龙泉中学、宜昌一中 2020 届高三年级 9 月联合考试
数学（文科）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 为虚数单位，复数 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简 为 的形式，进而求得 .
【详解】依题意 ，故 ，故选 D.
【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.求解与复数概
念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部
与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即
的形式，再根据题意求解.
2.已知集合 A={x|–1
(1, )A B∪ = +∞
( ) 2 2 4lnf x x x x= − − ( )f xA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定函数的定义域；利用导数可知当 时， 范围即为所求区间，从而得到结果.
【详解】由题意得： 定义域为：
当 时， ；当 时，
的单调递增区间为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域，从而造成求
解错误.
4.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.
【详解】 在 上递减，
若 充分性成立，
若 ，则 ，
( )2,+∞ ( ) ( )1,0 2,− ∪ +∞ ( )1,+∞ ( )0,2
( ) 0f x′ > x
( )f x ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )( )22 2 2 1 242 2
x x x xf x x x x x
− − + −′ = − − = =
∴ ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )2,+∞
A
,m n R∈ m n< 1 12
m n− >
( ) 1
2
x
f x = R
∴
01 1, 0, 12 2
m n
m n m n
− < − < > =
1 12
m n− >
01 1
2 2
m n− > 必要性成立，
即“ ”是“ ”的充要条件，故选 C.
【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充
分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、
性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽
象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关
系来处理.
5.已知 是定义在 上的偶函数，且 在 内单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性可知 ，通过对数函数单调性可知 ，进
而根据 在 上单调递减得到大小关系.
【详解】 为定义在 上的偶函数
且 在 上单调递减
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶
性将自变量化到同一个单调区间内，进而根据单调性得到函数值的大小关系.
6.已知 a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
A. B.
0,m n m n− < <
m n< 1 12
m n− >
p q
,p q q p⇒ ⇒
( )f x R ( )f x [ )0,+∞
2 3( log 3) (log 2) (0)f f f− < < 3 2(log 2) (0) ( log 3)f f f< < −
3 2(0) (log 2) ( log 3)f f f< < − 3 2(log 2) ( log 3) (0)f f f< − <
( ) ( )2 2log 3 log 3f f− = 2 3log 3 log 2 0> >
( )f x [ )0,+∞
( )f x R ( ) ( )2 2log 3 log 3f f∴ − =
2 3 3log 3 1 log 2 log 1 0> > > = ( )f x [ )0,+∞
( ) ( ) ( )2 3log 3 log 2 0f f f∴ < < ( ) ( ) ( )2 3log 3 log 2 0f f f− < <
A
π
2
1
5
5
5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案．
详解】 ， ．
，又 ， ，又
， ，故选 B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断
正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后
得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
7.若函数 的图象关于 轴对称，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根 据 图 象 对 称 关 系 可 知 函 数 为 偶 函 数 ， 得 到 ， 进 而 得 到
恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果.
【详解】 图象关于 轴对称，即 为偶函数
即：
恒成立，即：
【
3
3
2 5
5
2sin 2 cos2 1α = α +
24sin cos 2cos . 0, , cos 02
π ∴ α⋅ α = α α∈ ∴ α >
sin 0, 2sin cosα > ∴ α = α 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 15sin 1, sin 5
∴ α = α =
sin 0α > 5sin 5
α∴ =
2( ) sin ln( 1 4 )f x x ax x= ⋅ + + y a
2± 4±
( ) ( )f x f x= −
2
2
11 4
1 4
ax x
x ax
+ + =
+ −
( )f x y ( )f x ( ) ( )f x f x∴ = −
( ) ( )2 2
2
1sin ln 1 4 sin ln 1 4 sin ln
1 4
x ax x x x ax x
x ax
⋅ + + = − ⋅ + − = ⋅
+ −
2
2
11 4
1 4
ax x
x ax
∴ + + =
+ −
2 2 21 4 1x a x+ − =，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项
的系数相同，属于常考题型.
8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数
的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 排除 选项；当 时，可知 ，排除 选项，从而得到结果.
