长春市 2020 届高三质量监测（一）文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 ，则它的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
试题分析：复数 的共轭复数为 ，在复平面内对应点的坐标为 ，
所以位于第三象限。选 C
考点：复数的概念及运算
2.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. 或 ≤
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
先将 集合中表示元素 的范围求出，然后再求两个集合的交集.
【详解】 ，
∴ 或 ≤
故选：B.
【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.
3.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
2z i+=- z
2z i= − + 2z i= − −
{ | 2, 2}A x x x= −或≥ ≤ 2{ | 3 0}B x x x= − > A B =
∅ { | 3,x x > x 2}-
{ | 3,x x > 0}x < { | 3,x x > 2}x≤
B x
{ | 2, 2}A x x x= − 或≤ ≥ 2{ | 3 0} { | 0, 3}B x x x x x x= − > = < >或
A B = { | 3,x x > x 2}-
{ }na n nS 5 15S = 4 5a = 9S =
45 63 54 81根据给出条件求出 ，利用 ， ， 成等差数列计算 ，再根据前 项和性质计算 的
值.
【详解】由 得 ， ,∴
∴
故选：B.
【点睛】等差数列性质： ；
等差数列前 项和性质： .
4.已知条件 ，条件 ，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合间的关系推出 之间的关系.
【详解】 ，则 是 的必要不充分条件,
故选：B.
【点睛】 成立的对象构成的集合为 ， 成立的对象构成的集合为 ：
是 的充分不必要条件则有： ；
是 的必要不充分条件则有： .
5.2019 年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是
党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书
馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编
号为 2，…，2018 年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1
到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线 ，其相关指数
3a 3a 4a 5a 5a n 9S
5 15S = 3 3a = 4 5a = 5 7a =
9 59 63S a= =
2 ( 2 )m n p q ca a a a a m n p q c+ = + = + = + =
n 1 2 1
2 1
( )(2 1) (2 1)2
n
n n
a a nS n a−
−
+ −= = −
: 1p x > : 2q x≥ p q
p q、
{ | 1}x x > { | 2}x x ≥ p q
p A q B
p q A B
p q B A
ˆ 13.743 3095.7y x= +，给出下列结论，其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 和 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据 的值判断平均每年增加量；
根据回归直线方程预测 年公共图书馆业机构数.
【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，
又 趋近于 1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；
由回归方程，当 时，得估计值为 3191.9≈3192，故③正确.
故选：D.
【点睛】回归直线方程中的 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系
数 决定了相关性的强弱，越接近 相关性越强.
6.已知直线 与圆 相切，则 ( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
2R 0.9817=
ˆb 2R ˆb
2019
2R 0.9817=
7x =
ˆb
2R 1
0x y+ = 2 2( 1) ( ) 2x y b− + − = b =
3− 1 3− 1 5
2【分析】
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
【详解】由圆心到切线的距离等于半径，得
∴ ∴
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距
离等于半径.
7.已知 ， ， ，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析每个数的正负以及与中间值 的大小关系.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，∴ ，
故选：C.
【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多
情况下都会和 作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.
8.已知 为直线， 平面，则下列说法正确的是( )
① ，则 ② ，则
③ ，则 ④ ，则
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④
【答案】D
2 2
|1 | 2
1 1
b+ =
+
|1 | 2b+ = 1 3b b= = −或
31( )3a = 1
33b = 1
3
log 3c =
a b c< < c b a< <
c a b< < b c a< <
1
3 01 1( ) ( ) 13 3a < < = 1
033 3 1> = 1 1
3 3
log 3 log 1 0< =
0 1, 1, 0a b c< < > < c a b< <
1
, ,a b c , ,α β γ
,a bα α⊥ ⊥ / /a b ,α γ β γ⊥ ⊥ α β⊥
/ / , / /a bα α / /a b // , //α γ β γ / /α β【解析】
【分析】
①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.
【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取
正方体的上下底面为 以及一个侧面为 ，则 ，故错误；③选取正方体的上底面
的对角线为 ，下底面为 ，则 不成立，故错误；④选取上下底面为 ，任意
作一个平面平行上底面为 ，则有 成立，故正确.所以说法正确的有：①④.
故选：D.
【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意
图，这样在判断的时候能更加直观.
