数学试题(理科)
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，只有一
项是最符合题目要求的．
1.设 i 为虚数单位，则 ＝
（A）-i （B） i （C）-1 （D）1
2.已知集合 ， ，则 ＝
（A） （B） （C） （D）
3.设 a＝log36，b＝log310，c＝e-2，则
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c
4.在 的展开式中的常数项为
（A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20
5.2019 年 11 月 2 日，成都市青羊区开展了 5 种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服
务活动，其中有 3 种活动在上午开展，2 种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别
安排在上、下午的概率为
（A） （B） （C） （D）
6.已知 是双曲线 ： 的左焦点，则以 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
7.设 ，x∈R,则
（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增
（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增
8.设椭圆 ，a＞b＞0，点 A，B 为 C 的左，右顶点，点 P 为 C 上一点，若∠APB
＝120°，则 C 的离心率的最小值为
（A） （B） （C） （D）
9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成 300 的平面，则所得截面的面积与球的表面
积的比为
（A） （B） （C） （D）
10.若函数 f(x)=ex-ax 与 x 轴相切，则实数 a＝
（A） （B） （C） （D）
6i
{ }3 0A x x= − < < 2 1 11
xB x x
− = ≥ + A B
( ]3, 1− − ( )3, 1− − ( )1,0− [ )2,0−
61( )x x
−
1
4
3
10
1
2
3
5
F C
2 2
14 3
x y− = F
2 2( 7) 3x y− + = 2 2( 7) 3x y+ + =
2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4x y+ + =
1 1( ) 4 1 2xf x = −+
2 2
2 2: 1x yC a b
+ =
6
3
3
2
2
3
1
2
15
256
45
256
15
64
45
64
1− 0 1 e11.设 ， ，且 ，则
（A） （B） （C） （D）
12.如图，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终
边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将△AMP 的面积表示为 的函数 ，
则 在 上的图象大致为
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．
13. 已知向量 , , ∥ ,则 t＝ .
14.函数 ， 的最小值为 .
15.在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=1200,CD=3AB=3BC= ,则 AD 的长度为 .
16.在四面体 ABCD 中，DA⊥底面 ，侧面 ABD⊥侧面 BCD，BD=BC=2,，三个侧面△
DAB、△DBC、△DCA 的面积的平方和为 ，则∠ADB＝ .
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分.
17．(12 分)设数列 的前 项和为 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18. (12 分)第 32 届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称 2020 年
东京奥运会.2013 年 9 月 7 日雅克·罗格宣布 2020 年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功
(0, )2
α π∈ (0, )2
β π∈ 1 cos2 1 cos
sin 2 sin
α β
α β
− +=
2α β− =π 2 2
α β π− = 2α β+ =π 2 2
α β π+ =
O A P x OA
OP P OA M x ( )f x
( )y f x= (0, )π
(2,3)AB = (1, -3)BC t= AB AC
2tan 2tan 3y x x= − + ,3 3x
π π ∈ −
3 3
ABC
8
{ }na n 2
n
1 ( )2S n n= + *( N )n∈
{ }na
2 na
n nb a= ⋅ { }nb n nT
M AO
P
πO
y
xπO
y
x
πO
y
x πO
y
x后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第 5 个至
少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个.2018 年 7 月 22 日，东京奥组委公布 2020
年东京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为 Miraitowa，寓意未来和永恒.现从甲，乙两所
学校各随机抽取了 名高三的学生参加了奥运知识测评（满分 分），其中成绩不低于 分
的记为“优秀”.根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如下（左图为甲校
的，右图为乙校的）：
（1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数）
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他
所在学校有关：
非优秀 优秀 合计
甲校
乙校
合计
附：
P(K2>k)
19．(12 分)图 1 是由△ABC,△BCD 和△ABE 组成的一个平面图形，其中 AB＝BC＝CD＝2，BE
＝ ，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿 ， 折起，使得 与 重合，连接
，如图 2.
（1）证明：图 2 中 面 ；
（2）在图 2 中, ,N 分别为 , 的中点，求面 与面 所成的二面角的正弦值.
100 70 50
得分
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
2 2 AB BC BD BE
AD
CD ⊥ ABC
M AD BD CMN CAB (图一) （图二）
20. (12 分)已知点 ，点 为直线 上一动点, 的垂直平分线与过 且垂直于 的
直线交于点 ,设 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的轨迹方程；
（2）设 A,B 为曲线 上不同的两点, A,B,F 三点不共线， ,求△FAB 的面积的最
大值.