【详解】当 时， ，可排除 选项；
当 时， ， 时， ，可排除 选项
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数
值的符号来排除错误选项.
2 4a∴ = 2a = ±
B
2( ) 1
exf x x
= −
1 02f > A x → +∞ ( ) 0f x < ,B D
1
2x = 1 22 012 31 4
e
ef = = > −
A
x → +∞ 0ex > 21 0x− < x∴ → +∞ ( ) 0f x < ,B D
C9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总
数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 B. 1053
C. 1073 D. 1093
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 设 ， 两 边 取 对 数 ，
， 所 以 ， 即 最 接 近
，故选 D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的
运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 ，并想到两边同时取对数进行求
解，对数运算公式包含 ， ，
.
10.如图点 A 为单位圆上一点， ，点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角 到点 B
，则 ()
A. B.
M
N
361
80
3
10
M xN
= =
361
361 80
80
3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x = = − = × − = 93.2810x = M
N
9310
361
80
3
10x =
log log loga a aM N MN+ = log log loga a a
MM N N
− =
log logn
a aM n M=
3xOA
π∠ = α
2 2( , )2 2
− sinα =
2 6
4
− + 2 6
4
−C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，点 B 得到 ，
将所求的 转化为 ，按照公式展开，得到答案.
【详解】由题意因为 ，点 B
所以 ，
所以 ，
故选 C
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.
11.若存在两个正实数 使得等式 成立（其中 是以 为底的
对数），则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将等式转化为 ；令 ，则等式化为 ，将问题转
化为 与 有交点；令 ，通过导数可求得函数单调性，得到
2 6
4
+ 2 6
4
+−
3xOA
π∠ = 2 2( , )2 2
− 2sin 3 2
πα + =
2cos 3 2
πα + = −
sinα sin[( ) ]3 3
π πα + −
3xOA
π∠ = 2 2( , )2 2
−
2sin 3 2
πα + =
2cos 3 2
πα + = −
2 1 2 3 2 6sin sin[( ) ] ( )3 3 2 2 2 2 4
π πα α += + − = ⋅ − − ⋅ =
,x y (1 ln ) lnx x x y ay+ = − ln ,lnx y e
a
2
1, e
−∞
10, e
2
10, e
1, 3
−∞
ln 1x xa y y
= − −
( )0xt ty
= > ( )ln 1a t t= − −
y a= ( )y g t= ( ) ( )ln 1g t t t= − −，通过判断 和 时 的极限，可确定 的取值范围.
【详解】由 得：
令 ，则
设 ， ，则
当 时， ；当 时，
即 在 上单调递增；在 上单调递减
又 时， ； 时，
又 成立等价于 与 有交点
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据等式能成立求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于 轴
的直线与曲线的有交点的问题，从而利用导数研究函数的图象，根据图象确定参数的取值范
围.
12.已知函数 （ 表示不超过实数 的最大整数），若函数 的零
点为 ，则 （ ）
A. B. -2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数 求导，判断函数 单调性，再根据函数零点存在性定理，确定 的大致范
围，求出 ，进而可得出结果.
( ) ( )2
2max
1g t g e e
−= = 0t → t → +∞ ( )g t a
( )1 ln lnx x x y ay+ = − ln 1 ln 1x y x xa y x y y
= − = − −
( )0xt ty
= > ( )ln 1a t t= − −
( ) ( )ln 1g t t t= − − 0t > ( ) ln 2g t t′ = − −
∴ ( )20,t e−∈ ( ) 0g t′ > ( )2 ,t e−∈ +∞ ( ) 0g t′ <
( )g t ( )20,e− ( )2 ,e− +∞
( ) ( ) ( )2 2 2
2max
1ln 1g t g e e e e
− − −∴ = = − − =
0t → ( ) 0g t → t → +∞ ( )g t → −∞
( )ln 1a t t= − − y a= ( )y g t= 2
1,a e
∴ ∈ −∞
A
x
( ) [ ]f x x= [ ]x x ( ) 2x xg x e e−= − −
0x ( )0g f x =
1 2ee
− − 1 2e e
− −
2
2
1 2e e
− −
( )g x ( )g x 0x
0( )f x【详解】因为 ，所以 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递增；
又 ，
所以 在 上必然存在零点，即 ，
因此 ，
所以 .
