黑龙江省实验中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题（Word版有解析）.doc

黑龙江省试验中学 2019 年高三第一次月考数学试题（理科） 一、选择题。 1.设全集为 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据补集定义求出 ，利用交集定义求得结果. 【详解】由题意知： 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中 交集和补集运算，属于基础题. 2.复数 满足 ，则复数 等于（） A. B. C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数 满足 ， ∴ ， 故选 B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题． 3.已知非零向量 、 满足 且 则 、 的夹角为（ ） 的 R { }2, 1,0,1,2A = − − { }1B x x= ≥ ( )RA C B = { }1,2 { }1,0− { }2, 1,0− − { }2, 1,0,1− − RC B { }1RC B x x= < ( ) { }2, 1,0RA C B∴ = − − C z ( )1 1 3z i i− = − z 1 i− 1 i+ z ( )1 1 3 2z i i− = − = ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 iz ii i i += = = +− − + m n 4n m=  ( )2m m n⊥ +   m nA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设向量 、 的夹角为 ，将 转化为 ，利用平面向量数量积的 定义和运算律求出 的值，可得出 、 的夹角. 【详解】由于 ，且 ，则 ， 即 ，得 . ， ，因此， 、 的夹角为 ，故选：D. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，解题的关键在于将向量垂直转 化为平面向量的数量积为零，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 4.已知命题 ，命题 ， ，则 成立是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 分别由命题 p,q 求得 a 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解不等式 可得 ， 对于命题 ，当 时，命题明显成立； 当 时，有： ，解得： ， 即命题 为真时 ， 故 成立是 成立的充分不必要条件. 故选：A. 6 π 3 π 2 π 2 3 π m n θ ( )2m m n⊥ +   ( )2 0m m n⋅ + =   cosθ m n 4n m=  ( )2m m n⊥ +   ( )2 0m m n⋅ + =   2 22 2 2 4 cos 0m m n m m θ+ ⋅ = + =     1cos 2 θ = − 0 θ π≤ ≤ 2 3 πθ∴ = m n 2 3 π 1 1: 4p a > :q x R∀ ∈ 2 1 0ax ax+ + > p q 1 1 4a > 0 4a< < q 0a = 0a ≠ 2 0 4 0 a a a > ∆ = − = = ∈ b c a> > 3 x xe ey x x −−= −【详解】令 ，则 ，故函数为偶函数，图像关于 轴对称，排 除 C 选项. 由 ，解得 且 . ，排除 D 选项. ，故可排除 B 选项.所以本小题选 A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进 行排除，属于基础题. 7.如图，为了测量某湿地 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 ．从 点测得 ，从 点测得 ， ，从 点测得 . 若测得 ， （单位:百米），则 两点的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知易得∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，再由正弦定理 求得 ,再由余弦定理 AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，所以 AB＝3. 【详解】根据题意，在△ADC 中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2 ， 则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则 AC＝DC＝2 ， 在△BCE 中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE ， 则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ( ) 3 x xe ef x x x −−= − ( ) ( )f x f x− = y 3 0x x− ≠ 0x ≠ 1x ≠ ± ( ) 0.5 0.5 1 0.5 00.125 0.5 e ef − = − , ,C D E D 67.5ADC °∠ = C 45°∠ =ACD 75BCE °∠ = E 60BEC °∠ = 2 3DC = 2CE = ,A B 6 2 2 3 2 3 sin sin EC BC EBC BEC =∠ ∠ 3BC = 3 3 2=则有 ，变形可得 BC ， 在△ABC 中，AC＝2 ，BC ，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°， 则 AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9， 则 AB＝3； 故选：C． 【点睛】此题考查解三角形的实际应用，通过已知的角和边长通过余弦定理容易求得边长或 者角度，属于简单题目。 8.若函数 有两个不同的零点 ，且 ， ,则 实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用换元法把问题转化为二次函数零点分布的问题，得到不等式组，解之即可. 【详解】设 t＝2x，函数 f（t）＝t2﹣mt+m+3 有两个不同的零点， ， , ∴ ，即 ，解得： 故选：C 【点睛】对于二次函数的研究一般从以几个方面研究： 一是，开口； 二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； 三是，判别式，决定于 x 轴的交点个数； 四是，区间端点值. sin sin EC BC EBC BEC =∠ ∠ 32sin 2 3sin 2 2 EC BEC EBC ×× ∠= = =∠ 3 3= ( ) 4 2 3x xf x m m= − ⋅ + + 1 2,x x 1 (0,1)x ∈ 2 (2, )x ∈ +∞ m ( , 2)−∞ − ( , 2) (6, )−∞ − ∪ +∞ (7, )+∞ ( , 3)−∞ − ( )1 1,2t ∈ ( )2 4,t ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 4 0 f f f ＞ ＜ ＜    1 3 0 4 2 3 0 16 4 3 0 m m m m m m − + + >  − + + 2 3 λ = O 2 3 ABC BC D M BM xBA yBD= +   ( , )x y ∈R 2x y+ 2 3 2 2 2x y+设内切圆的半径为 1，以（0，1）为圆心，1 为半径的圆； 根据三角形面积公式得到 ， 可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为： 故得到 故得到 ， 故最大值为：2. 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量 的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算， 将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 12.