十堰市 2018~2019 学年度下学期期末调研考试
高二理科数学（2019 年 7 月）
本试题共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3.非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区城内。答在试
题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.复数 的共扼复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据虚数单位 的性质化简复数 z，然后再求它的共轭复数.
【详解】 ， ．故选 A.
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养.
2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为 0.3，投中 2 分球的概率为 0.4，投中 3 分球的概率
为 0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（）
A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用期望的公式求解.
( )9 1 2z i i= − −
2 i+ 2 i− 2 i− + 2 i− −
i
( ) ( )9 1 2 1 2 2z i i i i i= − − = − − = − ∴ 2z i= +【详解】由已知得 .
故选：C
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水
平.
3.如图所示，阴影部分的面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用定积分的几何意义写出阴影部分的面积的表达式得解.
【 详 解 】 由 定 积 分 的 几 何 意 义 及 数 形 结 合 可 知 阴 影 部 分 的 面 积 为
.
故选：D
【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结
合分析能力.
4.下列曲线中，在 处切线的倾斜角为 的是 （ ）
A. B.
0 0.3 2 0.4 3 0.3 1.7EX = × + × + × =
( )4
1
f x dx−∫ ( )4
1
f x dx−
−∫
( ) ( )3 4
1 3
f x dx f x dx−
−∫ ∫ ( ) ( )4 3
3 1
f x dx f x dx−
−∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )4 3 4 3
3 1 3 1
+ = + =S S S f x dx f x dx f x dx f x dx− −
= − −∫ ∫ ∫ ∫下上 （ ）
1x = 3
4
π
2 3y x x
= − lny x x=C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】在 x=1 处切线的倾斜角为 ,即有切线的斜率为 tan =−1.
对于 A, 的导数为 ，可得在 x=1 处切线的斜率为 5；
对于 B,y=xlnx 的导数为 y′=1+lnx，可得在 x=1 处切线的斜率为 1；
对于 C, 的导数为 ，可得在 x=1 处切线的斜率为 ；
对于 D,y=x3−2x2 的导数为 y′=3x2−4x，可得在 x=1 处切线的斜率为 3−4=−1.
本题选择 D 选项.
5.将 A，B，C，D，E，F 这 6 个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足 A，
B，C 三个字母连在一起，且 B 在 A 与 C 之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将 A，B，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.
【详解】由捆绑法可得所求概率为 .
故答案为 C
【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.
6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为 ， ， ， ，只有通过前一
关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，
则该选手能进入第四关的概率为（）
( )y sin xπ= 3 22y x x= −
3
4
π 3
4
π
2 3y x x
= − 2
32y x x
′ = +
sin( )y xπ= cos( )y xπ π′ = cosπ π π= −
1
12
1
5
1
15
2
15
2 4
2 4
6
6
A A 1
A 15P = =
5
6
4
5
3
5
1
2A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率.
【详解】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以 ,
第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，
所以 .
所以该选手能进入第四关的概率为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平和分析推理能力.
7. 的计算结果精确到个位的近似值为（）
A. 106 B. 107 C. 108 D. 109
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得 ，再利用二项式定理求解即可.
【详解】∵ ，
∴ .
故选：B
【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和
分析推理能力.
【
7
25
2
5
12
25
14
25
1
5 4 3 2
6 5 5 5P = × × =
1
5 4 3 3 41 )6 5 5 5 25P = × × − × =（
5 4 3 5 4 3 3 1416 5 5 6 5 5 5 25
× × + × × − × =
71.95
( )771.95 2 0.05= −
( )77 7 1 6 2 5 2
7 71.95 2 0.05 2 2 0.05 2 0.05C C= − = − × × + × × −⋅⋅⋅ 107.28≈
71.95 107≈8.若 ，则 ，
.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为 1000，
方差为 400 的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）
A. 这只白炽灯的寿命在 980 小时到 1040 小时之间的概率为 0.8186
B. 这只白炽灯的寿命在 600 小时到 1800 小时之间的概率为 0.8186
C. 这只白炽灯的寿命在 980 小时到 1040 小时之间的概率为 0.9545
D. 这只白炽灯的寿命在 600 小时到 1800 小时之间的概率为 0.9545
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 ， ，再求出 和 ，即得这只
白炽灯的寿命在 980 小时到 1040 小时之间的概率.
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
所以 ，
，
∴ .
