2019～2020 学年度高三 10 月质量检测
数 学(文科)
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则 A∩B＝
A.{1，2} B.{0，2} C.{0，1} D.{1}
2.若 i 是虚数单位，则 2(3＋i)i
A.2＋6i B.2－6i C.－2－6i D.－2＋6i
3.若函数 ，则 f(1)＋f(－1)＝
A.0 B.1 C.－1 D.2
4.若双曲线 的离心率为 2，则实数 m 的值为
A.1 B. C.2 D.3
5.若 ，且 ，则
A. B. C. D.
6.在 Rt△ABC 中，A＝90°，AB＝AC＝a，在边 BC 上随机取一点 D，则事件“AD> a”
发生的概率为
A. B. C. D.
7.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3π＋6，则 x 等于
2
2
2, 0( )
log 2, 0
x xf x
x x
+ +
1
3
1cos( )3 6
πα + = − 2
6 3
π πα< < 7sin( )12
πα + =
70 2
12
+− 70 2
12
− 2 70
12
− 70 2
12
+
10
4
3
4
2
3
1
2
1
3A.4 B.5 C.6 D.7
8.已知点 D 是△ABC 所在平面上的一点，且 ，则 λ－µ＝
A.6 B.－6 C.－ D.－3
9.已知函数 的两个零点之差的绝对值的最小值为 ，将函数 f(x)
的图象向左平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是
①函数 g(x)的最小正周期为 π； ②函数 g(x)的图象关于点( ，0)对称；
③函数 g(x)的图象关于直线 对称； ④函数 g(x)在[ ，π]上单调递增。
A.①②③④ B.①② C.②③④ D.①③
10.杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的
《详解九章算法》一书中就有出现。在欧洲，帕斯卡(1623～1662)在 1654 年发现这一规律，
比杨辉要迟了 393 年。如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿
形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第 37 项是
2BD DC AD AB ACλ µ ＝－ ，若 ＝ ＋
3
2
( ) sin( )( 0)6f x x
πω ω= + >
2
π
3
π
7
12
π
2
3x
π=
3
πA.153 B.171 C.190 D.210
11.已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3。将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折形成四面体
ABCD，若该四面体 ABCD 内接于球 O，则下列说法错误的是
A.四面体 ABCD 的体积的最大值是 B.球心 O 为线段 AC 的中点
C.球 O 的表面积随二面角 B―AC―D 的变化而变化 D.球 O 的表面积为定值 25π
12.设函数 f(x)的定义域为 R，f'(x)是其导函数，若 f(x)＋f'(x)>－e－xf'(x)，f(0)＝1，则不等式 f(x)>
的解集是
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，1)
二、填空题：本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分。
13.已知函数 f(x)＝4x2－3xf'(1)，则 f'(1)＝ 。
14.已知正数 x，y 满足 3x＋2y＝4，则 xy 的最大值为 。
15.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， ，若 a3＋a5＝20，a2a6＝64，则 S5＝ 。
16.已知抛物线 y2＝9x 的焦点为 F，其准线与 x 轴相交于点 M，N 为抛物线上的一点，且满足
，则点 F 到直线 MN 的距离为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2＋c2－a2＝bc。
(1)求角 A 的大小；
(2)若 b，c 分别是一元二次方程 x2－4x＋2＝0 的两根，求△ABC 的周长。
24
5
2
1xe +
1
1n
n
a
a +
>
6 | | 2 | |NF MN=18.(本小题满分 12 分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1＝4，AB⊥AC，D，E 分别是 A1C，AB1 的中
点。
(1)求证：DE//平面 ABC；
(2)若三棱锥 A1－AB1C1 的体积为 8，求点 A1 到平面 AB1C1 的距离。
19.(本小题满分 12 分)
某重点中学高三的一名学生在高考前对他在高三近一年中的所有数学考试(含模拟考试、月考、
平时训练等各种类型的试卷)分数进行统计，以此来估计自己在高考中的大致分数。为此，随
机抽取了若干份试卷作为样本，根据此样本数据作出如下频率分布统计表和频率分布直方图。
(1)求表中 c，d，e 的值和频率分布直方图中 g 的值；
(2)若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试根据频率分布直方图求该学生高三年级
数学考试分数的中位数和平均数，并对该学生自己在高考中的数学成绩进行预测。
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝xx－e－x＋2ax(a∈R)，g(x)＝f(x)＋e－x。
(1)讨论函数 g(x)的单调性；
(2)是否存在实数 a，使得“对任意 x∈[0，＋∞)，f(x)≥0 恒成立”？若存在，求出 a 的取值范
围；若不存在，请说明理由。
21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A( ，0)，且离心
率为 。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)互相平行的两条直线 l，l'分别过 F1，F2，且直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 l'与椭
圆 C 交于 P，Q 两点，若四边形 MNPQ 的面积为 ，求直线 l，l'的方程。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，
x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线 C 的方程为 2sinθ－ρcos2θ＝
0。
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝4，求 b 的值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|3x＋m|－2|x－1|(m>0)。
(1)若 m＝1，解不等式 f(x)≥4；
(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的面积为 ，求 m 的值。
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 5
5
5
16 10
9
1
x t
y bt
=
= − +
20
3
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