吉林省吉林市2020届高三文科数学上学期第一次调研试卷（Word版附答案）

吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第一次调研测试 文科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求。 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 函数 的最小正周期是 A. B. C. D. 3. 已知 是△ 边 上的中点，则向量 A． B． C． D． 4. 已知函数 是奇函数，当 时， ；则当 时， 等于 A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列 满足 ， 与 的等差中项为 ，则 的值为 A. B. C. D. { 1,0,1,2}, { | 0}A B x x= − = ≤ A B = {1,2} { 1,0}− {0,1,2} { 1}− 3sin(4 )3y x π= + 2π 2 π 3 π π D ABC AB CD = 1 2BC BA− +  1 2BC BA− −  1 2BC BA−  1 2BC BA+  ( )f x 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x (1 )x x− − (1 )x x− (1 )x x− + (1 )x x+ { }na 3 1a = 5a 4 3 2 a 1 2 1a 4 3 2 16. 若 ，则 A． B． C． D． 7. 已知向量 的夹角为 ， ，则 A. B. C. D. 8. 将函数 图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变; 再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，在 图象的所有对称轴中， 离原点最近的对称轴方程为 A. B. C. D. 9. 若函数 且 在 上为减函数，则函数 的图象 可以是 A. B. C. D. 10. 在 中， 、 分别为 、 中点， 则 A. B. C. D. 11. 等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 A. B. C. D. 12. 设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的 值域为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，给出下列结论： ① 是“1 倍函数”；② 是“2 倍函数”；③ 是“3 倍函 数”. 其中正确的是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。 3cos( )2 3 πα + = − cos2α = 2 3 − 1 3 − 1 3 2 3 ,a b 60° | | 1,| | 2a b= = | 2 |a b− = 2 2 3 7 1 ( ) 2sin(2 )3f x x π= + 12 π ( )g x ( )g x 12x π= 4x π= 5 24x π= 24x π= − ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R log (| | 1)ay x= − ABC∆ 4, 2, 90 ,AB AC BAC= = ∠ = ° D E AB BC AE CD =   4 3 2 6 { }na n nS 1 3 52 2 13( )( *)n nS a a a a n N−= + + + + ∈ 1 2 3 8a a a = 8S = 510 255 127 6540 ( )f x D [ , ]m n D⊆ ( )f x [ , ]m n [ , ]km kn k R∈ 0k > ( )f x k 1( )f x x = 2( )f x x= ( ) xf x e= y x-1 1 y x-1 1 y x-1 1 y x13. 已知函数 ，则 . 14. 已知 ，且 ∥ ，则向量 的坐标是 . 15. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气 晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）， 夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续 十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日 影子长之和为 尺，这十二节气的所有日影子长之和为 尺，则夏至的日影 子长为 尺. 16. 已知函数 的部分图象如图所示，则 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 是底部 不可到达的建筑物, 是建筑物的最高点，为测量建筑物 的高度，先把 高度为 1 米的测角仪放置在 位置，测得仰角为 ，再把测角仪放置在 位置，测得仰 角为 ，已知 米， 在同一水平线上， 求建筑物 的高度. 18．（12 分） 已知数列 为等差数列，公差 ，前 项和为 ， ，且 成等比数 列. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： . 19.（12 分） 在 中，角 的对边分别是 , 已知 . 1 ln , 0( ) 2 , 0x x xf x x+ >=  ≤ 1[ ( )]f f e = | | 2 5, (1,2)a b= = a b a 16.5 84 ( ) sin( ) (0 , | | )2 2f x x π πω ϕ ω ϕ= + < < < | (0) | | (1) | | (2) | | (48) |f f f f+ + + + = AB B A AB CD 45° EF 75° 2DF = , ,D F B AB { }na 0d ≠ n nS 1 2a = 2 4 8, ,a a a { }na 2 n n b S = { }nb n nT 2nT < ABC∆ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cos 0c a B b A− − = 45 75 A B C D E F H y x2-1 -1（1）求角 的值； （2）若 ，求 的面积. 20．（12 分） 设函数 的正零点从小到大依次为 ，构成数列 . （1）写出数列 的通项公式 ，并求出数列 的前 项和 ； （2）设 ，求 的值. 21．（12 分） 已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）当 时，求函数 的最大值与最小值. 22．（12 分） 已知函数 . （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）当 时， 恒成立，求实数 的最大值. 吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第一次调研测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D A C A D D C B D 二、填空题： 13. 1 14. B 4, 2 7a b= = ABC∆ ( ) sin 1f x x= − 1 2, , , ,nx x x  { }nx { }nx nx { }nx n nS 4 n n Sa n π= − sin na 3 2( ) 3 9 1f x x x x= + − + ( )f x [ 4,4]x ∈ − ( )f x 2( ) ln ,f x a x x a R= − ∈ 1a = ( )f x (1, (1))f 1x ≥ ( ) 0f x ≤ a (2,4),( 2, 4)− −15. 