理科数学
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
考生注意：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，
并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则 A∪B 等于
A.{1} B.{1，2} C.{0，1，2，3} D.{－1，0，1，2，3}
2.设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝
A. B. C. D.2
3.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期
间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图。根据折线图，下列
结论正确的是
A.月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月
D.1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳
1
2
2
2 24.已知二项式 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2：5，则
x3 的系数为
A. 240 B.－14 C.14 D.－240
5.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
A. B. C.2 D.
6.已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝6，a4＋a5＝48，则数列{an}前 10 项的和为 S10＝
A.1022 B.1023 C.2047 D.2046
7.若函数 f(x)＝excosx 在点(0，f(0))处的切线与直线 2x－ay＋1＝0 互相垂直，则实数 a 等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
8.函数 的图象大致为
9.某几何体的三视图如图所示(单位相同)，记该几何体的体积为 V，则 V＝
*1(2 ) ( )nx n N
x
− ∈
5
3
3
2
8
5
1 2( ) cos1 2
x
xf x x
−= ⋅+A. B.243 C. D.729
10.设 F 是双曲线 C： 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰
为虚轴的一个端点，则 C 的离心率为
A.2 B. C.5 D.
11.设函数 f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3。若实数 a，b 满足 f(a)＝0，g(b)＝0，则
A.0＜g(a)＜f(b) B.f(b)＜0＜g(a) C.g(a)＜0＜f(b) D.f(b)＜g(a)＜0
12. 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f(x) 对 任 意 实 数 x ， y 满 足 ：
，且 f(0)＝f(1)＝0， ，并且当 x∈(0， )时，
f(x)＞0。给出如下结论：
①函数 f(x)是偶函数； ②函数 f(x)在(－ ， )上单调递增；
③函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数； ④f(－ )＝0。
其中正确的结论是
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若向量 满足| |＝ ，| |＝2， ⊥( － )，则 与 的夹角为 。
14.已知等差数列{an}的前 n 项为 Sn，且 a1＋a5＝－14，S9＝－27，则使得 Sn 取最小值时的 n
为 。
15.在三棱锥 P－ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，△PAB 是
以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 。
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，若等腰直角△PAB 的斜边 AB
为圆 C 的一条弦，则|PC|的最大值为 。
243
2
729
2
2 2
2 1( 0)9
y x bb
− = >
2 5
( ) ( ) ( )( )cos2 2 2
f x f y x y x yf
π+ + −= 1( ) 12f = 1
2
1
2
1
2
5
2
,a b a 3 b a a b a b三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年下半年该市
100 名农民工(其中技术工、非技术工各 50 名)的月工资，得到这 100 名农民工的月工资均在[25，
55](百元)内，且月工资收入在[45，50)(百元)内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的
频率分布直方图：
(1)求 n 的值；
(2)已知这 100 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 31 名，非技术工有 19 名。
①完成如下所示 2×2 列联表
②则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数
有关系？
参考公式及数据： ，其中 n＝a＋b＋c＋d。
18.(12 分)
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。
(1)若 A＝ ，a＝3，C＝ ，求 b；
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
4
π
3
π(2)若 A＝ ，a＝2，求△ABC 的周长的范围。
19.(12 分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC＝2，D 为棱 CC1 的中点，AB1∩A1B＝O。
(1)证明：C1O∥平面 ABD；
(2)设二面角 D－AB－C 的正切值为 ，AC⊥BC， ，求异面直线 C1O 与 CE 所
成角的余弦值。
20.(12 分)
已 知 函 数 在 [1 ， ＋ ∞) 上 为 增 函 数 ， 且 θ∈(0 ， π) ，
，(其中 m∈R)。
(1)求 θ 的值；
(2)设 ，若存在 x0∈[1，e]，使得 f(x0)－g(x0)＞h(x0)成立，求 m 的取值范围。
21.(12 分)
已知 P(－3，0)，椭圆 C： 的离心率为 ，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，
AB 长度的最大值为 4。
(1)求 C 的方程；
(2)直线 l 与 x 轴的交点为 M，当直线 l 变化(l 不与 x 轴重合)时，若|MA||PB|＝|MB||PA|，求点 M
的坐标。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
3
π
2
2 1 2A E EB=
1( ) lnsing x xxθ= +⋅
1( ) lnmf x mx xx
−= − −
2( ) eh x x
=
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2在极坐标系中，射线 l：θ＝ 与圆 C：ρ＝2 交于点 A，椭圆 Γ 的方程为： ，
以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角标系 xOy。
(1)求点 A 的直角坐标和椭圆 Γ 的参数方程；
(2)若 B 为椭圆 Γ 的下顶点，M 为椭圆 Γ 上任意一点，求 的最大值。
23. [选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知 a＞0，b＞0，a3＋b3＝2。证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2。
6
π 2
2
3
1 2sin
ρ θ= +
AB AM⋅
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