1
5.1 二次函数
一、选择题
1．在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是链接听课例1归纳总结( )
A．y＝2x2 B．y＝2x－2
C．y＝ax2 D．y＝
a
x2
2．下列函数中是二次函数的有( )
①y＝x＋
1
x；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝
1
x2＋x.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．已知二次函数 y＝3(x－2)2＋1，当 x＝3 时，y 的值为( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
4．下列函数关系中，是二次函数的是链接听课例2归纳总结( )
A．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
C．等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系
D．圆心角为 120°的扇形的面积 S 与半径 R 之间的关系
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 a 辆单车，计划第三个月投
放 y 辆单车．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x 之间
的函数表达式是( )
A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
二、填空题
6．二次函数 y＝
1
2(x－2)2－3 中，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常
数项为________．
7．已知关于 x 的函数 y＝(a2－4)x2＋2x 是二次函数，则 a________.
8．设矩形窗户的周长为 6 m，则窗户面积 S(m2)与窗户的一边长 x(m)之间的函数表达式是
____________，自变量 x 的取值范围是________.链接听课例3归纳总结
9．某商场将进价为 40 元/套的某种服装按 50 元/套售出时，每天可以售出 300 套．市场调
查发现，这种服装每提高 1 元售价，每天销量就减少 5 套．如果商场将每套售价定为 x(x＞2
50)元，每天的销售利润为 y 元，那么 y 与 x 之间的函数表达式为
10．如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上．若设 AE＝x，正方形 EFGH
的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数表达式为________________．
三、解答题
11．已知关于 x 的函数 y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋2.
(1)当函数是二次函数时，求 m 的值；
(2)当函数是一次函数时，求 m 的值．
12．如图，用一段长为 30 米的篱笆围一个一边靠墙(墙的长度为 20 米)的矩形鸡场．设 BC
边的长为 x 米，鸡场的面积为 y 平方米．
(1)写出 y 与 x 之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)此函数是二次函数吗？如果是，指出此函数的二次项系数、一次项系数和常数项．3
13．如图，在长为 200 m、宽为 80 m 的矩形区域内修建等宽的三条路(图中阴影部分)．试写
出路面面积 y(m2)与路的宽度 x(m)之间的函数表达式．(不要求写出自变量的取值范围)
链接听课例2归纳总结
14．某店销售一种小工艺品，该工艺品每件进价为 12 元，售价为 20 元，每周可售出 40
件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高 1 元，每周就会少售出 2 件．设每件工艺品的
售价提高 x 元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为 y 元．
(1)填空：每件工艺品售价提高 x 元后的利润为________元，每周可售出工艺品________
件，y 关于 x 的函数表达式为____________；
(2)若 y＝384，则每件工艺品的售价应定为多少元？4
15．某工厂前年的生产总值为 10 万元，去年相对前年的年增长率为 x，预计今年相对去年
的年增长率仍为 x，今年的总产值为 y 万元．
(1)求 y 关于 x 的函数表达式；
(2)当 x＝20%时，今年的总产值为多少？
(3)在(2)的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？5
参考答案
一、1．A
2．[解析] B ①y＝x＋
1
x不是二次函数，因为
1
x是分式；②y＝3(x－1)2＋2 变形后为 y＝3x2
－6x＋5，是二次函数；③y＝(x＋3)2－2x2 变形后为 y＝－x2＋6x＋9，是二次函数；④y＝
1
x2
＋x 中
1
x2是分式，不是二次函数．
3．[解析] A 把 x＝3 代入二次函数 y＝3(x－2)2＋1，得 y＝3×(3－2)2＋1＝4.故选 A.
4．[解析]D A 项，y＝mx＋b，当 m≠0(m 是常数)时，是一次函数，错误；B 项，t＝
s
v，当
s≠0 时，是反比例函数，错误；C 项，C＝3a，是正比例函数，错误；D 项，S＝
1
3πR2，是
二次函数，正确．
5．[解析] A 增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)．若该公司第二、三两个月投放单车
数量的月平均增长率为 x，则第二个月投放单车 a(1＋x)辆，第三个月投放单车 a(1＋x)2 辆，
故 y 与 x 之间的函数表达式是 y＝a(1＋x)2.故选 A.