1.5（注：填 也正确） 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 解： 中， （米） --------------------------------5 分 因为 所以 （米） 所以建筑物 的高度为（ ）米 ---------------------------------------------10 分 注： 直接用不扣分 18．（12 分） 解（1）由题意得： ， 整理得 ， 因为 ，所以 ， --------------------------5 分 所以 ----------------------------------------6 分 （2） ---------------------------9 分 3 2 33 3 2 ACE∆ sin45 sin(75 45 ) AE CE=° ° − ° 222sin45 2 2 21sin30 2 AE ×°= = =° 1 sin75 1 2 2sin75 1AB AH AE= + = ° + = ° + sin75 sin(30 45 ) sin30 cos45 cos30 sin45° = ° + ° = ° ° + ° ° 1 2 3 2 2 6 2 2 2 2 4 += × + × = 2 62 2 1 2 34AB += × + = + AB 2 3+ 2 6sin75 4 +° = 2 4 2 8a a a= 2(2 3 ) (2 )(2 7 )d d d+ = + + 2 2 0d d− = 0d ≠ 2d = 2 2( 1), 2n na n a n= + − = 2 2 2 2 1 1, 2( )1n n n S n n b S n n n n = + = = = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 12( ) 2( ) 2( ) 2( )1 2 2 3 3 4 1nT n n = − + − + − + + − + 12(1 ) 21n = − ∴ = 1 1 3sin 4 6 6 32 2 2S ac B= = × × × = 2( 1) + *2nx n n N ππ= − ∈， (2 ) (4 ) [2( 1) ]2 2 2 2nS n π π π ππ π π= + + + + + + − + 2 [1 2 3 ( 1)] 2 nn ππ= + + + + − + ( 1) 2 nn n ππ= − + ( 1)4 4 n n Sa nn π ππ= − = − + 2 1, *n k k N= − ∈ 2sin sin[(2 2) ] sin[2( 1) ] sin4 4 4 2na k k π π ππ π= − + = − + = = 2 , *n k k N= ∈ 3 2sin sin[(2 1) ] sin(2 ) sin( )4 4 4 2na k k π π ππ π π= − + = − + = − = − 2 2( ) 3 6 9 3( 2 3) 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + − ( , 3)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增；---------------------------------------5 分 所以 的递增区间是 、 ；递减区间是 -----------------6 分 （2）由（1）知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 所以 -----------------------------------8 分 又因为 ----------------------------------------------------------10 分 所以 的最大值是 ，最小值是 --------------------------------------------12 分 22．（12 分） 解：（1） ， ----------------------------------------------2 分 所以切线方程为 ，即 -------------------------------------4 分 （2） 当 时， ，不等式恒成立， ； ---------------------------------------5 分 当 时， ，所以 设 ， ------------------------9 分 时， ， 为减函数 时， ， 为增函数 ----------------------------------11 分 所以 ， 综上： ， 所以 的最大值是 . ------------------------------------------12 分 （2）另解： 当 时，因为 ，所以不等式恒成立 --------------------------------------6 分 当 时， ----------8 分 ， ， 在区间 上单调递减 ，不等式成立 ------------------------------9 分 ( 3,1)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)− ( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]− ( ) ( 3) 28, ( ) (1) 4f x f f x f= − = = = −极大 极小 ( 4) 21, (4) 77f f− = = ( )f x 77 4− 2( ) lnf x x x= − 1( ) 2f x xx ′ = − (1) 1, (1) 1k f f′= = − = − 1 ( 1)y x+ = − − 0x y+ = 2( ) 0, ln 0f x a x x≤ − ≤ 1x = 1 0− ≤ a R∈ 1x > ln 0x > 2 ln xa x ≤ 2 ( ) ln xg x x = 2 2 12 (ln )2 ln 2( ) (ln ) (ln ) x xx x xg x x x −−′ = = (1, )x e∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( , )x e∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x min( ) ( ) 2g x g e e= = 2a e≤ 2a e≤ a 2e 2( ) ln 0f x a x x= − ≤ 0a ≤ ln 0x ≥ 0a > 2 2( )( )2( ) 2 22( ) 2 a aa x xxaf x xx x x + −− ′ = − = − = − 0 2a< ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x [1, )+∞ ( ) (1) 1 0f x f≤ = − (1, )2 ax ∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )2 ax ∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x max( ) ( ) ln2 2 2 a a af x f a= = − ln 02 2 a aa − ≤ 2a e≤ 2a e≤ a 2e