
可得 图象如下图所示：
若 与 有两个交点，则 或
又 ，
在
( ) 3 2
2
, 0
2 , 0
x x xg x
x x x
− >= + ≤
y a= 2
( )g x 0a > ( ) 21 3g a g − < <
( ) 3 2
2
, 0
2 , 0
x x xg x
x x x
− >= + ≤
( )f x 2 ( )y g x= y a= 2
0x > ( ) 3 2g x x x= − ( ) 23 2g x x x′ = −
∴ 20, 3x ∈
( ) 0g x′ < 2 ,3x ∈ +∞
( ) 0g x′ >
( )g x∴ 20, 3
2 ,3
+∞
0x ≤ ( ) ( )22 2 1 1g x x x x= + = + −
( )g x∴ ( ), 1−∞ − ( ]1,0−
( )g x
( )y g x= y a= 0a > ( ) 21 3g a g − < <
( )1 1g − = − 2 8 4 4
3 27 9 27g = − = − 即当 时， 恰有 个零点
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于
轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意
的范围.
二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．
13.已知 为奇函数，当 时， ，则当 时， =_________．
【答案】
【解析】
【分析】
当 时， ，求得 ；根据奇函数 可求得结果.
【详解】当 时， ，
为奇函数
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.
14.已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线定义可构造方程求得结果.
【详解】由抛物线定义可知： ，又 ，解得：
本题正确结果：
( )41, 0,27a ∴ ∈ − − +∞
( )41, 0,27a ∈ − − +∞ ( )f x 2
D
x
( )f x 0x ≥ ( ) 2f x x= 0x < ( )f x
2x−
0x < 0x− > ( )f x− ( ) ( )f x f x= − −
0x < 0x− > ( ) ( )2 2f x x x− = − =
( )f x ( ) ( ) 2f x f x x∴ = − − = −
2x−
2 8y x= ( )0 0x y， 2
0x 0x =
2
2
0 0 2x x= + 0 0x ≥ 0 2x =
2【点睛】本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.
15.如图，为测量某山峰的高度（即 的长），选择与 在同一水平面上的 ， 为观测
点.在 处测得山顶 的仰角为 ，在 处测得山顶 的仰角为 .若 米，
，则山峰的高为_________米.
【答案】
【解析】
【分析】
设出 OP，分别在直角三角形 AOP 和直角三角形 BDP 中，求得 OA，OB，进而在△AOB 中，由余
弦定理求得山峰的高度．
【详解】设 OP＝h，在等腰直角△AOP 中，得 OA＝OP= ．
在直角△BOP 中，得 OP＝OBtan60°得 OB＝ h
在△AOB 中，由余弦定理得
，
得 h＝ （米）．则山峰的高为 m．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能
力．
16.设正三棱锥 的高为 ，且此棱锥的内切球的半径 ，则 ＝
OP O A B
A P 45° B P 60° 30AB =
30AOB∠ = °
30 3
h
3
3
( )
2
2 23 330 2 303 3h h h h cos
= + − ⋅ ⋅ °
30 3 30 3
30 3
P ABC− H R = 1
7 H
2
2
H
PA_______．
【答案】
【解析】
【分析】
取线段 中点 ，设 在底面 的射影为 ，连接 。设出底面边长
和斜高 ，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出此棱锥的内切球的半
径，由此得到 的值，故可求出 和 ，以及 的值。
【详解】取线段 的中点 ，设 在底面 的射影为 ，连接 （图略），设
则 ， 设 ， 则 正 三 棱 锥 的 表 面 积 为
，又正三棱锥 的体积 ，则
，又
【点睛】本题主要通过正三棱锥的结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在等比数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
的
35
39
AB D P ABC O ,CD PD AB a=
PD ma=
m H PA
2
2
H
PA
AB D P ABC O ,CD PD
,AB a= 3 1 3
2 3 6OD a a= × = PD ma= P ABC−
2 21 3 6 33 2 4 4
mS a ma a a
+= × × + = P ABC− 21 3
3 4V a= × H
2
2
3
3 14
76 3
4
a HVR HS m a
= = =
+
2 2 353, 12m H PD OD a∴ = ∴ = − =
2
2
13 35,2 39
HPA a PA
= ∴ =
{ }na 3 9a = 4 29 54a a+ =
{ }na
(2 1)n nb n a= + { }nb n nS
13 −= n
na 3n
nS n= ⋅（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果；
（2）先求出 通项，利用错位相减法可以得到前 项和 .
