长春市 2020 届高三质量监测（一）理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. 或 ≤
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
求得集合 或 ， 或 ，再根据集合的交集运算，即可
求解．
【详解】由题意，集合 或 ，
集合 或 ，
所以 或 ，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了不等式的解法，以及集合的交集运算，其中解答中正确求解集合
是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2.复数 的共轭复数 在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算求得 ，得到 ，再根据复数的表示，即可求解，得到答
案．
【详解】由题意，根据复数的运算可得复数 ，
则 ，所以 对应点 在第三象限，故选 C．
{ | 2}A x x= ≥ 2{ | 3 0}B x x x= − > A B =
∅ { | 3,x x > x 2}-
{ | 3,x x > 0}x < { | 3,x x > 2}x≤
{ | 2A x x= ≤ − 2}x ≥ { | 0B x x= < 3}x >
{ | 2} { | 2A x x x x= ≥ = ≤ − 2}x ≥
2{ | 3 0} { | 0B x x x x x= − > = < 3}x >
A B = { | 3x x > 2}x £ -
,A B
2 52i +iz = z
2 iz = − + z 2 i= − −
2 52i +i 2 iz = = − +
z 2 i= − − z ( 2, 1)− −【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，
以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3.已知 ， ， ，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析每个数的正负以及与中间值 的大小关系.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，∴ ，
故选：C.
【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多
情况下都会和 作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.
4.已知直线 与圆 相切，则 ( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
【详解】由圆心到切线的距离等于半径，得
∴ ∴
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距
31( )3a = 1
33b = 1
3
log 3c =
a b c< < c b a< <
c a b< < b c a< <
1
3 01 1( ) ( ) 13 3a < < = 1
033 3 1> = 1 1
3 3
log 3 log 1 0< =
0 1, 1, 0a b c< < > < c a b< <
1
0x y+ = 2 2( 1) ( ) 2x y b− + − = b =
3− 1 3− 1 5
2
2 2
|1 | 2
1 1
b+ =
+
|1 | 2b+ = 1 3b b= = −或离等于半径.
5.2019 年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是
党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书
馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编
号为 2，…，2018 年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1
到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线 ，其相关指数
，给出下列结论，其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份 正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 和 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据 的值判断平均每年增加量；
根据回归直线方程预测 年公共图书馆业机构数.
【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，
又 趋近于 1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；
由回归方程，当 时，得估计值为 3191.9≈3192，故③正确.
故选：D.
【点睛】回归直线方程中的 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系
的
ˆ 13.743 3095.7y x= +
2R 0.9817=
ˆb 2R ˆb
2019
2R 0.9817=
7x =
ˆb数 决定了相关性的强弱，越接近 相关性越强.
6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形
制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，当 与 的比值为 时，
扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形
的圆心角.
【详解】 与 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设 与 所在扇形圆心角分别为 ，
则 ，又 ，解得
【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式： ，其
中 是扇形圆心角的弧度数， 是扇形的弧长.
7.已知 为直线， 平面，则下列说法正确的是( )
① ，则 ② ，则
③ ，则 ④ ，则
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④
2R 1
1S 2S 1S 2S 5 1
2
−
(3 5)π− ( 5 1)π− ( 5 1)π+
( 5 2)π−
1S 2S
1S 2S ,α β
5 1
2
α
β
−= 2α β π+ = (3 5)α π= −
21 1
2 2S r lrα= =
α l
, ,a b c , ,α β γ
,a bα α⊥ ⊥ / /a b ,α γ β γ⊥ ⊥ α β⊥
/ / , / /a bα α / /a b // , //α γ β γ / /α β【答案】D
【解析】
【分析】
①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.
【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取
正方体的上下底面为 以及一个侧面为 ，则 ，故错误；③选取正方体的上底面
的对角线为 ，下底面为 ，则 不成立，故错误；④选取上下底面为 ，任意
作一个平面平行上底面为 ，则有 成立，故正确.所以说法正确的有：①④.
故选：D.
【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意
图，这样在判断的时候能更加直观.