21. (12 分)已知函数 （ ）．
（1）证明： ，并说明等号成立的条件；
（2）设 ，是否存在实数 ，使得 在其定义域恒成立？若存在，
求出所有满足条件的实数 的集合；若不存在，说明理由；
（3）设 （ ）， 表示不超过 的最大整数，试求 ．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直线坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 .
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标.
(1,0)F Q : 1l x = − FQ Q l
P P C
C
C | | + | | =6AF BF
( ) ln(1 )f x x= + 1x > −
( )f x x≤
( ) ( 1) ( )g x x f x ax= + − a ( ) 0g x ≥
a
1 1 11 2 3nT n
= + + + + *Nn∈ [ ]x x [ ( )]nT f n−
22
2
x t
y t
=
=
t
πsin 2 24
ρ θ − =
PQ23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
设 ， 且 ．
（1）证明： ；
（2）求 的最大值．
0a > 0b > 2 2 4a b+ =
6 6 16a b+ ≥
ab a b− −数学试题(理科)详细解答
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，只有一
项是最符合题目要求的．
1. 设 i 为虚数单位，则 i6＝
（A）-i （B） i （C）-1 （D）1
答案：C
【解析】i4=1,i6=i2=-1
故选 C
2.已知集合 ， ，则 =
（A） （B） （C） （D）
答案：B
【解析】 或 ∴A∩B=(-3,-1)
故选 B
3.设 a＝log36，b＝log310，c＝e-2，则
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c
答案：A
【解析】 在定义域上单调递增 ∴1＜a＜b 又∵c＜1 ∴b＞a＞c
故选 A
4.在 的展开式中的常数项为
（A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20
答案：D
【解析】 ∴当 r＝3 时，T3+1＝-20
故选 D
5.2019 年 11 月 2 日，成都市青羊区开展了 5 种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服
务活动，其中有 3 种活动在上午开展，2 种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动，则分别
安排在上、下午的概率为
（A） （B） （C） （D）
答案：D
【解析】由题意知：小王一共满足的情况为 种情况，分别在上下午的有 6 种情况，故
概率为
故选 D
{ }3 0A x x= − < < 2 1 11
xB x x
− = ≥ + A B
( ]3, 1− − ( )3, 1− − ( )1,0− [ )2,0−
2 1 11
x
x
− ≥+
2 01
x
x
−∴ ≥+ 2x∴ ≥ 1x < −
3logy x=
61( )x x
−
6 6 2
1 6 6
1( ) ( 1)r r r r r r
rT C x C xx
− −
+ = − = −
1
4
3
10
1
2
3
5
2
5 =10C
3
56.已知 是双曲线 ： 的左焦点，则以 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
答案：B
【解析】因为焦点到渐近线的距离为 b＝ ，以 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
故选 B
7.设 ，x∈R,则
（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增
（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增
答案：C
【解析】∵ ， ，∴f(x)为奇函数
又∵y=4x+1 单调递增，∴f(x)在（0，+∞）上单调递减
故选 C
8.设椭圆 ，a＞b＞0，点 A,B 为 C 的左，右顶点，点 P 为 C 上一点，若∠APB＝
120°，则 C 的离心率的最小值为
（A） （B） （C） （D）
答案：A
【解析】设椭圆的上顶点为 M ,则∠AMP≥120°，故 ，
∴ ，∴
故选 A
9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成 300 的平面，则所得截面的面积与球的表面
积的比为
（A） （B） （C） （D）
答案：C
【解析】设球的半径为 r,∵球心到平面的距离为球的半径的 ，
∴截面的半径为 ，∴截面的面积为 ∵球的表面积为
∴所得截面的面积与球的表面积的比为
故选 C
10.若函数 f(x)=ex-ax 与 x 轴相切，则实数 a＝
（A） （B） （C） （D）
F C
2 2
14 3
x y− = F
2 2( 7) 3x y− + = 2 2( 7) 3x y+ + =
2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4x y+ + =
3 F
2 2( 7) 3x y+ + =
1 1( ) 4 1 2xf x = −+
4 1( ) 2 4 1
x
xf x
−= +（ ）
4 1 1 4( ) ( )2 4 1 2 4 1
x x
x xf x f x
−
−
− −− = = = −+ +（ ） （ ）
2 2
2 2: 1x yC a b
+ =
6
3
3
2
2
3
1
2
1
3
b
a
≤
2 2 2 2
2
2 2 2
21 3
c a b be a a a
−= = = − ≥ 6
3e ≥
15
256
45
256
15
64
45
64
1
4 r
15
4 r 215 π16 r 24πr
15
64
1− 0 1 e答案：D
【解析】设切点为（x0,0）， 则 ，所以 ，故 x0=1,a=e
故选 D
11.设 ， ，且 ，则
（A） （B） （C） （D）
答案：C
【解析】 ， 且 ，
，∴
故选 C
12.如图，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终
边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将△AMP 的面积表示为 的函数 ，
则 在 上的图象大致为
（A） （B）
（C） （D）
答案：A
【解析】
∵当 y＝0 时，sinx=0 或 cosx=1
∴x=0 或 π，故不选 D
又因为 ，所以当 x= 时
故选 A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．
13. 已知向量 , , ∥ ,则 t＝ .