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
解得
故 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，①
，②
①-②得
故 .
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力
及计算能力，难度中等.
18.已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在 上的值域．
【答案】(1) 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减. (2)
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，分别在 和 两种情况下讨论导函数 符号，从而得到
的单调性；（2）由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，可知
， ，求得最小值和最大值后即可得到函数值
的
{ }nb n nS
3 9a = 4 29 54a a+ =
2
1
3
1 1
9
9 54
a q
a q a q
=
+ =
1 1
3
a
q
=
=
{ }na 1 1
1 3n n
na a q − −= =
1(2 1) 3n
nb n −= + ⋅
2 2 13 5 3 7 3 (2 1) 3 (2 1) 3n n
nS n n− −= + × + × + + − ⋅ + + ⋅
2 3 13 3 3 5 3 7 3 (2 1) 3 (2 1) 3n n
nS n n−= × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
2 3 12 3 2 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 2 3n n n
nS n n−− = + × + × + × + + × − + ⋅ = − ⋅
3n
nS n= ⋅
( ) ( ) ( )2 0xf x k x e k= − ≠
( )f x
1k = ( )f x [ ]1,4−
0k > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ k 0< ( )f x
( ),1−∞ ( )1,+∞ 4,2e e −
0k > k 0< ( )f x
( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞
( ) ( )min 1f x f= ( ) ( ) ( ){ }max max 1 , 4f x f f= −域.
【详解】（1）由题意得：
①当 时， 时， ； 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
②当 时， 时， ； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减
综上所述： 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减
（2）当 时，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ，
又 ，
在 上的值域为：
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求
解函数在一段区间内的值域的问题；关键是能够通过对参数的讨论，得到导函数在不同情况
下的符号，从而得到函数的单调性.
19.如图，在四棱锥 中，正方形 所在平面与正 所在平面垂直，
分别为 的中点， 在棱 上．
( ) ( ) ( )2 1x x xf x ke k x e k x e′ = + − = −
0k > ( ),1x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( ),1−∞ ( )1,+∞
k 0< ( ),1x∈ −∞ ( ) 0f x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ),1−∞ ( )1,+∞
0k > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ k 0< ( )f x
( ),1−∞ ( )1,+∞
1k = ( ) ( )2 xf x x e= −
( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞
∴ [ ]1,4x∈ − ( ) ( )min 1f x f e= = − ( ) ( ) ( ){ }max max 1 , 4f x f f= −
( ) 31 0f e
− = − < ( ) 44 2 0f e= > ( ) ( ) 4
max 4 2f x f e∴ = =
( )f x∴ [ ]1,4− 4,2e e −
B ACDE－ ACDE ABC△
M N， BC AE， F CD(1)证明： 平面 ．
(2)已知 ，点 到 的距离为 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）取 中点 ，连接 ， ；根据线面平行的判定定理可分别证得 平面
和 平面 ；根据面面平行判定定理得平面 平面 ，利用面面平
行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知 平面 ，由线面垂直性质可得
；根据等边三角形三线合一可知 ；根据线面垂直判定定理知
平面 ，从而得到 ；设 ，表示出 三边，利用面积桥构造方程
可求得 ；利用体积桥，可知 ，利用三棱锥体积公式求得结果.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
为 中点
又 平面 ， 平面 平面
四边形 为正方形， 为 中点
又 平面 ， 平面 平面
， 平面 平面 平面
又 平面 平面
（2） 为正三角形， 为 中点
平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面
/ /MN BDE
2AB = M AF 30
5
C AFM－
3
6
CD G NG MG / /MG
BDE / /NG BDE / /MNG BDE
CD ⊥ ABC
CD AM⊥ AM BC⊥ AM ⊥
BCD AM MF⊥ CF a= Rt AFM∆
1a = C AFM A FCMV V− −=
CD G NG MG
,G M ,CD BC / /GM BD∴
BD ⊂ BDE GM ⊄ BDE / /GM∴ BDE
ACDE ,N G ,AE CD / /NG DE∴
NG ⊂ BDE NG ⊄ BDE / /NG∴ BDE
GM NG G= ,GM NG ⊂ MNG ∴ / /MNG BDE
MN ⊂ MNG / /MN∴ BDE
ABC∆ M BC AM BC∴ ⊥
ACDE ⊥ ABC CD AC⊥ ACDE ABC AC= CD ⊂平面 ，又 平面
又 ， 平面 平面
平面
设 ，则 ， ，
，即： ，解得：
【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的
判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解
决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥
的体积的求解问题.