9.函数 的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
（1）通过 以及 的范围先确定 的取值，再根据 过点 计算 的取值.
【详解】由 ，
由
α β、 γ / /α β
a b、 α / /a b α β、
γ / /α β
2sin( )y xω ϕ= + ( 0,| | )2
πω ϕ> <
( ) 2sin(2 )6f x x
π= + ( ) 2sin( )6f x x
π= +
( ) 2sin(4 )6f x x
π= + ( ) 2sin( )6f x x
π= −
(0,1) ϕ ϕ ( )f x 11( ,0)12
π ω
2sin( 0 ) 1, | | 2
πω ϕ ϕ ϕ⋅ + = > ∴ < < = ∴即 ，
即为 解析式.
【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：（1）根据周期求解 的值；（2）
根据图象所过的特殊点求解 的值；（3）根据图象的最值，确定 的值.
10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇
形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，当 与 的比值为
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形
的圆心角.
【详解】 与 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设 与 所在扇形圆心角分别为 ，
则 ，又 ，解得
【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式： ，其
中 是扇形圆心角的弧度数， 是扇形的弧长.
11.已知 是抛物线 的焦点，则过 作倾斜角为 的直线分别交抛物线于
2sin(2 )6y x
π= +
( )f x
ω
ϕ A
1S 2S 1S 2S 5 1
2
−
(3 5)π− ( 5 1)π− ( 5 1)π+
( 5 2)π−
1S 2S
1S 2S ,α β
5 1
2
α
β
−= 2α β π+ = (3 5)α π= −
21 1
2 2S r lrα= =
α l
F 2 4y x= F 60° ,A B（ 在 轴上方）两点，则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将 表示出来，然后代入相应值计算即
可.
【详解】 ，
∴ .
【点睛】焦点在 轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为 的直线与抛物线交于 两点，
且 ，则有 ， ， .
12.已知函数 ，若存在 使得 成立，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
数形结合去分析，先画出 的图象，然后根据直线过 将直线旋转，然后求解满足条
件的 取值范围.
【详解】如图, 直线 过定点 , 为其斜率， 满足题意，
A x | |
| |
AF
BF
3 2 3 4
| |
| |
AF
BF
| | 1 cos60
pAF = − ° | | 1 cos60
pBF = + °
| | 1 0.5 3| | 1 0.5
AF
BF
+= =−
x θ ,A B
| | | |AF BF> | | 1 cos
pAF θ= − | | 1 cos
pBF θ= + 2
2| | sin
pAB θ=
1( 0)( )
( 0)
xe xf x
x x
− − ≤= > 0x R∈ 0 0( ) ( 1) 1f x m x − −≤
m
(0, )+∞ [ 1,0) (0, )− +∞ ( , 1] [1, )−∞ − +∞
( ,−∞ − ∞1] ( 0,+ )
( )f x (1, 1)−
m
0( 1) 1y m x= − − (1, 1)P − m 0m >当 时，考虑直线与函数 相切，此时 ，解得 ，
此时直线与 的切点为 ，∴ 也满足题意.选 D
【点睛】分段函数中 存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其
是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题.
二、填空题.
13.已知 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
将所给式子平方，找到 与 的关系.
【详解】 平方得
∴ .
【点睛】 与 的关系： ；
14.设变量 满足约束条件 ，则 的最小值等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，采用平移直线法计算对应直线的截距，从而得到 的最值.
的
0m < 1xy e−= −
0
0
0( 1) 1 1x
x
m x e
m e
−
−
− − = −
= − 0
1
0
m
x
= −
=
1xy e−= − (0,0) 1m ≤ −
1sin cos2 2 5
α α− = sinα =
24
25
sinα sin cos2 2
α α−
1sin cos2 2 5
α α− = 242sin cos2 2 25
α α =
24sin 25
α =
sin cosα α± sin cosα α 2(sin cos ) 1 2sin cosα α α α± = ±
,x y
0
3 4
2 0
x y
x y
x
− ≤
+ ≤
+ ≥
3z x y= −
8−
z【详解】画出可行域如图， 变形为 ，
过点 A（-2，-2），z 取得最大值 4，过点 C(-2 2)取得最小值 .