故选 B
【点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以
及零点的存在性定理即可，属于常考题型.
二、填空题.
13.已知函数 ，若 ，则实数 的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
解方程 即得 a 的值.
【详解】∵
∴
∵
∴ ，
因为
所以解得 a＝ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解
( ) 2x xg x e e−= − − ) 0( x xg x e e−+′ >= R
( ) 2x xg x e e−= − − R
0 0(0) 2 2 0g e e= − − = − < 1 1(1) 2 0g e e−= − − >
( )g x (0,1) 0 (0,1)x ∈
[ ]0 0( ) 0f x x= =
( )0 (0) 2g f x g= = −
2 2 1( )
log ( 1) 1
x
a
xf x
x x
+ ≤= − >
，
， [ (0)] 2f f = a
2
[ (0)] 2f f =
0(0) 2 2 3f = + =
[ (0)] (3) log 2af f f= =
[ (0)] 2f f =
log 2 2a
=
0,a >
2
2掌握水平和分析推理能力.
14.函数 的图象在点 处的切线方程为_____
【答案】
【解析】
【分析】
当 时，可得 解析式，从而得到 ；将 代入函数解析式和导函数 解析式，
求得切点纵坐标 和切线斜率 ，从而得到切线方程.
【详解】当 时， ，则
，
在 处的切线方程为：
【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解函数在某一点处的切线方程的问题，属于基础题.
15.求值： ________．
【答案】4
【解析】
故答案为 4
16.定义函数 ，若存在常数 ，对于任意 ，存在唯一的 ，使得
，则称函数 在 上的“均值”为 ，则函数
的“均值”为________．
【答案】1010
的
( ) 1xf x e x= + − (0, (0))f
2 0y − =
1x < ( )f x ( )f x′ 0x =
( )0f ( )0f ′
1x < ( ) 1xf x e x= + − ( ) 1xf x e′ = −
( )0 2f∴ = ( )0 0f ′ =
( )f x∴ 0x = 2y =
0 0
1 3
sin10 sin80
− =
( )0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
2sin 30 101 3 1 3 cos10 3sin10
sin10 sin80 sin10 cos10 sin10 cos10 sin10 cos10
2sin 20 41 sin 202
o o−−− = − = =
= =
( ),y f x x I= ∈ M 1x I∈ 2x I∈
1 2( ) ( )
2
f x f x M
+ = ( )f x I M
2020
2( ) log , 1,2f x x x = ∈ 【解析】
【分析】
根 据 定 义 域 可 知 ， ； 由
在 上单调递增，可知若需满足题意，则 ，
进而得到结果.
【详解】 ，即
若 ，则 ，
对于任意 ，存在唯一的 使得 且
在 上单调递增
本题正确结果：
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，关键是能够充分理解新定义的“均值”的含义，
进而通过单调性可得 的值，考查学生的分析和解决问题能力.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知命题 ，命题 关于 的不等式 在
上恒成立．
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为假命题，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
分别求出 为真、 为真时， 的取值范围；（1）由 为真可知 全都为真，得到不
等式组求得结果；（2）由 为假可知 全都为假，从而得到不等式组求得结果.