20.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 （单位：千万元）对
年销售量 （单位：千万件）的影响，统计了近 年投入的年研发费用 与年销售量
的数据，得到散点图如图所示．
(1)利用散点图判断 和 （其中 均为大于 的常数）哪一个更适合作为
年销售量 和年研发费用 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理，令 ，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问
的判断结果及表中数据，求 关于 的回归方程；
ACDE
CD\ ^ ABC AM ⊂ ABC AM CD∴ ⊥
BC CD C∩ = ,BC CD ⊂ BCD AM∴ ⊥ BCD
FM ⊂ BCD AM MF∴ ⊥
CF a= 24AF a= + 21MF a= + 3AM =
30
5AF AM MF∴ ⋅ = ⋅
2
230 4 3 15
a a
× + = × + 1a =
1 1 1 31 1 33 3 2 6C AFM A FCM FCMV V S AM− − ∆∴ = = ⋅ = × × × × =
x
y 10 ix
( )1 2 10iy i = …， ，
y a bx= + · dy c x= c d， 0
y x
,i i i iu lnx v lny= =
y x
15 15 28.25 56.5
(3)已知企业年利润 （单位：千万元）与 的关系为 （其中
），根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应
投入多少研发费用?
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为 ，
【答案】(1) 选择 更合适；(2) . (3) 要使年利润取最大值，预计下一年
应投入 千万元的研发费用
【解析】
【分析】
（1）根据散点图分布，可知更符合指数型模型，可得结果；（2）对 两边取倒数，
得到 ，采用最小二乘法可求得 和 ，从而得到结果；（3）由（2）可得
，利用导数可判断出 单调性，可知当 时， 取最大值，从
而得到结果.
【详解】（1）由散点图知，选择 更合适
（2）对 两边取对数，得 ，即：
由表中数据得
令 ，则 ，即
年销售 和年研发费用 的回归方程为：
10
1
i
i
v
=
∑ 10
1
i
i
u
=
∑ ( )( )10
1
i i
i
u u v v
=
− −∑ ( )10 2
1
i
i
u u
=
−∑
z x y，
3
4 918 2z e y x= −－
2 71828e ≈ ．
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , n nu v u v u v…， ， ， ˆˆˆv uα β= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
β =
=
− −
=
−
∑
∑
ˆa v uβ= −
dy c x= ⋅ 3
4y e x=
4
dy c x= ⋅
lnv c du= + d ln c
( ) 918 2z x x x= − ( )z x 4x = ( )z x
dy c x= ⋅
dy c x= ⋅ ln ln lny c d x= + lnv c du= +
3
2u v= = 28.25 1
56.5 2d∴ = =
lnc m= 3 1 3 3
2 2 2 4m v du= − = − × = 3
4c e=
∴ y x 3
4y e x=（3）由（2）知， ，则
令 ，得
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
当 千万元时，年利润 取得最大值，且最大值为： 千万元 亿元
要使年利润取最大值，预计下一年应投入 千万元的研发费用
【点睛】本题考查统计中的数据的相关性的问题，涉及到非线性回归模型方程的求解、利用
导数求解函数的最值的问题；解题关键是能够将非线性回归模型转化为线性回归模型，从而
利用最小二乘法求得回归模型.
21.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，且 过
点 ，圆 是以线段 为直径的圆，经过点 且倾斜角为 的直线与圆 相切.
（1）求椭圆 及圆 的方程；
（2）是否存在直线 ，使得直线 与圆 相切，与椭圆 交于 两点，且满足
？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）椭圆 的方程为 ，圆 的方程为 ；（2）不存在
【解析】
【详解】分析：（1）由题意得 ，再根据椭圆过点 得到关于 的方程组，
求解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可
得直线方程为 ，求得点 的坐标后验证可得 ；（ⅱ）当直线斜率
存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可
得
( ) 918 2z x x x= − ( ) 9 9
2z x
x
=′ −
( ) 0z x′ = 4x =
( )0,4x∈ ( ) 0z x′ > ( )4,x∈ +∞ ( ) 0z x′ <
( )z x∴ ( )0,4 ( )4,+∞
∴ 4x = z ( )4 18z = 1.8=
∴ 4
1C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F A 1C
3( 3, )2B O 1 2F F A 030 O
1C O
l l O 1C ,C D
OC OD CD+ = l
1C
2 2
14 3
x y+ = O 2 2 1x y+ =
0 1sin30 2
c
a
= = B , ,a b c
1x = ± ,C D OC OD CD+ ≠ 不成立．从而可得不存在直线 满足题意．
详解：(1)由题意知 , , ，圆 的方程为
由题可知 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ，圆 的方程为 .