故选：A
【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.函数 的最小值为（）
A. -1 B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法，令 ，可得函数 ，求导研究其最小值。
( )2,X N µ σ ( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < < + =
( )2 2 0.9545P Xµ σ µ σ− < < + =
1000µ = 20σ = (980 1020)P X< < (1020 1040)P X< <
1000µ = 2 400σ = 1000µ = 20σ =
( )(980 1020)= =0.6827P X P Xµ σ µ σ< < − < < +
0.9545 0.6827(1020 1040)= 2P X
−< <
( )980 1040P X< < 0.9545 0.68270.6827 0.81862
−= + =
( ) ( )21 cos cosf x x x= +
4
27
− 1
3
−
( )cos 1 1t x t= − ≤ ≤ ( ) ( )21g t t t= +【详解】令 ， ， ，当
时， ；当 时， ，故 .
故选:B.
【点睛】本题考查复合函数的最值问题，可以通过换元法，将复合函数简单化，注意换元后
要关注新元的范围。
10.设 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右顶点， 为椭圆短轴上的一个顶点，当
时，该椭圆的离心率为 ，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）
A. 设 为双曲线的左焦点， 为双曲线的右顶点， 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
时，该双曲线的离心率为 2
B. 设 为双曲线的左焦点， 为双曲线的右顶点， 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
时，该双曲线的离心率为 4
C. 设 为双曲线的左焦点， 为双曲线的右顶点， 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
时，该双曲线的离心率为 2
D. 设 为双曲线的左焦点， 为双曲线的右顶点， 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
时，该双曲线的离心率为 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先排除 A,B,再根据 求出双曲线的离心率得解.
【详解】对于双曲线而言， ，排除 A，B.
( )cos 1 1t x t= − ≤ ≤ ( ) ( )21g t t t= + ( ) ( )( )' 1 1 3g t t t= + + 11 3t− ≤ ≤ −
( )' 0g t ≤ 1 13 t− < ≤ ( )' 0g t > ( ) ( )min min
1 4
3 27f x g t g = = − = −
F A B
7
2AB FB= 1
2
F A B
7
2AB FB=
F A B
7
2AB FB=
F A B
7
2FB AB=
F A B
7
2FB AB=
7
2FB AB=
FB AB>由 ，得 ，
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算，考查类比推理，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.观察下列各式 ， ， ，
， ，…，则 的十位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过观察十位数的数字特征可知周期为 ，根据周期计算可得结果.
【详解】记 的十位数为
经观察易知 ， ， ， ， ， ， ……
可知 的周期为
则 的十位数为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用数列的周期性求解数列中的项，关键是能够通过数字变化规律发现数
列的周期性.
12.已知函数 ，函数 有 3 个不同的零点 ， ，
，且 ，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
7
2FB AB=
2
2 2 2 2 2 2
2
7 3 4 22 4
cb c c c a c e ea
+ = ⇒ − = ⇒ = = ⇒ =
011 248 248× ＝ 11 248 2728× ＝ 211 248 30008× ＝
311 248 330088× ＝ 411 248 3630968× ＝ 9911 248×
2 4 6 8
5
11 248n × na
0 4a = 1 2a = 2 0a = 3 8a = 4 6a = 5 4a = 6 2a =
na 5
9911 248× 99 4 6a a= =
C
( ) 2 2 , 0
ln , 0
x x xf x
x x
− − ≤= >
( ) ( )g x f x m= − 1x 2x
3x 1 2 3x x x< < 1 2 32x x x−
[ ]1,2ln 2 2− − ( ]2 ,2ln 2 2e− −
[ )1,2 e− − ( ]1 , 1e− −【解析】
【分析】
先作出函数的图像，由图可知 ，且
，再求出 ，构造函数 (1≤x＜
e）,利用导数求函数的值域得解.
【详解】当 时， 的最大值为 1，则 ， .
由图可知 ，
且 ， ，
则 .
令 ， ，
令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，又 ， ，
所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性和值
域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 1 32 1 0 1x x x e− ≤ < − < ≤ < ≤ < 2 2
1 1 2 22 2x x x x− − = − −
3ln x= ，1 2 2x x+ = − 1 2 32x x x− 3 32ln x x= − ( ) 2lnh x x x= −
0x ≤ ( )f x 3ln 1x < 3x e<
2 1 32 1 0 1x x x e− ≤ < − < ≤ < ≤ <
2 2
1 1 2 2 32 2 lnx x x x x− − = − − = 1 2 2x x+ = −
( ) ( )2
1 2 3 1 1 3 1 1 32 2 2 2 2x x x x x x x x x− = − − − = − − − 3 32ln x x= −
( ) ( )2ln 1h x x x x e= − ≤ < ( ) 2' xh x x
−=
( )' 0h x = 2x =
( )h x [ )1,2 ( )2,e
( ) ( )max 2 2ln 2 2h x h= = − ( )1 1h = − ( ) 2h e e= −
( ) [ ]1,2ln 2 2h x ∈ − −13.已知随机变量 ，则 ______.
