吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡和试
题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求。
1. 设 ，则
A. B. C. D.
2. 函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，则
A. B. C. D.
4. 已知函数 是奇函数，当 时， ；则当 时， 等于
A. B. C. D.
5. 若数列 满足： 且 ，则
A． B． C. D.
6. 若 ，则
A． B． C． D．
{ | 2 3}, { | 0}A x x B x x= − < < = > A B =
( 2,3)− (3, )+∞ ( 2,0)− (0,3)
3sin(4 )3y x
π= +
2π
2
π
3
π π
(1, 2), ( 2,3)a b= − = − a b =
8− 4 7 1−
( )f x 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x
(1 )x x− − (1 )x x− (1 )x x− + (1 )x x+
{ }na 1
11n
n
a a+ = − 1 2a = 2019a =
1
2 1− 2 1
2
−
3cos( )2 3
πα + = − cos2α =
2
3
− 1
3
− 1
3
2
37. 将函数 图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变;
再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，在 图象的所有对称轴中，
离原点最近的对称轴方程为
A. B. C. D.
8. 已知 是不共线的向量， ,若 、 、 三
点共线，则 满足
A. B. C. D.
9. 若函数 且 在 上为减函数，则函数 的图象
可以是
A. B. C. D.
10. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，
，则
A. B. C. D.
11. 已 知 向 量 、 满 足 , 点 在 内 ， 且 , 设
（ ），若 ,则
A. B. C. D.
12. 设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的
值域为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数
（ ）为“3 倍函数”，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。
( ) 2sin(2 )3f x x
π= +
12
π
( )g x ( )g x
12x
π=
4x
π= 5
24x
π=
24x
π= −
,a b 2 , 2 , ,AB a b AC a b Rλ µ λ µ= − = + ∈ A B C
,λ µ
2λ µ+ = 1λµ = − 4λ µ+ = 4λµ = −
( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R log (| | 1)ay x= −
{ }na n nS 1 3 52 2 13( )( *)n nS a a a a n N−= + + + + ∈
1 2 3 8a a a = 8S =
510 255 127 6540
OA OB 0OA OB =
C AOB∠ 30AOC∠ = °
OC mOA nOB= + ,m n R∈ | | 1
2| |
OA
OB
=
m
n
=
3
6 4 2 3 1
4
( )f x D [ , ]m n D⊆ ( )f x [ , ]m n
[ , ]km kn k R∈ 0k > ( )f x k ( ) xf x a=
1a > a
3
(1, )ee 3(1, )e
2
( , )ee e 3( , )e e
y
x-1 1
y
x-1 1
y
x-1 1
y
x13. 已知函数 ，则 .
14. 已知向量 的夹角为 ， ，则 .
15. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气
晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），
夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续
十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日
影子长之和为 尺，这十二节气的所有日影子长之和为 尺，则夏至的日影子长为
尺.
16. 已知函数 ，若 ，则
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
是底部 不可到达的建筑物, 是建筑物的最高点，为测量建筑物 的高度，先把
高度为 1 米的测角仪放置在 位置，测得仰角为 ，再把测角仪放置在 位置，测得仰
角为 ，已知 米， 在同一水平线上，
求建筑物 的高度.
18．（12 分）
已知数列 为等差数列，公差 ，前 项和为 ， ，且 成等比数
列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
19.（12 分）
在 中，角 的对边分别是 , 已知 .
1
ln , 0( )
2 , 0x
x xf x
x+
>= ≤
1[ ( )]f f e
=
,a b 60° | | 1,| | 2a b= = | 2 |a b− =
16.5 84
( ) sin( ) 2cos( )f x x xπ ϕ π ϕ= + − + (1 ) (1 )f x f x+ = −
sin2ϕ =
AB B A AB
CD 45° EF
75° 2DF = , ,D F B
AB
{ }na 0d ≠ n nS 3 6a = 2 4 8, ,a a a
{ }na
1
n
n
b S n
= + { }nb n nT 3
4nT <
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin( ) sin 03b C c B
π− − =
45 75
A
B
C
D
E
F
H（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的面积.
20．（12 分）
设函数 的正零点从小到大依次为 ，构成数列 .
（1）写出数列 的通项公式 ，并求出数列 的前 项和 ；
（2）设 ，求 的值.
21．（12 分）
已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值与最小值.
22．（12 分）
设函数
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
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理科数学参考答案与评分标准
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A D B C D D D B C A
二、填空题：
13. 1
14. 2
15. 1.5（注：填 也正确）
C
4, 2 7a c= = ABC∆
( ) sin 1f x x= − 1 2, , , ,nx x x { }nx
{ }nx nx { }nx n nS
4
n
n
Sa n
π= − sin na
3 2( ) 3 9 1f x x x x= + − +
( )f x
[ 4,4]x ∈ − ( )f x
( ) ( ) ( )xf x m x e m Z= − ∈
0m = ( )f x (1, (1))f
0x > ( ) 3f x x< + m
3
216.
