扶余一中 2018〜2019 学年度下学期期末考试
高二数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教版选修 2-2，选修 2-3，选修 4-4。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
分析：先化简复数 z,再看复数 z 在复平面内对应的点所在的象限.
详解：由题得 ，所以复数 z 在复平面内对应的点为（2,4），
故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水
平.(2) 复数 对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数
对应的点所在的象限.复数 和点（a,b）是一一对应的关系.
2.定积分 （ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用微积分基本定理求出即可。
( 1 3 )(1 )z i i= − + −
1 3 3 2 4z i i i= − + + + = +
( , )z a bi a b R= + ∈ z a bi= +
( ),a b∈R ( , )z a bi a b R= + ∈
( )
1
21
4 dx x x−
− =∫
1− 2
3
− 2−【详解】 .选 C.
【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数。
3.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为 0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而
乙通过的概率为
A. 0.28 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.16
【答案】B
【解析】
分析】
两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.
【详解】甲未通过的概率为 0.3，则甲未通过而乙通过的概率为 ．选 B.
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
4.三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为
A. 48 B. 72 C. 120 D. 144
【答案】D
【解析】
【分析】
女歌手不相邻，则先排男生，再对女生插空即可.
【详解】由插空法得 ．选 D.
【点睛】本题考查排列组合用插空法解决问题，属于基础题.
5.在 10 个篮球中有 6 个正品，4 个次品.从中抽取 4 个，则正品数比次品数少的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品两种情况，根据情况写出所有的组合数计算
【
( ) 11 3
2 2
1 1
24 d 2 3 3
xx x x x
− −
− = − = − ∫
0.3 0.4 0.12× =
3 3
3 4A A 144=
5
42
4
35
9
42
8
21即可.
【详解】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品这两种情况为 ，总数为 ，
所以概率为 ．选 A.
【点睛】本题考查概率问题，解题的关键是正确的求出所有可能的结果，属于基础题.
6.将曲线 按照伸缩变换 后得到的曲线方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由 可得： ，代入 化简即可求出答案.
【 详 解 】 由 伸 缩 变 换 ， 得 代 入 ， 得 ， 即
．选 B.
【点睛】本题考查坐标的伸缩变换公式，考查学生的转化能力，属于基础题.
7.某射击选手每次射击击中目标的概率是 0.8，这名选手在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标
的概率为
A. B.
C. D.
1 3 4
6 4 4C C C+ 4
10C
1 3 4
6 4 4
4
10
C C C 5
C 42
+ =
sin 3 4y x
π = −
' 3
1' 2
x x
y y
= =
' 2sin ' 4y x
π = −
1' sin '2 4y x
π = −
1' sin 9 '2 4y x
π = − ' 2sin 9 ' 4y x
π = −
' 3
1' 2
x x
y y
= =
1 ,3
2
x x
y y
=
= ′
′
sin 3 4y x
π = −
1 ,3
2
x x
y y
=
= ′
′ πsin 3 4y x = −
π2 sin 4y x ′ ′= −
1 πsin2 4y x ′ ′= −
8 8 2
10 0.8 0.2C × × 8 20.8 0.2×
2 8 2
10 0.2 0.8C × × 8 20.2 0.8×【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答
案.
【详解】设 为击中目标的次数，则 ，从而这名射手在 10 次射击中，恰有 8
次击中目标的概率为 ．选 A.
【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.
8.已知 ，则 除以 9 所得的余数是
A. 2 B. 3
C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据组合数的性质，将 化简为 ，再展开即可得出结
果.
【 详 解 】
，
所以除以 9 的余数为 7．选 D.
【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.