【点睛】本题考查线性规划的内容，难度较易.线性规划问题，如果是线性的目标函数采用平
移直线法是常规的选择；如果是非线性的目标函数，则需要分析目标函数所表示的几何意义.
15.三棱锥 中， ⊥平面 ， , , ，则
三棱锥 的外接球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题设位置关系，可知以 为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥
的外接球，根据这一特点进行计算.
【详解】设外接球的半径为 ，则
∴
【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者
长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径.
16.已知△ 的内角 的对边分别为 ，若 ,
，且 ，则 ____;若△ 的面积为 ，则△ 的周
长的最小值为_____.
【答案】 (1). (2). 6
【解析】
,
3z x y= − 1 1
3 3y x z= −
8−
P ABC− PA ABC AB AC⊥ 10PA = 2, 2AB AC= =
P ABC−
16π
, ,AB AC PA P ABC−
R 2 2 2 2(2 ) 16R PA AB AC= + + =
16S π=
ABC , ,A B C , ,a b c ( , )m b c a b= − −
(sin ,sin sin )n C A B= + m n⊥ A = ABC 3 ABC
3
π【分析】
先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解 的值；根据面积以及在余弦定
理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.
【详解】由 得
得 ,∴ ∴ ；
∴ 又
所以 （当且仅当 时等号成立）
【点睛】（1） ，若 垂直，则有： ；
（2） 取等号的条件是： .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列 中， ， ，设 .
（Ⅰ）求证：数列 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）证明 （ 为常数）即可；
（2）将 采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解 .
【详解】（Ⅰ）证明：当 时，
，所以 是以为 首项，为 公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，所以 ，
所以 .
【点睛】常见的裂项相消形式：
A
m n⊥ ( , ) (sin ,sin sin ) ( )sin ( )(sin sin ) 0m n b c a b C A B b c C a b A B⋅ = − − ⋅ + = − + − + =
( ) ( )( ) 0b c c a b a b− + − + = 2 2 2a b c bc= + −
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= =
3A
π=
1 sin 32S bc A= = 4bc = 2 2 2 2 2 4a b c bc b c= + − = + −
2 2 4 2 4 2 6a b c b c b c bc bc+ + = + − + + − + =≥ 2b c= =
1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y= = a b⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ =
2 2 2 ( 0, 0)a b ab a b+ ≥ > > a b=
{ }na 1 2a = 1
1 2 2n
n na a +
+ = +
2
n
n n
ab =
{ }nb
1
1{ }
n nb b +
n nS
11 1nS n
= − +
1n nb b c−− = c
1
1
n nb b +
nS
2n ≥ 1 1
1 1
2 12 2 2
n n n n
n n n n n
a a a ab b − −
− −
−− = − = =
1 1b = { }nb 1 1
nb n=
+1
1 1 1
1n nb b n n
= − +
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1nS n n n
= − + − + + − = −+ +（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
18.环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100
辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.
（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取 5 辆，并从
这 5 辆中随机抽取 2 辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
【答案】（Ⅰ）图略，中位数在区间 .（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）画出频率分布直方图后，找到频率总和为 时对应的分组区间；
（2）先利用分层抽样计算每组内抽取的辆数，然后对车辆进行标记，利用古典概型计算目标
事件的概率.
【详解】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：
1 1 1
( 1) 1n n n n
= −+ +
1 1 1
1 1n n n n
= −
+ + +
1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n
= −− + − +
1 1
2 3 1 1
(3 1)(3 1) 3 1 3 1
n
n n n n+ += −− − − −
[36,38) 3
5
0.5前 组频率总和为 ，第 组频率为 ，且
，则由图可知，中位数在区间 .
（Ⅱ）由题意，设从 中选取的车辆为 ，从 中选取的车辆为 ，
则从这 5 辆车中抽取 2 辆的所有情况有 10 种，分别为
，
其中符合条件的有 6 种， ，所以所求事件的概率为 .
【点睛】中位数计算方法：
（1）找到频率总和为 所在的区间段；
（2）计算前几组频率总和，记为 ，频率总和为 所在的区间段的频率记为 ；
（3）计算 组距，记为 ；
（4）频率总和为 所在的区间段的左端点值 得到的结果即为中位数.