8.已知数列 为等比数列， 为等差数列 的前 项和，且 ， ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，求得 ，再利用等差数列的前 n 项和公式，即可求解 的值，得
到答案．
【详解】由题意，等比数列 为等比数列，满足 ， ，
根据等比数列的性质，可得 ，可得 ，
所以 ，则 ，故选 A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前 n 项和公式的应用，其中解答
中熟记等比数列的性质和等差数列的前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于基础题．
α β、 γ / /α β
a b、 α / /a b α β、
γ / /α β
{ }na nS { }nb n 2 1a = 10 16a = 6 6a b=
11S =
44 44− 88 88−
6 4a = 11S
{ }na 2 1a = 10 16a =
2 6 6
2
10 1 16 , 0a a aa= × = > 6 4a =
6 6 4b a= = 1 11
11 6
11( ) 11 442
b b bS
+= = × =9.把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到
的图象（部分图象如图所示），则 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图象可得 ，解得 ，又由 ，解得 ，得到
，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案．
【详解】由图象可知， ，即 ，解得 ，
又由 ，即
，解得 ，
即函数的解析式为 ，
将函数 图象上点的横坐标缩短到原来的 倍，得 ，
所以函数 解析式 .
故选 C．
【点睛】本题主要考查了利用三角函数 图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，
其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查
了推理与运算能力，属于基础题．
10.已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当
的
( )y f x= 2 2sin( )y xω ϕ= +
( 0,| | )2
πω ϕ> < ( )y f x=
( ) 2sin(2 )6f x x
π= + ( ) 2sin( )6f x x
π= +
( ) 2sin(4 )6f x x
π= + ( ) 2sin( )6f x x
π= −
( )0 1f =
6
π=ϕ 112sin( ) 012
ω π ϕ⋅ + = 2ω =
2sin(2 )6y x
π= +
( )0 2sin( 0 ) 1f ω ϕ= ⋅ + = 1sin | |2 2
πϕ ϕ= ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ m
1m £ 1m < − 1m > − m 1≥
2 1( ) ( 2)exf x x −′ = − ( )f x ( ) ( )1 , ( 2), 2f f f
2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 2 1( ) ( 2)exf x x −′ = −
( )f x (1, 2) ( 2, )+∞
2x > ( ) 0f x > (1) 1f = − ( 2) 1f < − (2) 0f =当 时， 有解，即函数 和 的图象有交点，
如图所示，
又因为在点 的切线的斜率为 ，所以 ．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与
化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图
象的交点个数，结合图象求解．
二、填空题.
13. 展开式中常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求得二项展开式的通项，令 ，解得 ，代入即可得到展开式的常数项．
【详解】由题意，二项展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 ．
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14.边长为 正三角形 中，点 满足 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，结合正三角形的数量关系，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，
1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ ( )y f x= ( 1) 1y m x= − −
(1, (1))f (1) 1f ′ = − 1m > −
3 81(2 )x x
−
112
3(8 ) 0r r− − = 6r =
3 8 8 3(8 )
1 8 8
1(2 ) ( ) 2 ( 1)r r r r r r r r
rT C x C xx
− − − −
+ = − = −
3(8 ) 0r r− − = 6r = 6 8 6 6
7 8 2 ( 1) 112T C −= − =
2 ABC P 1 ( )3AP AB AC= + BP BC⋅ =
2可得：
．
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，
准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15.平行四边形 中，△ 是腰长为 等腰直角三角形， ，现将△
沿 折起，使二面角 大小为 ，若 四点在同一球面上，则该
球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
取 AD,BC 的中点分别为 ,过 作面 ABD 的垂线与过 作面 BCD 的垂线，确定球心的位
置，再取 BD 中点 E，连结 ,得到 即为二面角 的平面角，
在 Rt△ 和在 Rt△ 中，求得的球的半径，即可求解．
【详解】由题意，取 AD,BC 的中点分别为 ,
过 作面 ABD 的垂线与过 作面 BCD 的垂线，两垂线交点 即为所求外接球的球心，
取 BD 中点 E，连结 ,
则 即为二面角 的平面角，
又由 ，连接 ，在 Rt△ 中，则 ，
在 Rt△ 中， ，得 ，
即球半径为 ，所以球面积为 .