9.设函数 的极小值为 ，则下列判断正确的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
X ( )~ 10,0.8X B
( )10 88 8 8 8 2
10 10C 0.8 1 0.8 C 0.8 0.2−× × − = × ×
1 2 3 27
27 27 27 27S C C C C= + + + + S
1 2 3 27
27 27 27 27S C C C C= + + + + ( )99 1 1− −
( )91 2 3 27 27 9 9 0 8 1 8
27 27 27 27 9 9 9C C C C 2 1 8 1 9 1 1 9 C 9 C 9C 2S = + + + + = − = − = − − = − + + −
( ) ( )ln 2 1f x x x= − − a
1a = 0 ln 2a< <
ln 2a = ln 2 1a< ( )f x 3
2x = ( )f x
( )3 3 ln 2 1 12 2a f f = = − < =
3
23 eln 2 ln 4 ln2 4a − = − = 3 3e 2.7 16> >
ln 2 ln1 0a − > = ln 2 1a< ( ) ( )
0f xf x x
′ + >
( ) ( ) ( )2 2 1 3 3 1 0xf x x f x+ − − > x
( )1,+∞ ( )11, 1,5
− +∞
1 ,15
( ),1−∞
0x > ( ) ( )
0f xf x x
′ + > ( ) ( ) 0xf x f x′ + > ( ) ( )g x xf x=
( )0, ∞+ ( )g x ( )g x ( ),0−∞
( ) ( )2 3 1g x g x> −【详解】当 时，
令 ，则 在 上单调递增
为奇函数 为偶函数
则 在 上单调递减
等价于
可得： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数
的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将
函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 的图象在点 处的切线方程是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出 在 1 处的导数，再求出 在 1 处的函数值 ，然后用点斜式求出方程即
可.
【详解】 ，∴ 且 ，切线方程是 ，即
．
【点睛】本题考查利用导数求函数在点处 切线方程，属于基础题.
14.若 的展开式中常数项为 ，则展开式中 的系数为__________.
的
0x > ( ) ( )
0f xf x x
′ + > ( ) ( ) 0xf x f x′∴ + >
( ) ( )g x xf x= ( )g x ( )0, ∞+
( )f x ( ) ( ) ( ) ( )g x xf x xf x g x∴ − = − − = = ( )g x∴
( )g x ( ),0−∞
( ) ( ) ( )2 2 1 3 3 1 0xf x x f x∴ + − − > ( ) ( )2 3 1g x g x> −
2 3 1x x> − 1 15 x< <
C
( ) 1
xef x x
= +
( )( )1, 1f
e 4 e 0x y− + =
( )f x ( )f x ( )1f
( ) ( )2
e
1
xxf x
x
′ =
+ ( ) e1 4f ′ = ( ) e1 2f = ( )e e 12 4y x− = −
e 4 e 0x y− + =
61ax x
+ 160− 4x【答案】
【解析】
【分析】
首先求出 的展开式的通项公式，通过计算常数项求出 a 的值，再利用通项公式求
的系数.
【详解】 展开式的通项公式为 ，当 时，
常数项为 ，所以 ．当 时， ， 展开式
中 的系数为 ．
【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键
是求出二项式的通项，属于基础题.
15.在极坐标系中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的
交点，则圆 的极坐标方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，令 ，可以求出圆 的圆心坐标，又因为圆 经过点 ，则圆的半
径为 C，P 两点间的距离，利用极坐标公式即可求出圆的半径，则可写出圆的极坐标方程.
【详解】在 中，令 ，得 ，所以圆 的圆心坐标为 ．因
为圆 经过点 ，所以圆 的半径 ，于
是圆 过极点，所以圆 的极坐标方程为 ．
【点睛】本题考查用极坐标公式求两点间的距离以及求点的坐标，考查圆的极坐标方程，考
192−
61ax x
+
4x
61ax x
+
( )6 6 6 2
1 6 6
1C C
r
rr r r r
rT ax a xx
− − −
+
= = 3r =
3 3 3
6C 20 160a a= = − 2a = − 1r = 1 5 4
2 6CT a x=
61ax x
+
4x ( )51
6C 2 192− = −
C 2 3, 6P
π
sin 24
πρ θ + =
C
4cosρ θ=
0θ = C C 2 3, 6P
π
πsin 24
ρ θ + = 0θ = 2ρ = C ( )2,0
C π2 3, 6P
C ( )2 2 π2 3 2 2 2 2 3 cos 26r = + − × × =
C C 4cosρ θ=查了学生的计算能力，属于基础题.
16.若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
关于 的方程 有两个不相等的实数根，可转化为求 有两个不同的解的问题，
令 ，分析 的单调性和图像，从而求出 c 的取值范围.
【详解】引入函数 ，则 ，易知 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 ．又分析知，当 时， ；
当 时， ；当 时， ，所以 ，所以 ．
【点睛】本题考查利用导数求函数的零点问题，解题的关键是利用导数讨论函数的单调性，
此题属于基础题.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了 100 位大学
生进行调查，调查结果统计如下：
参与 不参与 总计
男大学生 30
女大学生 50
总计 45 100
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为参与校健身房运动与性别有关？请说明
理由.
x 0xxe c+ = c
10, e
x 0xxe c+ = - xc xe=
( ) exf x x= ( )f x
( ) exf x x= ( ) ( )e 1xf x x′ = + ( )f x ( ), 1−∞ −
( )1,− +∞ ( ) ( )min
11 ef x f= − = − 0x < ( ) 0f x <
0x = ( ) 0f x = 0x > ( ) 0f x > 1 0e c− < − < 10 ec< × × ×
61 ( 0)ax a
x
− > （2）已知二项式 （ 是虚数单位， ）的展开的展开式中有四项的
系数为实数，求 的值.