答案：
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
′ =
=
0
0
0
0
0
x
x
e a
e ax
− = − =
(0, )2
α π∈ (0, )2
β π∈ 1 cos2 1 cos
sin 2 sin
α β
α β
− +=
2α β− = π 2 2
α β π− = 2α β+ = π 2 2
α β π+ =
21 cos2 2sin tansin 2 2sin cos
α α αα α α
− = =
22cos1 cos 12=sin 2sin cos tan2 2 2
β
β
β β ββ
+ = (0, )2
α π∈
(0, )2
β π∈
2 2
βα π+ =
O A P x OA
OP P OA M x ( )f x
( )y f x= (0, )π
1 sin (1 cos )2y x x= −
2 21 cos cos sin2y x x x′ = − +（ ）
2
π
1 0y′ = >
(2,3)AB = (3, )AC t= AB AC
9
2
M AO
P
πO
y
xπO
y
x
πO
y
x πO
y
x【解析】由 ∥ 得， 故
14.函数 ， 的最小值为 .
答案：2
【解析】令 则 ，y=t2-2t+3,t0=1, 故当 t=1 时 ymin=2
15.在四边形 ABCD 中, , ，则 的长度为 .
答案：6
【解析】在△ABC 中，AB=BC,∠ABC=120°，故 AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°
在△ADC 中，AC=3, ，故 AD=6
16.在四面体 中， 底面 ，侧面 侧面 ， ，三个侧面
、 、 的面积的平方和为 ，则 .
答案：
【解析】由 底面 知侧面 底面 ，结合侧面 侧面 有 平
面 .故四面体三个侧面均为直角三角形.设 （ ），则 ，
， ， . 于 是 三 个 侧 面 的 面 积 的 平 方 和 是
，解得 ，所以 .
三、解答题：
17．(12 分)设数列 的前 项和为 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
17．答案：（1）an=n,(2) Tn=(n-1)2n+1+2
【解析】（1）∵
∴当 n=1 时，a1=S1=1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1＝n∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
综上 an=n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由（1）知：an=n，故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
∴
∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
AB AC
2 9 0t − = 9
2t =
2tan 2tan 3y x x= − + ,3 3x
π π ∈ −
tant x= [ 3, 3]t ∈ −
120ABC BCD∠ = ∠ = 3 3 3 3CD AB BC= = = AD
3 3CD =
ABCD DA ⊥ ABC ABD ⊥ BCD 2BD BC= =
DAB DBC DCA 8 ADB∠ =
π
4
DA ⊥ ABC DAB ⊥ ABC ABD ⊥ BCD BC ⊥
DAB ADB α∠ = 0 2
πα< < 2cosAD α=
2sinAB α= 2 2DC = 22 1 sinAC α= +
2 2 2 24cos (1 sin ) 4 4sin cos 8α α α α+ + + = 2 1cos 2
α = π
4
α =
{ }na n 2
n
1 ( )2S n n= + *( N )n∈
{ }na
2 na
n nb a= ⋅ { }nb n nT
2
n
1 ( )2S n n= +
n 2nb n= ⋅
1 2
n 1 2 ... 1 2 2 2 ... 2n
nT b b b n= + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅
2 3 12 1 2 2 2 ... 2n
nT n += ⋅ + ⋅ + + ⋅∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∴Tn=(n-1)2n+1+2 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18. 第 32 届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称 2020 年东京奥
运会.2013 年 9 月 7 日雅克·罗格宣布 2020 年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为
继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第 5 个至少两次举
办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。2018 年 7 月 22 日，东京奥组委公布 2020 年东
京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为 Miraitowa，寓意未来和永恒.甲乙两所学校各随机
抽取了 名高三的学生参加了奥运知识测评（满分 分），其中成绩不低于 分的记为“优
秀”。根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如下（左图为甲校，右图为乙
校）：
（1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数）
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他
所在学校有关：
非优秀 优秀 合计
甲校
乙校
合计
附：
2 3 1 1 11-2 1 2+2 2 ... 2 - 2 =2-2 - 2n n n n
nT n n+ + += ⋅ + + + ⋅ ⋅（ ）
100 70 50
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2( )P K k> 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828答案：（1）52.35,(2) 有 的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关.