的
1 1 2[ ( ) ] ( ) ( ) ( )3 3 3BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB⋅ = + − ⋅ − = − ⋅ −
2 21 2 4 8 4 8 1cos60 2 2 23 3 3 3 3 3 2AC AB AC AB AC AB= + − ⋅ = + − ⋅ = + − × × =
ABCD ABD 2 90ABD∠ = °
ABD BD A BD C− − 2
3
π , , ,A B C D
20π
1 2,O O 1O 2O
1 2,O E O E 1 2O EO∠ A BD C− −
1O OE 1O OA
1 2,O O
1O 2O O
1 2,O E O E
1 2O EO∠ A BD C− −
1 2 1O E O E= = OE 1O OE 1 3O O =
1O OA 1 2O A = 5OA =
5R OA= = 24S R= π = 20π【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及几何体的结构特征、二面角的应用，其中
解答中熟练应用几何体的结构特征，以及二面角的定义求得球的半径是解答的关键，着重考
查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．
16.已知数列 的前项 和为 ，满足 ,且 ，则 __，
______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，列用裂项法，即可求得 ，在
分别求得 ，归纳即可求解．
【详解】由题意，数列 满足 ，
可得 ，
所以 + +…+ ，
由 ，递推可得 ， ， ，
归纳可得 .
【点睛】本题主要考查了裂项法求和，以及利用数列的递推公式求解数列的项，归纳数列的
通项公式，其中解答中熟记数列的求和方法，以及合理利用递推公式求项是解答的关键，着
重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.△ 的内角 的对边分别为 ， .
（Ⅰ）求证：△ 是直角三角形；
（Ⅱ）若 ，求△ 的周长的取值范围.
{ }na n nS 1
1
2a = − 1 2
2
2n na a n n++ = + 2nS = na =
2
2 1
n
n +
1( 1) ( 1)
n
n n
− + +
1 2
2
2n na a n n++ = + 2 1 2
1 1
2 1 2 1n n na na − = −− ++ 2nS
1 2 3 4, , ,a a a a
{ }na 1 2
2
2n na a n n++ = +
2 1 2 2
2
(2 1) 2(2 1)n na a n n− + = − + −
2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1n n n n
= = −− + − +
2nS = 1 1
1 3
− 1 1
3 5
− 1 1
2 1 2 1n n
−− +
1 21 2 1 2 1
n
n n
= − =+ +
1
1 1
2 1 2a = − = − × 2
7 7
6 2 3a = = × 3
11 11
12 3 4a = − = − × 4
21 21
20 4 5a = = ×
1( 1) ( 1)
n
n n
− + +
ABC , ,A B C , ,a b c tan ( )a b A a b= >
ABC
10c = ABC【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理和题设条件，化简得 ，得到 ，即可得到证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 的周长 ，利
用三角函数的图象与性质，即可求解．
【详解】（Ⅰ）在 中，由正弦定理，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 是直角三角形.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 的周长 ，
由 可知， ，则 ，即 ，
所以 周长的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中
熟练应用正弦定理的边角互化，以及合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题．
18.如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， ， ，
， 为 中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
( )20,10 10 2+
sin cosB A=
2A B
π+ =
ABC∆ 10 10sin 10cos 10 10 2 sin( )4L A A A
π= + + = + +
ABC∆ sinsin sin cos
AA B A
= ⋅ sin cosB A=
a b>
2A B
π+ = ABC△
ABC∆ 10 10sin 10cos 10 10 2 sin( )4L A A A
π= + + = + +
a b>
4 2A
π π< < 2 sin( ) 12 4A
π< + < 20 10 10 2L< < +
ABC∆ ( )20,10 10 2+
P ABCD− PA ABCD / /AB CD AD DC⊥
2 2AB AD DC= = = E PB
/ /CE PAD
4PA = CDE ABCD【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取 中点 ，连结 ，证得 ，利用线面平行的判定定理，即可求
解；
（Ⅱ）以 为原点，以 方面为 轴，以 方向为 轴，以 方向为 轴，建立坐标系，
利用平面 和平面 的法向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（Ⅰ）取 中点 ，连结 ，由 ， ，则 ，
又由 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）以 为原点，以 方面为 轴，以 方向为 轴，以 方向为 轴，建立坐标系，
可得 ， ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则
又平面 的法向量为 ；
则 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角为 .