【答案】（1） （2） 或 7
【解析】
【分析】
（1）求展开式的通项，根据常数项为 60 解得 a 的值，然后在原解析式中代入 x=1 求得各项
系数之和，进而求出结果. （2）求出展开式的通项，因为展开式中有四项的系数为实数，所
以 r 的取值为 0,2,4,6，则可得出 n 的所有的可能的取值.
【 详 解 】 解 ： （ 1 ） 展 开 式 的 通 项 为 ， 常 数 项 为
，
由 ， ，得 ．
令 ，得各项系数之和为 ．
所以除常数项外其余各项系数之和为 ．
（2） 展开式的通项为 ，
因为展开式中有四项的系数为实数，且 ， ，
所以 或 7．
【点睛】本题考查二项式展开式的通项，考查求二项式特定项的系数，以及虚数单位的周期
性，属于基础题.
19.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与直线 （ 为参数， ）交于点 ，与曲线
n
ax i
x
− i *,a R n N∈ ∈
n
59− 6n =
( ) 366 2
1 6C 1 rrr r
rT a x
−−
+ = −
( )44 2 2
5 6C 1 15T a a= − =
215 60a = 0a > 2a =
1x = ( )61 1a − =
1 60 59− = −
i n
ax
x
− ( ) ( ) ( )1 3
2 2
1 C i C ir n rn r r rr r n r
r n nT ax x a x
− −− −
+ = − = −
0 r n≤ ≤ r ∈ *N
0,2,4,6, 6r n= ∴ =
xOy O x
C 2sin 4cosρ θ θ=
C
( )4 R
πθ ρ= ∈ 2
2
x t
y t m
=
= − + t 0m > A C交于点 （异于极点），且 ，求 .
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。
（2）将直线参数方程转化为极坐标方程，将 代入曲线 C 和直线方程，求得两个 值，
根据 即可求出 m 的值。
详解：（1）∵ ，∴ ，∴ ，
故曲线 的直角坐标方程为 .
（2）由 （ 为参数）得 ，
故直线 （ 为参数）的极坐标方程为 .
将 代入得 ，
将 代入 ，得 ，
则 ，∴ .
点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化应用，主要是记住转化的公式，
属于简单题。
20.4 月 23 日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学
生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取 10 名
学生参加问卷调查.各组人数统计如下：
（1）从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；
B 8OA OB⋅ = m
2 4y x=
2m =
4
πθ = ρ
8 OA OB⋅ =
2sin 4cosρ θ θ= 2 2sin 4 cosρ θ ρ θ= 2 4y x=
C 2 4y x=
2
2
x t
y t m
=
= − + t x y m+ =
2
2
x t
y t m
=
= − + t cos sin mρ θ ρ θ+ =
4
πθ = 2
2 mρ =
4
πθ = 2sin 4cosρ θ θ= 4 2ρ =
2 4 2 82OA OB m⋅ = × = 2m =（2）在参加问卷调查的 10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用
表示抽得甲组学生的人数，求 的分布列和数学期望.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 种，来自
同一小组的取法共有 ，所以 .（2） 的可能取值为 0，1，2，
， ， ，写出分布列，求出
期望。
试题解析：
（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为 3，4，2，1，
从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 种，
这两名学生来自同一小组的取法共有 ，
所以 .
（2）由（1）知，在参加问卷调查的 10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 3，
2.
的可能取值为 0，1，2，
， ， .
∴ 的分布列为：
.
21.某县畜牧技术员张三和李四 9 年来一直对该县山羊养殖业 规模进行跟踪调查，张三提供
了该县某山羊养殖场年养殖数量 （单位：万只）与相应年份 （序号）的数据表和散点图
的
X
X
2
9
2
10 45C =
2 2 2
3 4 2 10C C C+ + = 10 2
45 9P = = X
( ) 2
2
2
5
10 10
CP X C
= = = ( ) 1 1
3 2
2
5
31 5
C CP X C
= = = ( ) 2
3
2
5
32 10
CP X C
= = =
2
10 45C =
2 2 2
3 4 2 10C C C+ + =
10 2
45 9P = =
X
( ) 2
2
2
5
10 10
CP X C
= = = ( ) 1 1
3 2
2
5
31 5
C CP X C
= = = ( ) 2
3
2
5
32 10
CP X C
= = =
X
( ) 1 3 3 60 1 210 5 10 5E X = × + × + × =
y x（如图所示），根据散点图，发现 与 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场
的个数 （单位：个）关于 的回归方程 .