【解析】（1）在乙校学生测试成绩频率分布直方图中，成绩低于 分直方图面积为
；成绩低于 分直方图面积为 。
因此乙校学生测试成绩的中位数的估计值是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）
非优秀 优秀 合计
甲校 62 38 100
乙校 34 66 100
合计 96 104 200
。由于 ，因此有 的把握认为学生测试
成绩是否优秀和他所在学校有关∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19．(12 分)图 1 是由△ABC,△BCD 和△ABE 组成的一个平面图形，其中 AB＝BC＝CD＝2，BE
＝ ，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿 ， 折起，使得 与 重合，连接
，如图 2.
（1）证明：在图 2 中， 面 ；
（2）在图 2 中, ,N 分别为 , 的中点，求面 与面 所成的二面角的正弦值.
(图一) （图二）
答案：（1）略,(2)
【解析】（1）在图 2 中，∵AB⊥BD,AB⊥BC
∴AB⊥BCD ∴AB⊥CD 又∵CD⊥BC ∴CD⊥ABC∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
(2)以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 垂直 ABC 的直线为 z 轴建立坐标系，则
A(0,2,0)，B（0,0,0）C(2,0,0),D（2,0,0）M（1,1,1），N(1,0,1)
∴ ,
设平面 CMN 的一个法向量为 ，则
99%
50
(0.004 0.020 0.044) 5 0.34 0.5+ + × = < 55 0.34 0.068 5 0.68 0.5+ × = >
0.5 0.3450 52.350.068
−+ ≈
( )2
2 200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104K
× × − ×= ≈× × × 15.705 6.635> 99%
2 2 AB BC BD BE
AD
CD ⊥ ABC
M AD BD CMN CAB
2
2
( 1,1,1)CM = − ( 1,0,1)CN = −
( , , )n x y z=∴
不妨令 x=1,则
又因为平面 ABC 的法向量 ，所以
故面 与面 所成的二面角的正弦值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20.已知点 ，点 为直线 上一动点, 的垂直平分线与过 且垂直于 的直线交
于点 ,设 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的轨迹方程；
（2）设 A,B 为曲线 上不同的两点, A,B,F 三点不共线， ,求△FAB 的面积的
最大值.
答案：（1） ,(2) ;
【解析】（1）由题意， 到 的距离等于 到 的距离，因此点 的轨迹是以 为焦点， 为
准线的抛物线。因此 的轨迹方程是 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）设直线 的方程为 ，则 与 轴交于点 （ ）.
代入抛物线 ，得
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
设 ， ，则由题意，有
，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
因此 ，即 ， ，且 ，
因此 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
又 ，
且 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
记 ， 且 ，则
，
因此 在 与 单调递增，在 单调递减.
而 ，故 .
故△FAB 的面积的最大值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
0
0
x y z
x z
− + + =
− + = 0
z x
y
=
=
(1,0,1)n =
(0,0,1)n =
1
2cos , 2n n< >=
CMN CAB 2
2
(1,0)F Q : 1l x = − FQ Q l
P P C
C
C | | + | | =10AF BF
2 4y x= 2 2
P F P l P F l
P 2 4y x=
AB x my n= + AB x ( ,0)n 1n ≠
2 4y x= 2 4 4 0y my n− − =
216 16 0m n∆ = + >
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
1 2| | | | 1 1 6AF BF x x+ = + + + = 1 2 4x x+ =
2
1 2( ) 2 4 2 4m y y n m n+ + = + = 2 2 02
nm
−= ≥ 2n ≤ 8(2 ) 16 16 8 0n n n− + = + >
2 2n− < ≤
2 2
1 2
1 1 1| 1| | | | 1| 16 16 | 1| 16 8 2 ( 1) ( 2)2 2 2FABS n y y n m n n n n n= − ⋅ − = − + = − + = ⋅ − +
2 2n− < ≤ 1n ≠
2( ) ( 1) ( 2)f n n n= − + 2 2n− < ≤ 1n ≠
2( ) 2( 1)( 2) ( 1) 3( 1)( 1)f n n n n n n′ = − + + − = − +
( )f n ( 2, 1)− − (1,2) ( 1,1)−
( 1) (2) 4f f− = = max( ) 2 2f n =
2 221.已知函数 （ ）．
（1）证明： ，并说明等号成立的条件；
（2）设 ，是否存在实数 ，使得 在其定义域恒成立？若存在，
求出所有满足条件的实数 的集合；若不存在，说明理由；
（3）设 （ ）， 表示不超过 的最大整数，试求 ．
答案：（1）略,(2) ，（3）0.