三、解答题：
17．（10 分）
解： 中，
（米） --------------------------------5 分
因为
所以 （米）
所以建筑物 的高度为（ ）米 ---------------------------------------------10 分
注： 直接用不扣分
18．（12 分）
解（1）由题意得： ，
由（2）式得： ，
因为 ，所以 ，代入（1）式求得 ----------------------------5 分
所以 -----------------------------------------------------------6 分
（2） --------------------------------9 分
4
5
−
ACE∆
sin45 sin(75 45 )
AE CE=° ° − °
222sin45 2 2 21sin30
2
AE
×°= = =°
1 sin75 1 2 2sin75 1AB AH AE= + = ° + = ° +
sin75 sin(30 45 ) sin30 cos45 cos30 sin45° = ° + ° = ° ° + ° °
1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
+= × + × =
2 62 2 1 2 34AB
+= × + = +
AB 2 3+
2 6sin75 4
+° =
3
2
4 2 8
6a
a a a
= =
1
2
1 1 1
2 6 (1)
( 3 ) ( )( 7 ) (2)
a d
a d a d a d
+ = + = + +
2 2 2 2
1 1 1 16 9 8 7a a d d a a d d+ + = + + 2
1d a d=
0d ≠ 1d a= 1 2d a= =
2 2( 1), 2n na n a n= + − =
2
2
1 1 1 1 1, ( )2 2 2n n
n
S n n b S n n n n n
= + = = = −+ + +
--------------------------------------------------------------------------12 分
19.（12 分）
解：（1）∵ ，
∴由正弦定理可得， ，
因为 ，∴ ，∴ . -----------------4 分
∵ ， ∴ . ------------------------ 6 分
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， --------------------------------------------------------------10 分
∴ . ---------------------------------------------12 分
20．（12 分）
解：（1） -----------------------------------------------------3 分
-----------------------------------------------------------------------6 分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT n n n n
= − + − + − + + − + −− + +
1 1 1 1(1 )2 2 1 2
3 1 1 1( )4 2 1 2
3
4
n n
n n
= + − −+ +
= − ++ +
<
sin sin 03b C c B
π − − =
1 3sin sin cos sin sin 02 2B C C C B
− − =
sin 0B ≠ 1 3sin cos 02 2C C+ = sin 03C
π + =
( )0,C π∈ 4( , )3 3 3C
π π π∴ + ∈ 2,3 3C C
π ππ+ = =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 4 12 0b b+ − =
0b > 2b =
1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S ab C= = × × × =
2( 1) + *2nx n n N
ππ= − ∈，
(2 ) (4 ) [2( 1) ]2 2 2 2nS n
π π π ππ π π= + + + + + + − +
2 [1 2 3 ( 1)] 2
nn
ππ= + + + + − +
( 1) 2
nn n
ππ= − +（2） ------------------------------------------------------------8 分
当 时，
-------------10 分
当 时，
------12 分
21．（12 分）
解：（1） ----------------------3 分
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；---------------------------------------5 分
所以 的递增区间是 、 ；递减区间是 -----------------6 分
（2）由（1）知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
所以 -----------------------------------8 分
又因为 ----------------------------------------------------------10 分
所以 的最大值是 ，最小值是 --------------------------------------------12 分
22．（12 分）
解：（1）当 时， ， ------------------------2 分
所以 ，因为
所以切线方程为 ， 整理得： -----------------------4 分
（2） ，因为 ，所以 （ ）恒成立
设 ，则 ---------6 分
设 则
所以 在 上单调递增，又
所以存在 使得 ， 时， ； 时，
( 1)4 4
n
n
Sa nn
π ππ= − = − +
2 1, *n k k N= − ∈
2sin sin[(2 2) ] sin[2( 1) ] sin4 4 4 2na k k
π π ππ π= − + = − + = =
2 , *n k k N= ∈
3 2sin sin[(2 1) ] sin(2 ) sin( )4 4 4 2na k k
π π ππ π π= − + = − + = − = −
2 2( ) 3 6 9 3( 2 3) 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + −
( , 3)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x
( 3,1)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
(1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)−
( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]−
( ) ( 3) 28, ( ) (1) 4f x f f x f= − = = = −极大 极小
( 4) 21, (4) 77f f− = =
( )f x 77 4−
0m = ( ) xf x xe= − ( ) ( 1)x x xf x e xe x e′ = − − = − +
(1) 2k f e′= = − (1)f e= −
2 ( 1)y e e x+ = − − 2 0ex y e+ − =
( ) 3xm x e x− < + 0xe > 3
x
xm xe
+< + 0x >
3( ) x
xh x x e
+= +
2
( 3) 2 ( 2)( ) 1 1
x x x
x x x
e x e x e xh x e e e
− + − − − +′ = + = + =
( ) ( 2),xs x e x= − + ( ) 1xs x e′ = − 0>
( )s x (0, )+∞
3
3 223 7(1) 3 0, ( ) 3.5 02 2s e s e e= − < = − = − >
0
3(1, )2x ∈ 0( ) 0s x = 0(1, )x x∈ ( ) 0s x < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0s x >所以 在 上单调递减， 上单调递增
所以 ----------------------------------------------------------8 分
又
所以 ----------------------10 分
当 时， ，所以 在 上单调递增
所以 ，即
因为 ，所以 ，所以 的最大值为 2 -------------------------------------12 分
( )h x 0(1, )x 0( , )x +∞
0
0
min 0 0
3( ) ( ) x
xh x h x x e
+= = +
0 0
0 0 0( ) 0, 2 0, 2x xs x e x e x= − − = = +
0
0 0
min 0 0 0 0
0 0
3 3 1( ) ( ) 12 2x
x xh x h x x x xx xe
+ += = + = + = + ++ +
0
3(1, )2x ∈ 0( )h x′
2
0
11 0( 2)x
= − >+ 0( )h x 3(1, )2
0
3(1) ( ) ( )2h h x h< < 0
7 39( )3 14h x< <
m Z∈ 2m ≤ m
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