【答案】9
【解析】
【分析】
直接利用二项分布的方差公式求解即可.
【详解】 .
故答案 ：9
【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14. 的展开式中的二项式系数最大的项的系数为______.
【答案】-160
【解析】
【分析】
利用二项式定理的展开式二项式系数的性质求解即可.
【详解】因为 的展开式有 7 项，
所以第 4 项的二项式系数最大，
所以 的展开式中的二项式系数最大的项为 .
故答案为：-160
【点睛】本题主要考查二项式展开式的二项式系数和系数的求法，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平和计算能力.
15.某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁 4 个小朋友分发 5 本不同的课外书，则每个小朋友至
少分得 1 本书的不同分法数为______.
【答案】240
【解析】
【分析】
先给其中一个小朋友 2 本，再均分剩余 3 本,列出式子求解即可.
【详解】先给其中一个小朋友 2 本，再均分剩余 3 本，
为
( )100,0.1X B DX =
100 0.1 1 0.1) 9DX = × × − =（
( )62 x−
( )62 x−
( )62 x− ( )33 3 3
6 2 160C x x× − = −故所求分法数为 .
故答案为：240
【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.定义域为 的函数 满足 ，且 对 恒成立，则
的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数 ，判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式得解.
【详解】构造函数 ，
则有 ，且 .
由 ，可知 ，
则 为增函数，
故 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
2 1 3
5 4 3 240C C A =
R ( )f x ( )3 6f − = ( ) 2' 1f x x> + x∈R
( ) 31 153f x x> +
( )3,− +∞
( ) ( ) 31
3F x f x x= −
( ) ( ) 31
3F x f x x= −
( ) ( ) ( )313 3 3 153F f− = − − − = ( ) ( ) 2' 'F x f x x= −
( ) 2' 1f x x> + ( )' 1 0F x > >
( )F x
( ) 31 153f x x> +
( ) ( )15 3F x F∴ > = −
3x∴ > −
( )3,− +∞每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在 上的值域．
【答案】(1) 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减. (2)
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，分别在 和 两种情况下讨论导函数的符号，从而得到
的单调性；（2）由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，可知
， ，求得最小值和最大值后即可得到函数值
域.
【详解】（1）由题意得：
①当 时， 时， ； 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
②当 时， 时， ； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减
综上所述： 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减
（2）当 时，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ，
( ) ( ) ( )2 0xf x k x e k= − ≠
( )f x
1k = ( )f x [ ]1,4−
0k > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ k 0< ( )f x
( ),1−∞ ( )1,+∞ 4,2e e −
0k > k 0< ( )f x
( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞
( ) ( )min 1f x f= ( ) ( ) ( ){ }max max 1 , 4f x f f= −
( ) ( ) ( )2 1x x xf x ke k x e k x e′ = + − = −
0k > ( ),1x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( ),1−∞ ( )1,+∞
k 0< ( ),1x∈ −∞ ( ) 0f x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ),1−∞ ( )1,+∞
0k > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ k 0< ( )f x
( ),1−∞ ( )1,+∞
1k = ( ) ( )2 xf x x e= −
( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞
∴ [ ]1,4x∈ − ( ) ( )min 1f x f e= = − ( ) ( ) ( ){ }max max 1 , 4f x f f= −又 ，
在 上的值域为：
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求
解函数在一段区间内的值域的问题；关键是能够通过对参数的讨论，得到导函数在不同情况
下的符号，从而得到函数的单调性.
18.《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.
节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手
经过名校最权威的脑力测试，120 分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是
否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各 100 名，然后对这 200 名学生进行脑力测试.
规定：分数不小于 120 分为“入围学生”，分数小于 120 分为“未入围学生”.已知男生入围 24
人，女生未入围 80 人.
（1）根据题意，填写下面的 列联表，并根据列联表判断是否有 以上的把握认为脑
力测试后是否为“入围学生”与性别有关；
性别 入围人数 未入围人数 总计
男生 24
女生 80
总计
（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取 11 名学生，然后再从这 11 名学生中抽取
3 名参加某期《最强大脑》，设抽到的 3 名学生中女生的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2 706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828.
( ) 31 0f e
− = − < ( ) 44 2 0f e= > ( ) ( ) 4
max 4 2f x f e∴ = =
( )f x∴ [ ]1,4− 4,2e e −
2 2× 90%
X X
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k【答案】（1）填表见解析，没有 以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别
有关.（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意填充 列联表，再利用独立性检验判断是否有 以上的把握认为脑力测
试后是否为“入围学生”与性别有关；（2）先求出 的可能取值为 0，1，2，3，再求出对
应的概率，即得 的分布列及数学期望.