年份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
年养殖山羊
/万只
1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2 5 2.6 2.7
（1）根据表中的数据和所给统计量，求 关于 的线性回归方程（参考统计量：
， ）；
（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？
②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为 ， .
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题设中的数据，求得 ， ，利用公式 ，进而得到 ，即可得到
回归直线的方程；
（2）求得第 年山羊养殖的只数 ，①代入 ，即可得到第一年的
山羊的养殖只数；②根据题意，得 ，求得 ，即可得到结论
.
y x
z x 2 30z x
∧
= − +
x
y
y x
( )9 2
1
60i
i
x x
=
− =∑ ( )( )9
1
12i i
i
x x y y
=
− − =∑
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v v uβ α= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
β =
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆ v uα β= −
0.2 1y x= +
5x = 2y = ˆ 0.2b = ˆ 1a =
x 2ˆ ˆ 0.4 4 30y z x x⋅ = − + + 1x =
20.4 4 30 33.6x x− + + < 9x >【详解】（1）设 关于 的线性回归方程为 ，
则 ，
，
则 ，所以 ，
所以 关于 线性回归方程为 。
（2）估计第 年山羊养殖的只数 ，
①第 1 年山羊养殖的只数为 ，故该县第一年养殖山羊约 万只；
②由题意，得 ，整理得 ，
解得 或 （舍去）
所以到第 10 年该县山羊养殖的数量相比第 1 年缩小了。
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据公式，准确运算得
到回归直线的方程，合理利用方程预测是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题。
22.已知函数 .
(1)当 时，若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
(1) 在 上恒成立即 在 上恒成立，构造新函数求最值即可；
（2）对 x 分类讨论 ， 转证 的最值与零的关系即可.
【详解】解：（1）由 ，得 在 上恒成立.
的
y x ˆˆ ˆy bx a= +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 59x
+ + + + + + + += =
1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.7 29y
+ + + + + + + += =
9
1
9
2
1
( )( ) 12ˆ 0.260( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 2 0.2 5 1a y bx= − = − × =
y x ˆ 0.2 1y x= +
x 2ˆ ˆ (0.2 1)( 2 30) 0.4 4 30y z x x x x⋅ = + − + = − + +
0.4 4 30 33.6− + + = 33.6
20.4 4 30 33.6x x− + + < ( 9)( 1) 0x x− − >
9x > 1x <
( ) ( )1 lnf x m ax x x a= − + + −
0a = ( ) 0f x ≥ ( )1,+∞ m
1m a= = ( ) ( )1 0x f x− ≤
( ],e−∞
( ) 0f x ≥ ( )1,+∞
ln
xm x
≤ ( )1,+∞
( )1,x∈ +∞ ( )0,1 ,x∈ ( )f x
( ) 0f x ≥
ln
xm x
≤ ( )1,+∞ 令 ，则 .
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 的最小值为 .
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以 ， .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 ，即当 时， ，
所以 在 上单调递减.
又因为
所以当 时， 当 时，
于是 对 恒成立.
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据
差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）
根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利
用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
( )
ln
xg x x
= ( ) ( )2
ln 1
ln
xg x
x
−′ =
( )1,ex∈ ( ) 0g x′ <
( )e,+x∈ ∞ ( ) 0g x′ >
( )g x ( )1,e ( )e,+∞
( )g x ( )e =eg
em ≤ m ( ],e−∞
1m a= =
( ) ( )1 ln 1f x x x x= − + + − ( ) 1 1ln 1 lnxf x x xx x
+= − − + = − −′
( ) 1lnh x x x
= − − ( ) 2 2
1 1 1 xh x x x x
−= − +′ =
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x
( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x
( ) ( )max 1 1 0h x h= = − < ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x ( )0,+∞
( )1 0,f =
( )0,1x∈ ( ) 0;f x > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0.f x <
( ) ( )1 0x f x− ≤ ( )0,x∀ ∈ +∞
( ) ( ) ( )h x f x g x= −
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