（2）假设存在直线 满足题意.
由 ，可得 ，故 ．
（ⅰ）当直线 的斜率不存在时，此时 的方程为 ．
当直线 时，可得
所以 ．
同理可得，当 时， .
故直线 不存在．
（ⅱ）当直线 的斜率存在时，设 方程为 ，
因为直线 与圆 相切，
所以 ，整理得 ①
由 消去 y 整理得 ，
设 ，
则 ， ，
0OC OD⋅ = l
( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( ),0A a O 2 2 2x y c+ =
0
2 2
2 2 2
30
3 3 14
c sina
a b
a b c
=
+ =
= +
2
3
1
a
b
c
=
=
=
1C
2 2
14 3
x y+ = O 2 2 1x y+ =
l
OC OD CD+ = OC OD OD OC+ = − 0OC OD⋅ =
l l 1x = ±
1l x =方程为 3 31, , 1, ,2 2C D −
91 04OC OD⋅ = − ≠
1l x = −方程为 0OC OD⋅ ≠
l
l l y kx m= +
l O
2
1
1
m
k
=
+
2 2 1m k= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y
1 2 2
8
3 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +因为 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ②
由①②得 ，此时方程无解.
故直线 不存在．
由（i）（ii）可知不存在直线 满足题意.
点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤
假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数
的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、
曲线或参数)不存在．
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程
为 （ 为参数）．
(1)求 与 的直角坐标方程；
(2)过曲线 上任意一点作 与 垂直的直线，交 于点 ，求 的最大值．
【 答 案 】 (1) 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ， 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
.(2) .
【解析】
【分析】
OC OD CD+ =
OC OD OD OC+ = −
0OC OD⋅ = 1 2 1 2 0x x y y+ =
( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + =
( ) 2
2 2
2 2
4 12 81 03 4 3 4
m kmk km mk k
− −+ + + =+ +
2 27 12 12 0m k− − =
2 1k = −
l
l
xOy C
2cos
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ l
52 5
2 52 5
x t
y t
=
=
＋
－
t
C l
C P l l A PA
C
2 2
14 9
x y+ = l
2 6 0x y+ − = 11 5
5（1）根据参数方程与普通方程互化原则可消去参数得到所求方程；（2）设曲线 上任意一
点 ，可知 等于点 到直线 距离 ；利用点到直线距离公式可求得
；根据正弦函数的值域可知当 时， 取得最
大值，代入求得结果.
【详解】（1）曲线 的参数方程，消去 得其直角坐标方程为：
直线 的参数方程，消去 得其直角坐标方程为：
（2）设曲线 上任意一点
点 到直线 的距离 ，其中 ，且
由题意知：
当 时，
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的
最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考
题型.
23.已知 ．
（1）已知关于 的不等式 有实数解，求 的取值范围；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）依据能成立问题知， ，然后利用绝对值三角不等式求出 的最小值，即
C
( )2cos 3sinP θ θ, PA P l d
( )5sin 6
5
PA d
θ ϕ+ −
= = ( )sin 1θ ϕ+ = − PA
C θ
2 2
14 9
x y+ =
l t 2 6 0x y+ − =
C ( )2cos 3sinP θ θ,
∴ P l
( )5sin 64cos 3sin 6
5 5
d
θ ϕθ θ + −+ −= = 0, 2
πϕ ∈
4tan 3
ϕ =
( )5sin 6
5
PA d
θ ϕ+ −
= =
∴ ( )sin 1θ ϕ+ = −
max
11 11 5
55
PA = =
( ) 1 2f x x x= + + −
x ( )f x a< a
( ) 2 2f x x x≥ −
3a > 1,2 3 − +
( )minf x a< ( )f x求得 的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。
【详解】 因为不等式 有实数解，所以
因为 ，所以
故 。
①当 时， ，所以 ，故
②当 时， ，所以 ，故
③当 时， ，所以 ，故
综上，原不等式的解集为 。
【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意
在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。
a
( )1 ( )f x a< ( )minf x a<
( ) ( ) ( )1 2 1 2 3f x x x x x= + + − ≥ + − − = ( )min 3f x =
3a >
( ) ( )
2 1, 2
2 3, 1 2
2 1, 1
x x
f x x
x x
− ≥
= − <
微信/支付宝扫码支付