【详解】解：（1）填写列联表如下：
性别 入围人数 未入围人数 总计
男生 24 76 100
女生 20 80 100
总计 44 156 200
因为 的观测值 ，
所以没有 以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.
（2）这 11 名学生中，被抽到的男生人数为 ，被抽到的女生人数为 ，
的可能取值为 0，1，2，3，
，
，
，
90%
2 2× 90%
X
X
2K
( )2200 24 80 76 20 200 2.706100 100 44 156 429k
× × − ×= = k ln 2 0.69≈
{ } [ )1 2,+∞ 3
20, e
( )f x a
( )f x 3 ,22
( ]2,3 ( ) ( )min 3 ln 2 3f x f= = −
ln ln 2 3k < −
( )f x ( )1,+∞
( ) 2' 1
xf x x
−= −由 ，得 ；由 ，得 .
因为 在 上是单调函数，所以 的取值范围为 ，
（2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
因为当 时， 恒成立，所以 ，
解得 ，即 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和恒成立问题，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.手机是人们必不可少的工具，极大地方便了人们的生活、工作、学习，现代社会的衣食住
行都离不开它.某调查机构调查了某地区各品牌手机的线下销售情况，将数据整理得如下表格：
品牌 其他
销售比
每台利润（元） 100 80 85 1000 70 200
该地区某商场岀售各种品牌手机，以各品牌手机的销售比作为各品牌手机的售出概率.
（1）此商场有一个优惠活动，每天抽取一个数字 （ ，且 ），规定若当天卖出的
第 台手机恰好是当天卖出的第一台 手机时，则此 手机可以打 5 折.为保证每天该活动的
中奖概率小于 0.05，求 的最小值；（ ， ）
（2）此商场中一个手机专卖店只出售 和 两种品牌的手机， ， 品牌手机的售出概率
( )' 0f x < 2x > ( )' 0f x > 1 2x< <
( )f x ( ), 1a a + a { } [ )1 2,+∞
( )f x 3 ,22
( ]2,3
( )3 ln 2 3f = − 3 1 3 3ln ln 22 2 2 2f = − = − −
( ) 3 33 2ln 2 2 0.7 1.5 02 2f f − = − < × − ln ln 2 3k < −
3
20 k e
< < k 3
20, e
A B C D E F
30% 25% 20% 10% 6% 1% 8%
n 2n ≥ n Z∈
n D D
n lg0.5 0.3≈ − lg0.9 0.046≈ −
A D A D之比为 ，若此专卖店一天中卖出 3 台手机，其中 手机 台，求 的分布列及此专卖店
当天所获利润的期望值.
【答案】（1）8（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）解不等式 即得 的最小值；（2）由题得 ，再求出其对应
的概率，即得 的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值.
【详解】解：（1）卖出一台 手机的概率 ，卖出一台其他手机的概率 ，
可得 ，即
所以 ，故 ，即 的最小值为 8.
（2）依题意可知 手机售出的概率 ， 手机售出的概率 ，
由题得 ,
所以 ， ，
， ，
故 的分布列为
0 1 2 3
所以利润的期望值为
（元）.
【点睛】本题主要考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，意在考查
学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
.
3:1 A X X
10.9 0.1 0.05n− × < n 0,1,2,3X =
X
D 0.1P = ' 0.9P =
10.9 0.1 0.05n− × < 10.9 0.5n− <
lg0.51 6.52lg0.9n − > ≈ 7.52n > n
A 1
3
4P = D 2
1
4P =
0,1,2,3X =
( ) 31 10 4 64P X = = =
( ) 2
1
3
3 1 91 4 4 64P X C = = × × =
( ) 2
2
3
3 1 272 4 4 64P X C = = × × =
( ) 33 273 4 64P X = = =
X
X
P
1
64
9
64
27
64
27
64
( )1 91000 3 1 100 2 100064 64
× × + × × + ×
( )27 27 624002 100 1 1000 3 100 97564 64 64
+ × × + × + × × = =21.已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）当 时，证明：
（i） ；
（ii）若 ，则 .
【答案】（1） （2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求曲线 在点 处的切线方程；（2）（ i）设函数
，再利用导数求 =0，
不 等 式 即 得 证 ； （ ii ） 设 函 数
，再证明 ，不等式即得证.
【详解】（1）解： ，则 ，
故所求切线方程为 ，即 .
（2）证明：（i）设函数 ，
则 .
当 时， ；当 时，
从而 ，
则 ，即 .