二、6．
1
2 －2 －1[解析] 把函数表达式化为一般形式，再写出各项的系数和常数项．∵y
＝
1
2(x－2)2－3＝
1
2x2－2x－1，∴二次项系数为
1
2，一次项系数为－2，常数项为－1.
7． ≠±2 [解析] 根据二次函数的定义，知 a2－4≠0，解得 a≠±2.
8． S＝－x2＋3x 0＜x＜3 [解析] S＝x(3－x)＝－x2＋3x，自变量 x 的取值范围是 0＜x＜
3.
9． y＝－5x2＋750x－22000 [解析] y＝(x－40)[300－5(x－50)]＝－5x2＋750x－22000.
10． y＝2x2－4x＋4 [解析] 如图所示：
∵四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵四边形 EFGH 为正方形，6
∴∠HEF＝90°，EH＝FE，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴△AHE≌△BEF(AAS)，
∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2－x.
在 Rt△AHE 中，由勾股定理，得
EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，
即 y＝2x2－4x＋4.
三、11．解：(1)由{m＋3 ≠ 0，
m2＋m－4＝2，得 m＝2.
∴当 m＝2 时，y 是 x 的二次函数．
(2)由{m＋3＝0，
m＋2 ≠ 0，得 m＝－3；
由{m2＋m－4＝1，
m＋3＋m＋2 ≠ 0，得 m＝
－1 ± 21
2 ；
由{m2＋m－4＝0，
m＋2 ≠ 0， 得 m＝
－1 ± 17
2 .
综上所述当，m＝－3 或 m＝
－1 ± 21
2 或 m＝
－1 ± 17
2 时，y 是 x 的一次函数．
12．解：(1)∵BC 边的长为 x 米，且鸡场 ABCD 是矩形鸡场，
∴AB＝
1
2(30－x)米，鸡场的面积＝AB·BC＝
1
2(30－x)·x，
∴y＝－
1
2x2＋15x.
(2)此函数是二次函数，二次项系数是－
1
2，一次项系数是 15，常数项是 0.
13．[解析] 应用等面积变换可将三条路均平移靠边，则路的面积就等于大矩形的面积减去
空白矩形的面积．
解：由题意，得 y＝200×80－(200－2x)(80－x)，整理，得 y＝－2x2＋360x.
14．[解析] (1)根据售价每提高 1 元其销售量就减少 2 件可得售价提高 x 元，则销售量减少
2x，根据利润＝(售价－进价)×销量列出代数式即可．
(2)根据(1)中所求得出，y＝384 时，代入 y 与 x 关系式，列出方程求解即可．
解：(1)∵该工艺品每件进价为 12 元，售价为 20 元，
∴每件工艺品售价提高 x 元后的利润为(20－12＋x)＝(8＋x)元．
∵把每件工艺品的售价提高 1 元，每周就会少售出 2 件，7
∴每周可售出工艺品(40－2x)件，
∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝(40－2x)(8＋x)＝－2x2＋24x＋320.
(2)∵y＝384，
∴384＝－2x2＋24x＋320，
整理，得 x2－12x＋32＝0，
(x－4)(x－8)＝0，
解得 x1＝4，x2＝8.
4＋20＝24，8＋20＝28，
答：每件工艺品的售价应定为 24 元或 28 元．
15．解：(1)前年的生产总值为 10 万元，去年的生产总值为 10(1＋x)万元，今年的生产总
值为 10(1＋x)2 万元，
∴y＝10(1＋x)2＝10x2＋20x＋10.
(2)当 x＝20%时，y＝10×1.22＝14.4.
即今年的总产值为 14.4 万元．
(3)三年的总产值为 10＋10×1.2＋14.4＝10＋12＋14.4＝36.4(万元)．
[素养提升]
解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x m，
∴AB＝(18－3x)m，
∴V(m3)与 x(m)之间的函数表达式为 V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x.
x 的取值范围为 0
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