( ) [ ]1 2 1log 0,2020f x x= ∈ ( ) [ ]2 2 2log 0,2020f x x= ∈
( ) 2logf x x= 0 20202 ,2 ( ) ( )1 2 0 2020f x f x+ = +
20201,2x ∈
0 20202 ,2x ∈
0 2020
1 2, 2 ,2x x ∈ ( ) [ ]1 2 1log 0,2020f x x= ∈ ( ) [ ]2 2 2log 0,2020f x x= ∈
0 2020
1 2 ,2x ∈ 0 2020
2 2 ,2x ∈
( ) ( )1 2
2
f x f x M
+ =
( ) 2logf x x= 0 20202 ,2
( ) ( )1 2 0 2020 2020f x f x∴ + = + = 1010M∴ =
1010
( ) ( )1 2f x f x+
: 0, ,1 tan3p x x m
π ∀ ∈ + ≤
:q x 2 ( 1) 4 0x m x+ − + >
R
p q∧ m
p q∨ m
)3 1,5 + ( ], 3−∞ −
p q m p q∧ ,p q
p q∨ ,p q【详解】若 为真，即对 ， 恒成立
当 时，
若 为真，即不等式 在 上恒成立
，解得：
（1） 为真，则 全都为真
即
（2） 假，则 全都为假
即
【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，关键是能够准确求解出两个
命题分别为真时参数的取值范围，进而根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性.
18.已知函数 .
（1）求 的值；
（2）将函数 的图像向左平移 后得到函数 ，若 时，不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) . (2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将 化简为 ，代入 即可求得结果；
（2）根据三角函数左右平移原则可得 解析式，利用 的范围求出 的范围，结合
为
p 0, 3x
π ∀ ∈ 1 tan x m+ ≤ ( )max1 tanm x∴ ≥ +
0, 3x
π ∈ tan 0, 3x ∈ ( )max1 tan 3 1x∴ + = + 3 1m∴ ≥ +
q ( )2 1 4 0x m x+ − + > R
( )21 16 0m∴∆ = − − < 3 5m− < <
p q∧ ,p q
3 1
3 5
m
m
≥ +− <
11 2c− < < −
∴ c 11, 2
− −
2 2 3( ) ( )m mf x x m z− + += ∈ (0, )+∞
( )f x
3 21 9( ) ( ) ( )4 2g x f x ax x b x R= + + − ∈ ,a b R∈ ( )g x 0x =
a
( ) 4f x x= [ 2,2]a∈ −
(0, )+∞
1 3m− < < m Z∈ 0,1,2m =，从而得 的解析式，求导得， 显然 不是方程
的根，为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，即有
，解这个不等式便得 的取值范围．
试题解析：（1） 在区间 上是单调增函数，
即 又 4 分
而 时， 不是偶函数， 时， 是偶函数，
． 6 分
（2） 显然 不是方程 的根.
为使 仅在 处有极值，必须 恒成立， 8 分
即有 ，解不等式，得 . 11 分
这时， 是唯一极值． ． 12 分
考点：1、基本初等函数及其性质；2、导数的应用；3、不等关系..
20.已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不
同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l 斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【解析】
分析：（1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线 l 的斜率的
取值范围，最后根据 PA，PB 与 y 轴相交，舍去 k=3，（2）先设 A（x1，y1），B（x2，y2），与抛
物线联立，根据韦达定理可得 ， ．再由 ，
的
4( )f x x= ( )g x 2'( ) ( 3 9),g x x x ax= + + 0x =
2 3 9 0x ax+ + = ( )g x 0x = 2 3 9 0x ax+ + ≥
29 36 0a∆ = − ≤ a
( )f x (0, )+∞ 2 2 3 0m m∴− + + >
2 2 3 0m m− − < 1 3,m∴− < < , 0,1,2m z m∈ ∴ =
0,2m = 3( )f x x= 1m = 4( )f x x=
4( )f x x∴ =
2'( ) ( 3 9),g x x x ax= + + 0x = 2 3 9 0x ax+ + =
( )g x 0x = 2 3 9 0x ax+ + ≥
29 36 0a∆ = − ≤ [ ]2,2a∈ −
(0)g b= − ∴ [ ]2,2a∈ −
2y P
QM QOλ= QN QOµ= 1 1
λ µ+
1 2 2
2 4kx x k
−+ = − 1 2 2
1x x k
= =QM QOλ =QN QOµ 得 ， ．利用直线 PA，PB的方程分别得点 M，N的纵坐标，代入化简
可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），
所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x．
由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）．
由 得 ．
依题意 ，解得 k
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