19.在三棱柱 中，平面 、平面 、平面 两两垂直.
（Ⅰ）求证： 两两垂直；
（Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积.
3 2(0.03 0.05 0.1) 0.36+ + = 4 2 0.15 0.3× =
0.36 0.3 0.5+ > [36,38)
[38,40) , ,A B C [40,42) ,a b
, , , , , , , , ,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab
, , , , ,Aa Ab Ba Bb Ca Cb 3
5
0.5
a 0.5 b
0.5 a
b
− × c
0.5 c+
1 1 1ABC A B C− ABC 1ACC A 1 1BCC B
1, ,CA CB CC
1CA CB CC a= = = 1 1B A BC−【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证 中任意一条直线垂直于另外
两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；
（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积.
【详解】（Ⅰ）证明：在 内取一点 ，作 ，
因为平面 平面 ，其交线为 ，所以 平面 ， ，
同理 ，所以 平面 ， ，
同理 ，故 两两垂直.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥 的高为 ，
，所以三棱锥 的体积为 .
【点睛】（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直；
（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a
20.已知点 ，若点 满足
（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与（Ⅰ）中曲线相交于 两点， 为坐标原点， 求△
面积的最大值及此时直线 的方程.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为
.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；
.
31
6 a
1, ,CA CB CC
ABC∆ P ,PD AC PE BC⊥ ⊥
ABC ⊥ 1 1ACC A AC PD ⊥ 1 1ACC A 1PD CC⊥
1PE CC⊥ 1CC ⊥ ABC 1 1,CC AC CC BC⊥ ⊥
AC BC⊥ 1, ,CC AC BC
1 1A BCB− 1 1AC a=
1
2
1
1 1
2 2BCBS BC BB a∆ = ⋅ = 1 1B A BC− 31
6 a
( 1,0), (1,0)M N− ( , )P x y | | | | 4PM PN+ =
P
( 3,0)Q − l ,A B O AOB
l
2 2
14 3
x y+ = AOB∆ 3 l
6 33x y= ± −（2）设出直线方程后，采用 （ 表示原点到直线 的距离）表示面积，最后
利用基本不等式求解最值.
【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得， 点的轨迹为椭圆且 ， .
因此椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设直线 的方程为 与椭圆 交于点 ，
，联立直线与椭圆的方程消去 可得 ，
即 ， .
面积可表示为
令 ，则 ，上式可化为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因此 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 .
【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：
（1）已知点 ，若点 满足 且 ，则 的轨
迹是椭圆；
（2）已知点 ，若点 满足 且 ，则 的
轨迹是双曲线.
21.设函数 .
（Ⅰ）求函数 的极值；
1 | |2 AB d× × d AB
P 2 4a = 1c =
2 2
14 3
x y+ =
l 3x ty= −
2 2
14 3
x y+ = 1 1( , )A x y
2 2( , )B x y x 2 2(3 4) 6 3 3 0t y ty+ − − =
1 2 2
6 3
3 4
ty y t
+ = + 1 2 2
3
3 4y y t
−= +
AOB∆ 2
1 2 1 2 1 2
1 1| | | | 3 ( ) 42 2AOBS OQ y y y y y y= ⋅ − = ⋅ ⋅ + −△
2 2 2 2
2 2 2 2
1 6 3 3 3 2 3 63 ( ) 4 9 3 4 3 12 3 4 3 4 2 3 4 3 4
t t t tt t t t
−= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + + = ⋅ ++ + + +
23 1t u+ = 1u ≥ 2
6 6 333
u
u u u
=+ +
≤
3u= 6
3t = ±
AOB∆ 3 l 6 33x y= ± −
( ,0), ( ,0)M c N c− ( , )P x y | | | | 2PM PN a+ = 2 2a c> P
( ,0), ( ,0)M c N c− ( , )P x y || | | || 2PM PN a− = 2 2a c< P
1( ) ln xf x x x
+= +
( )f x（Ⅱ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ，无极大值；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值；
（2）对所给不等式进行变形，将 分离出来便于求导，同时构造新函数
，分析 时， 恒成立时 的范围.