.
( ) 32f x x x= +
( )y f x= ( )1, 3− −
1x >
( ) 225 74f x x≥ −
1 29 1 29
2 2a
− − − +< < ( ) ( )2ln 1 3f x a x a x> + − +
7 4 0x y− + =
( )y f x= ( )1, 3− −
( ) ( ) ( )2 3 225 257 2 7 14 4g x f x x x x x x = − − = − + + >
( ) ( )min 2g x g=
( ) ( ) ( )2ln 1 3h x f x a x a x= − − − − ( )3 22 1x a x= + − −
2ln 3a x a+ − ( ) ( )1 0h x h> =
( ) 2' 6 1f x x= + ( )' 1 7f − =
( )3 7 1y x+ = + 7 4 0x y− + =
( ) ( ) ( )2 3 225 257 2 7 14 4g x f x x x x x x = − − = − + + >
( ) ( )( )1' 12 1 22g x x x= − −
1 2x< < ( )' 0g x < 2x > ( )' 0g x >
( ) ( )min 2 0g x g= =
( ) ( ) 225 7 04g x f x x = − − ≥
( ) 225 74f x x≥ −（ii）设函数 ，
.
设函数 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 对 恒成立，则 在 上单调递增，
从而 .
因为 ，且 的两根为 ，
所以 ，则 .
从而 对 恒成立，则 在 上单调递增，
所以 ，从而 .
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，考查函数的最值、单调
性的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
（二）选考题：共 10 分。请考生从第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程；
（2）若 与 相交于 ， 两点， ，求 .
【答案】（1）直线 的普通方程为 ，圆 的直角坐标方程为
（2）
( ) ( ) ( )2ln 1 3h x f x a x a x= − − − − ( )3 2 22 1 ln 3x a x a x a= + − − + −
( ) ( )3 2
2 2 6 1
' 6 1
x a x aah x x a x x
+ − −
= + − − =
( ) ( )3 26 1p x x a x a= + − − ( ) 2 2' 18 1p x x a= + −
1 29 1 29
2 2a
− − − +< < ( ) 2' 1 19 0p a= − >
( )' 0p x > ( )1,x∈ +∞ ( )p x ( )1,+∞
( ) ( ) 21 7p x p a a> = − − +
1 29 1 29
2 2a
− − − +< < 2 7 0a a− − + = 1 29
2
− ±
( ) 21 7 0p a a= − − + > ( ) 0p x >
( )' 0h x > ( )1,x∈ +∞ ( )h x ( )1,+∞
( ) ( )1 0h x h> = ( ) ( )2ln 1 3f x a x a x> + − +
xOy l
12 2
3
2
x t
y t
= − +
=
t
x C 4ρ =
l C
l C A B ( )2,0P − PA PB⋅
l 3 2 3 0x y− + = C 2 2 16x y+ =
12【解析】
【分析】
（1）线 的参数方程为 （ 为参数）消去参数 t 可得普通方程．曲线 C 的极坐
标方程为 ，利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（ 2 ） 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ） 代 入 方 程 可 得 ：
． ，即可求出答案．
【详解】解：（1）将直线 的参数方程消去参数 ，
得直线 的普通方程为 .
由 ，得 ，则圆 的直角坐标方程为 .
（2）将 代入 ，得 ，
则 ，
故 .
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线
相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
l
12 2
3
2
x t
y t
= − +
=
t
4ρ =
l
12 2
3
2
x t
y t
= − +
=
t 2 2 16x y+ =
2 2 12 0t t− − = 1 2PA PB t t⋅ = ⋅
l t
l 3 2 3 0x y− + =
4ρ = 2 2 16x y+ = C 2 2 16x y+ =
12 2
3
2
x t
y t
= − +
=
2 2 16x y+ = 2 2 12 0t t− − =
1 2 12t t = −
1 2 1 2 12PA PB t t t t⋅ = ⋅ = =
( ) ( )4 0f x x a x a= − + − ≠
1a = ( )f x x<
( ) 4 1f x a
≥ − a
( )3,5 ( ) [ ),0 1,−∞ +∞【解析】
【分析】
（1）把 代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；
（2）利用绝对值的三角不等式求出 的最小值，然后求解关于 的不等式即可.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，无解；当 时， 可得 ；当 时，
可得 ；故不等式 的解集为 ．
（2） ，
．
当 或 时，不等式显然成立；
当 时， ，则 ．
故 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此
类不等式的方法.
1a =
( )f x a
1a = ( )
5 2 , 1
1 4 3,1 4
2 5, 4
x x
f x x x x
x x
− ≤
= − + − = <
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