【解析】（1）令 ，则 ．因此 在
上单调递增，在 上单调递减．因此 ，所以 ，当且仅当
时等号成立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
（2）由题意， ，于是可知 在 上单调递减，在
上单调递增．于是 ．只需
．由（1）可知 ，即 ，由此可知只能是 ，否则
不符合题意．因此所求实数 的集合是 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（3）由（1），取 ，有 ，
因此 ，即 ．
由（2），(1+x)ln(1+x) ，当且仅当 时等号成立．
因此当 时， ．取 ，有 ．
因此 ，整理得
，即 ．
从而 ，因此 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 .
( ) ln(1 )f x x= + 1x > −
( )f x x≤
( ) ( 1) ( )g x x f x ax= + − a ( ) 0g x ≥
a
1 1 11 2 3nT n
= + + + + *Nn∈ [ ]x x [ ( )]nT f n−
{1}
( ) ( ) ln(1 )x f x x x xϕ = − = + − 1( ) 11 1
xx x x
ϕ′ = − = −+ + ( )xϕ ( 1,0)−
(0, )+∞ ( ) (0) 0xϕ ϕ≤ = ln(1 )x x+ ≤ 0x =
( ) ln( 1) 1g x x a′ = + + − ( )g x 1( 1, 1)ae −− − 1( 1, )ae − − +∞
1 1 1 1
min( ) ( 1) ( 1) ( 1)a a a ag x g e a e a e a e− − − −= − = − − − = −
1
min( ) 0ag x a e −= − ≥ ln 1a a≤ − 1aa e −≤ 1a = min( ) 0g x <
a {1}
1x n
= 1 1 1ln(1 ) ln n
n n n
+> + =
1 1 1 2 3 11 ln ln ln ln( 1)2 3 1 2
n nn n
++ + + + > + + + = + ( ) 0nT f n− >
0x− ≥ 0x =
0x > ln(1 ) 1
xx x
+ > +
1x n
= 1 1ln(1 )1n n
< ++
1 1 1 2 3 1ln ln ln ln( 1)2 3 1 1 2
n nn n
++ + + < + + + = ++
1 1 1 11 ln( 1) 1 ln( 1) 12 3 1n nn n
+ + + + < + + − < + ++ ( ) 1nT f n− <
0 ( ) 1nT f n< − < [ ( )] 0nT f n− =
22
2
x t
y t
=
=
t
πsin 2 24
ρ θ − = (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标.
答案：（1） , (2) 的最小值为 ，此时 .
【解析】（1）曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数)
将 代入得： ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
由曲线 C2 的极坐标方程为 得
∴ ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）设 ，则 P 到 C2 的距离为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
故当 时， 的最小值为 ，此时 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
设 ， 且 ．
（1）证明： ；
（2）求 的最大值．
答案：（1）略 (2) .
【证明】：
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）令 a=2cos ,b=2sin , ，则
t=a+b=2cos + 2sin
故 ，
又∵ ， ，对称轴为 t0=1
∴当 时，ymax= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
PQ
2
1 2C y x=： 2 : 4C y x− = PQ 7 2
4
1( ,1)2P
22
2
x t
y t
=
=
t
2
yt =
2
22( )2 2
y yx = = 2
1 2C y x=：
πsin 2 24
ρ θ − =
2 2sin cos ) 2 22 2
ρ θ θ− =（
sin cos ) 4ρ θ θ− =（ 2 : 4C y x− =
2(2 ,2 )P t t
2
22 2 4
2( 2)
2
t t
t t
− −
= − +
1
2t = PQ 7 2
4
1( ,1)2P
0a > 0b > 2 2 4a b+ =
6 6 16a b+ ≥
ab a b− −
2 2 2−
6 6 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2= )( ) )( ) 3 ) 64 12a b a b a a b b a b a b a b a b+ + − + = + + − = − （ （ （
2 2
6 6 2+ 64 12( ) 162
a ba b
+∴ − =≥
θ θ (0, )2
πθ ∈
θ θ 2 2sin( ) (2,2 2]4
πθ= + ∈
2
2 2( ) 14sin cos 2((sin cos ) 1) 2 22 2
a bab tθ θ θ θ += = + − = − = −
21= 22ab a b t t− − − − (2,2 2]t ∈
21= 22y t t− − (2,2 2]t ∈
=2 2t 2 2 2−
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