已知函数 的导函数为 ， 为自然对数的底数，对 均有 成立，且 ，则不等式 的解集是（ ） 01 1 sin 602 2l r S AB AC× × = = × × ×周长 1; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,0 , 3,0 , 0,3 , 0,0 , cos ,1 sinB C A D M θ θ− + ( )cos 3,1 sin ,BM θ θ= + + ( ) ( )3,3 , 3,0BDBA = = ( ) ( )cos 3,1 sin 3 3 ,3xBM y xθ θ= + + = + cos 3 3 3,sin 3 1x y xθ θ= + − = − 1 sin 3 cos sin 2 3 33 x y θ θ θ + =⇒   = − + ( )cos sin 4 2 42 sin 2.3 3 3 33 x y θ θ θ ϕ+ = + + = + + ≤ ( )f x ( )'f x e x R∀ ∈ ( ) ( ) ( )'f x xf x xf x+ > ( ) 22f e= ( ) 2 xxf x e>A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先构造函数 ，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】原不等式等价于 ，令 ， 则 恒成立， 在 上是增函数， 又 ， ， 原不等式为 ，解得 ，故选 . 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 二、填空题. 13.已知函数 的图像在点 处的切线过点 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 求得函数 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得 a 的值． 【详解】 ， ， 又因为 ，切点是 ， 切线方程是： ， . 故答案为 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于 基础题． ( ),e−∞ ( ),e +∞ ( ),2−∞ ( )2,+¥ ( ) ( ) x xf xg x e = ( ) 2x xf x e > ( ) ( ) x xf xg x e = ( ) ( ) ( ) ( ) 0x f x xf x xf xg x e ′+ −′ = > ( )g x∴ R ( ) 22f e= ( )2 2g∴ = ∴ ( ) ( )2g x g> 2x > D ( ) lnf x x x= − ( )( )1, 1f ( )0,a a = 3 2 1 1( ) 2 f x xx ′ = − 1(1) 2k f ′∴ = = − (1) 1f = ( )1,1 11 ( 1)2y x− = − − 1 312 2a = + = 3 214.已知向量 ， ，若 ，则实数 ______. 【答案】-2 【解析】 分析】 根据向量坐标运算可求得 ，根据平行关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意得： ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程. 15.已知函数 f（x） 的值域为 R，则 a 的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 讨论 a 的取值范围，分别求出两个函数的 取值范围，结合函数的值域是 R，建立不等式关系 进行求解即可． 【详解】当 a≤0 时，不满足条件． 当 a＞0 时， 若 0＜x＜2，则 f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1）， 当 x≥2 时，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞）， 要使函数的值域为 R， 则 4a﹣3≤a+1， 得 a≤ ，即实数 a 的取值范围是（0， ]， 故答案为：（0， ] 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，求出函数的各自的取值范围，结合函数的值域建立 不等式关系是解决本题的关键．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的 【 ( )1,1a = ( )2,b m= − ( )2 / /a b b−   m = ( )2 4,2a b m− = − ( )2 4,2a b m− = − ( )2 / /a b b−   ( )4 2 2m m∴ = − − 2m = − 2− 2 2 3, 2 log ,0 2 ax x a x x  − ≥=  + < ( )f x ( 1, )x a∈ − +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( )f x 1( 1) 1 af a a e −− = + − ( )f x ( , 1)a−∞ − ( 1, )a − +∞ 1( 1) 1 af a a e −− = + − ( )f x (0, )+∞ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x = 1 1x xa x e += + − 1( ) 1x xg x x e += + − ( ) ( )2 2 '( ) 1 x x x e e x g x e − − = − ( ) 2xh x e x= − − '( ) 1xh x e= − (0, )x∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x (1) 3 0h e= − > 2(2) 4 0h e= − > ( )h x (0, )+∞ 0x 0 (1,2)x ∈ 0 0 2xe x= + ( )00,x x∈ )'( 0g x < ( )0 ,x x∈ +∞ '( ) 0g x > ( )g x (0, )+∞ ( ) 0 0 0 0 0 1 1 (2,3)1x xg x x xe += + = + ∈− 2 3a< e ,4a  ∈ +∞  ( )0, ∞+ a a 1 2,x x 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + ( ) ln 2 4f x x ax+′ = − ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ln 2 4 0f x x ax= + − ≤ ( )0, ∞+ ln 24 xa x x ≥ + ( )0, ∞+ ( ) ln 2xg x x x = + ( ) 2 1 ln xg x x − −′ = 10 ex< < ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      1x e > ( ) 0g x′ < ( )g x 1,e  +∞   ( )g x 1g ee   =   e ,4a  ∈ +∞ （Ⅱ）若函数 有两个极值点分别为 ， ， 则 在 内有两根 ， ， 由（I），知 ． 由 ，两式相减，得 ． 不妨设 ， ∴要证明 ，只需证明 ． 即证明 ，亦即证明 ． 令函数 ． ∴ ，即函数 在 内单调递减． ∴ 时，有 ，∴ ． 即不等式 成立． 综上，得 ． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考 查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. ( )f x 1x 2x ( ) ln 2 4 0f x x ax= + − =′ ( )0, ∞+ 1x 2x e0 4a< < 1 1 2 2 ln 2 4 0 ln 2 4 0 x ax x ax + − =  + − = ( )1 2 1 2ln ln 4x x a x x− = − 1 20 x x< < 1 2 1 2x x a + > ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 4 2 ln ln x x a x x a x x + −+ 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + 2 2 ( 1)'( ) 0( 1) xh x x x − −= ≤+ ( )h x ( ]0,1 ( )0,1x∈ ( ) ( )1 0h x h> = 2( 1) ln1 x xx − >+ 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + 1 2 1 2x x a + >