【详解】解：（Ⅰ）令 ，
+
极小值
，无极大值；
（II）由题意可知， ，则原不等式等价于 ，
令 ， ，
①当 时， ， ， 在 上单调递减，
，成立；
②当 时， ，
使得当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，故当 时， ，不成立；
(0,1)x∈ 1 ln 2(1 )
x xa x
+ < −− a
( ) 2f x =极小值 0 1a< ≤
ln x
2 ( 1)( ) ln (0 1)1
a xg x x xx
−= − < g x a
2
1( ) 0xf x x
−′ = = 1x =
x (0,1) 1 (1, )+∞
( )f x′ − 0
( )f x ↓ ↑
( ) = (1) 2f x f∴ =极小值
0a > 2 ( 1) ln 01
a x xx
− − >+
2 ( 1)( ) ln (0 1)1
a xg x x xx
−= − < =
1a > 2
0 0 0(0,1), (2 4 ) 1 0x x a x∃ ∈ + − + =
0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
0( ,1)x x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x 0( ,1)x x∈ ( ) (1) 0g x g< =综上所述， .
【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法：
（1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析）；
（2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线 与圆 交于 两点，点 ，求 的值.
【答案】（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，圆 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）2
【解析】
分析】
（1）求直线 的普通方程，消去参数 即可；求圆的直角坐标方程利用 互化即可.
（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中 的几何意义求解 的值.
【详解】解：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，
圆 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）联立直线 的参数方程与圆 的直角坐标方程可得
，
化简可得 .
则 .
【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式： ；
【
0 1a< ≤
xOy l
21 2
22 2
x t
y t
= −
= +
t O
x C 2 4 cos 3ρ ρ θ− =
l C
l C ,A B (1,2)P | | | |PA PB⋅
l 3 0x y+ − = C 2 2 4 3 0x y x+ − − =
l t cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
t | | | |PA PB⋅
l 3 0x y+ − =
C 2 2 4 3 0x y x+ − − =
l C
2 22 2 2(1 ) (2 ) 4(1 ) 3 02 2 2t t t− + + − − − =
2 3 2 2 0t t+ − =
1 2| | | | | | 2PA PB t t⋅ = =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=（2）直线过定点 ，与圆锥曲线的交点为 ，利用直线参数方程中 的几何意义求解：
，则有 ， .
23.已知函数 .
（Ⅰ）解关于 的不等式 ；
（Ⅱ）若函数 的最大值为 ，设 ，且 ，求 的最小
值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最小值为 2
【解析】
【分析】
（1）采用零点分段的方法解不等式；
（2）计算出 的最大值，再利用基本不等式求解 的最小值.
【详解】（Ⅰ）由题意
当 时， ，可得 ，即 .
当 时， ，可得 ，即 .
当 时， ，可得 ，即
综上，不等式 的解集为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数 的最大值 ，且 ，
即 ，当且仅当 时“=”成立，
可得 ，即 ，因此 的最小值为 2.
【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时 的值，
再逐段分析；
（2）注意利用 ， 求解最值.
.
P A B、 t
| | | | | |AB PA PB、 1 2| | | |AB t t= − 1 2| | | | | |PA PB t t=
( ) | 3| | 1|f x x x= + − −
x ( ) 1f x x +≥
( )f x M 0, 0a b> > ( 1)( 1)a b M+ + = +a b
( , 5] [ 1,3]−∞ − −
( )f x +a b
( 3) (1 ), 3 4, 3
( ) ( 3) (1 ), 3 1 2 2, 3 1
( 3) ( 1), 1 4, 1
x x x x
f x x x x x x
x x x x
− − − − < − − < −
= + − − − ≤ ≤ = + − ≤ ≤
+ − − > >
3x < − 4 1x− +≥ 5x ≤ − 5x ≤ −
3 1x− ≤ ≤ 2 2 1x x+ +≥ 1x ≥ − 1 1x− ≤ ≤
1x > 4 1x +≥ 3x ≤ 1 3x< ≤
( ) 1f x x +≥ ( , 5] [ 1,3]−∞ − −
( )f x 4M = 1 4ab a b+ + + =
23 ( ) ( )2
a ba b ab
+− + = ≤ a b=
2( 2) 16a b+ + ≥ 2a b+ ≥ +a b
x
| | | | | |x a x b a b− + − ≥ − | | | | | |x a x b a b− − − ≤ −
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