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间
想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理
是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，
通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19.某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，
评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得 0 分，某考试每道都选并能确定其中有 6
4
π
PA M ,EM DM / /CE DM
A AD x AB y AP z
CDE ABCD
PA M ,EM DM / /EM CD EM CD= / /CE DM
DM ⊂ PAD / /CE PAD
A AD x AB y AP z
(2,0,0)D (2,1,0)C (0,0,4)P (0,2,0)B (0,1,2)E
(0, 1,0)CD = − ( 2,0,2)CE = −
CDE 1 ( , , )n x y z=
1
1
0
0
n CD
n CE
⋅ = ⋅ =
0
2 2 0
y
x z
− =
− + = 1x = 1 (1,0,1)n =
ABCD 2 (0,0,1)n =
1 2
1 2
1 0 0 0 1 1 2cos 22 1
n n
n n
θ
⋅ × + × + ×= = =
⋅ ×
CDE ABCD 4
π道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道能排除两个错误选项，另 2
题只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一
个选项做答，且各题做答互不影响．
(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；
(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件 A，选对一道“能排除 1 个选
项的题目”为事件 B，该考生选择题得 50 分的概率为 P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求
出结果．
（Ⅱ）该考生所得分数 X=30，35，40，45，50，分别求出 P（X=30），P（X=35），P（X=40），
P（X=45），P（X=50），由此能求出 X 的分布列和数学期望．
试题解析：
(Ⅰ)设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件 A，
选对一道“能排除 1 个选项的题目”为事件 B，
则 P(A)＝ ，P(B)＝ ，
该考生选择题得 50 分的概率为：
P(A)P(A)P(B)P(B)＝ · ＝ .
(Ⅱ)该考生所得分数 X＝30，35，40，45，50，
P(X＝30)＝ ＝ ，
P(X＝35)＝C21 ＋ ·C21· · ＝ ，(6 分)
P(X＝40)＝ ＋C21 C21· · ＋ ＝ ，
P(X＝45)＝C21 ＋ C21· · ＝ ，
P(X＝50)＝ ＝ ，
∴X 的分布列为：
X 30 35 40 45 50
1
36 P
EX＝30× ＋35× ＋40× ＋45× ＋50× ＝ .
20.已知点 ，若点 满足 .
（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与（Ⅰ）中曲线相交于 两点， 为坐标原点， 求△
面积的最大值及此时直线 的方程.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为
.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；
（2）设出直线方程后，采用 （ 表示原点到直线 的距离）表示面积，最后
利用基本不等式求解最值.
【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得， 点的轨迹为椭圆且 ， .
因此椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设直线 的方程为 与椭圆 交于点 ，
，联立直线与椭圆的方程消去 可得 ，
即 ， .
面积可表示为
( 1,0), (1,0)M N− ( , )P x y | | | | 4PM PN+ =
P
( 3,0)Q − l ,A B O AOB
l
2 2
14 3
x y+ = AOB∆ 3 l
6 33x y= ± −
1 | |2 AB d× × d AB
P 2 4a = 1c =
2 2
14 3
x y+ =
l 3x ty= −
2 2
14 3
x y+ = 1 1( , )A x y
2 2( , )B x y x 2 2(3 4) 6 3 3 0t y ty+ − − =
1 2 2
6 3
3 4
ty y t
+ = + 1 2 2
3
3 4y y t
−= +
AOB∆ 2
1 2 1 2 1 2
1 1| | | | 3 ( ) 42 2AOBS OQ y y y y y y= ⋅ − = ⋅ ⋅ + −△令 ，则 ，上式可化为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因此 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 .
【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：
（1）已知点 ，若点 满足 且 ，则 的轨
迹是椭圆；
（2）已知点 ，若点 满足 且 ，则 的
轨迹是双曲线.
21.已知函数 , .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）令 两个零点 ，证明： .
【答案】（Ⅰ） 在 上单调递减，在 上单调递增.（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数 ，且 ，进而利用导数的符号，即可求得
函数单调区间；
（Ⅱ）由 有两个零点，利用导数求得函数 的单调性与
最值，结合图象，即可得出证明．
【详解】（Ⅰ）由题意，函数 ，则 ，且 ，
当 时， ，函数 单调递减；
2 2 2 2
2 2 2 2
1 6 3 3 3 2 3 63 ( ) 4 9 3 4 3 12 3 4 3 4 2 3 4 3 4
t t t tt t t t
−= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + + = ⋅ ++ + + +
23 1t u+ = 1u ≥ 2
6 6 333
u
u u u
=+ +
≤
3u= 6
3t = ±
AOB∆ 3 l 6 33x y= ± −
( ,0), ( ,0)M c N c− ( , )P x y | | | | 2PM PN a+ = 2 2a c> P
( ,0), ( ,0)M c N c− ( , )P x y || | | || 2PM PN a− = 2 2a c< P
( ) ( 1)lnf x x x= − 3( ) ln eg x x x= − −
( )f x
( ) ( ) ( )( 0)h x mf x g x m= + > 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2
1
ex e x+ > +
( )f x (0,1) [1, )+∞
1( ) ln 1f x x x
= + −′ ( ) 01f ′ =
3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e
= − + − − ( )h x
( ) ( 1)lnf x x x= − 1( ) ln 1f x x x
= + −′ ( ) 01f ′ =
0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x当 时， ，函数 单调递增；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（Ⅱ）由 有两个零点可知
由 且 可知，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调增；
即 的最小值为 ，
因此当 时， ，
可知 在 上存在一个零点；
当 时， ，
可知 在 上也存在一个零点，
因此 ，即 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化
归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利
用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范
围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线 与圆 交于 两点，点 ，求 的值.
