2020 届普通高中教育教学质量监测考试
全国Ⅰ卷 理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合 M＝{x|8x2－9x＋1≤0}，N＝{x|y＝ }，则
A. B. C. D.
3.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝ ，S3＝ ，则 a4＝
A. 或 B.－ 或 C. D.
4.设向量 m，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：
命题 p：|m－2n|的值可能为 9；
命题 q：“(m－2n)⊥m”的充要条件为“cos＝ ”；
则下列命题中，真命题为
A.p B.p∧q C.(﹁p)∧q D.p∨(﹁q)
5.记抛物线 C：y2=2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在抛物线上，若 ，且 N(2，2)，则抛
物线 C 的准线方程为
A.x＝－1 B.x＝－2 C.x＝－3 D.x＝－4
6.函数 在[－2π，2π]上的图象大致为
5 2
7 3
i ii
− − =+
1 17
58 58 i+ 1 17
58 58 i− + 1 17
58 58 i− 1 17
58 58 i− −
2 1x − ( )RM N =
[1, )+∞ 1 1( , )8 2
1 1[ , )8 2
1( ,1]2
3
5
21
20
3
40
− 81
40
81
40
3
40
81
40
3
40
1
3
MN NF=
3sin 2( ) x
x xf x
e
+=7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添
一倍，逢友饮一斗。”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为，输出的 x
值为 9，则判断框中可以填
A.i>4 B.i>5 C.i>6 D.i>7
8.2019 年 10 月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随
机抽检了 16 款(德国 4 款、法国 8 款、荷兰 4 款)，其中 8 款检测出芳香烃矿物油成分，此成
分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。A 地区闻讯后，立即组织相关检测员
对这 8 款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区 6 家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、
乙、丙 3 名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检 1 家商店，且检测过的商店不重复检测。
则甲检测员检测 2 家商店的概率为
A. B. C. D.
9.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 是线段 A1D1 的中点，点 F 是线段 DD1 上靠近 D 的
三等分点，则直线 CE，BF 所成角的余弦值为
11
18
7
18
5
12
7
12A. B. C. D.
10.已知函数 f(x)的图像关于原点对称，且满足 f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当 x∈(2，4)时，f(x)＝－
，若 ，则 m＝
A. B. C.－ D.－
11.已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 引直线 l 交双曲
线 C 的渐近线于 y 轴右侧 P，Q 两点，其中 OP⊥PQ，记△OPQ 的内心为 M。若点 M 到直线
PQ 的距离为 ，则双曲线 C 的渐近线方程为
A. B. C. D.
12.已知函数 ，其中 ，若 f(x)>0 在(0， )上恒成
立，则 f( )的最大值为
A. B.0 C.－ D.－
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13.曲线 y＝(2x－1)·ex 在(0，－1)处的切线方程为________。
14.已知实数 x，y 满足 ，则 z＝2x＋y 的最大值为_______。
15.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＋a4＝18，S 17=459，则{(一 1) n·a3n}的前 n 项和
Tn=________。
16.已知三棱锥 P－ABC 中，△PAB 是面积为 4 的等边三角形，∠ACB＝ ，则当点 C 到
平面 PAB 的距离最大时，三棱锥 P－ABC 外接球的表面积为________。
10 19
57
5 19
57
19
19
3 19
19
1
2
log ( 1)x m− + (2021) 1 ( 1)2
f f
− = −
4
3
3
4
4
3
3
4
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
3
a
1
4y x= ± 4y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ±
6( ) 6 sin(2 ) 2f x x ϕ= + +
2 2
π πϕ− ≤ ≤ 5
12
π
3
4
π
6
2
6
2
3 6
2
2
3
3 6
x y
x y
x y
+ ≥
+ ≤
− ≤
3 4
π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
。
(1)求 A 的大小；
(2)若 a＝ ，求△ABC 面积的最大值以及周长的最大值。
18.(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝
135°，SD＝2CD，点 P，Q，M 分别是线段 SD，PD，AP 的中点，点 N 是线段 SB 上靠近 B
的四等分点。
(1)若 R 在直线 MQ 上，求证：NR//平面 ABCD；
(2)若 SD⊥平面 ABCD，求平面 SAD 与平面 SBC 所成的锐二面角的余弦值。
19.(本小题满分 12 分)为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”
的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类，统计如下所示：
(1)是否有 90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？
(2)在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取 9 人进行座谈，再从这 9 人中随机
抽取 5 人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X)。
附：
P( ) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
2 23sin 3sin 3sin 2 3sin sinsin
B C A B CA
+ = +
2 3
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
0K k≥20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 的上、下焦点分别为 F1，F2，离心
率为 ，点 M( )在椭圆 C 上，延长 MF1 交椭圆于 N 点。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)P，Q 为椭圆上的点，记线段 MN，PQ 的中点分别为 A，B(A，B 异于原点 O)，且直线 AB
过原点 O，求△OPQ 面积的最大值。
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x－alnx，x∈[1，e]。
(1)若 a＝2，求函数 f(x)的最大值；
(2)讨论函数 g(x)＝xf(x)＋a＋1 的零点个数。
请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右
侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选
考题的首题进行评分。
22.(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)。以坐标原点 O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，且直线 l 与曲线 C 交
于 M，N 两点。
(1)求直线 l 的普通方程以及曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若 A(0，1)，求|AM|＋|AN|的值。
23.(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f(x)＝|x－m|＋|2x＋ |(x>2)。
(1)若 m＝4，求不等式 f(x)>5 的解集；
(2)证明： 。
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
5
3
4 5 3 5,5 5
2 2
1 2
x t
y t
= −
= − +
4
m
4( ) 2 2 2( 2)f x m m
+ ≥ +−
微信/支付宝扫码支付