【答案】（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，圆 的直角坐标方程为 .
1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
( )f x (0,1) [1, )+∞
3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e
= − + − −
1 1( ) (1 ln ) 1h x m x x x
−′ = + + − 0m >
0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x
( )h x 3(1) 1 0h e
= − <
1x e
= 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e
− + −= − − + − − − = >
( )h x 1( ,1)e
x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e
= − + − − >
( )h x (1, )e
2 1
1x x e e
− < − 1 2
1x e x e
+ > +
xOy l
21 2
22 2
x t
y t
= −
= +
t O
x C 2 4 cos 3ρ ρ θ− =
l C
l C ,A B (1,2)P | | | |PA PB⋅
l 3 0x y+ − = C 2 2 4 3 0x y x+ − − =（Ⅱ）2
【解析】
【分析】
（1）求直线 的普通方程，消去参数 即可；求圆的直角坐标方程利用 互化即可.
（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中 的几何意义求解 的值.
【详解】解：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，
圆 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）联立直线 的参数方程与圆 的直角坐标方程可得
，
化简可得 .
则 .
【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式： ；
（2）直线过定点 ，与圆锥曲线的交点为 ，利用直线参数方程中 的几何意义求解：
，则有 ， .
23.已知函数 .
（Ⅰ）解关于 的不等式 ；
（Ⅱ）若函数 的最大值为 ，设 ，且 ，求 的最小
值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最小值为 2
【解析】
【分析】
（1）采用零点分段的方法解不等式；
l t cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
t | | | |PA PB⋅
l 3 0x y+ − =
C 2 2 4 3 0x y x+ − − =
l C
2 22 2 2(1 ) (2 ) 4(1 ) 3 02 2 2t t t− + + − − − =
2 3 2 2 0t t+ − =
1 2| | | | | | 2PA PB t t⋅ = =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
P A B、 t
| | | | | |AB PA PB、 1 2| | | |AB t t= − 1 2| | | | | |PA PB t t=
( ) | 3| | 1|f x x x= + − −
x ( ) 1f x x +≥
( )f x M 0, 0a b> > ( 1)( 1)a b M+ + = +a b
( , 5] [ 1,3]−∞ − −（2）计算出 的最大值，再利用基本不等式求解 的最小值.
【详解】（Ⅰ）由题意
当 时， ，可得 ，即 .
当 时， ，可得 ，即 .
当 时， ，可得 ，即 .
综上，不等式 的解集为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数 的最大值 ，且 ，
即 ，当且仅当 时“=”成立，
可得 ，即 ，因此 的最小值为 2.
【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时 的值，
再逐段分析；
（2）注意利用 ， 求解最值.
( )f x +a b
( 3) (1 ), 3 4, 3
( ) ( 3) (1 ), 3 1 2 2, 3 1
( 3) ( 1), 1 4, 1
x x x x
f x x x x x x
x x x x
− − − − < − − < −
= + − − − ≤ ≤ = + − ≤ ≤
+ − − > >
3x < − 4 1x− +≥ 5x ≤ − 5x ≤ −
3 1x− ≤ ≤ 2 2 1x x+ +≥ 1x ≥ − 1 1x− ≤ ≤
1x > 4 1x +≥ 3x ≤ 1 3x< ≤
( ) 1f x x +≥ ( , 5] [ 1,3]−∞ − −
( )f x 4M = 1 4ab a b+ + + =
23 ( ) ( )2
a ba b ab
+− + = ≤ a b=
2( 2) 16a b+ + ≥ 2a b+ ≥ +a b
x
| | | | | |x a x b a b− + − ≥ − | | | | | |x a x b a b− − − ≤ −
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