九年级数学下册第5章二次函数5-3用待定系数法确定二次函数表达作业设计（附答案苏科版）

1 5.3　用待定系数法确定二次函数表达 一、选择题 1．已知二次函数 y＝x2＋bx＋4 的图像经过点(2，0)，则该函数的表达式是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝x2－2x＋4 C．y＝x2－4x＋4 D．y＝x2＋4x＋4 2．已知某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为 (　　) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝ 2 9(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 3．若二次函数 y＝ax2＋bx－1 的图像经过点(1，1)，则 a＋b＋1 的值是(　　) A．－3　 　B．－1　　 C．2　　 D．3 4．某同学在用描点法画二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像时，列出了下面的表格： x … －2 －1 0 1 2 … y … －11 －2 1 －2 －5 … 由于粗心，他算错了其中的一个 y 值，则这个错误的数值是(　　) A．－11　　 B．－2　　 C．1　　 D．－5 5．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，然后绕原点旋转 180° 得到抛物线 y＝x2＋5x＋6，则原抛物线相应的函数表达式是(　　) A．y＝－(x－ 5 2)2－ 11 4 B．y＝－(x＋ 5 2)2－ 11 4 C．y＝－(x－ 5 2)2－ 1 4 D．y＝－(x＋ 5 2)2＋ 1 42 二、填空题 6．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达 式是________.链接听课例2归纳总结 7．若抛物线 y＝ax2＋bx 经过点 A(2，1)，B(1，0)，则抛物线的函数表达式为________． 8．2017·上海已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函 数的表达式可以是_________________．(只需写一个) 9．已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶点坐标为(1，－3)，则这个抛物线对应的函数表达式为 ______________． 10．设抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点 C 在直线 x＝2 上， 且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线对应的函数表达式为______________． 三、解答题 11．已知抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过点(－1，0)，(3，0)，求 a，b 的值． 12．已知二次函数的图像经过原点，对称轴是直线 x＝－2，最高点的纵坐标为 4，求该二次 函数的表达式.链接听课例2归纳总结3 13.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像上部分点的坐标(x，y)满足下表： x … －1 0 1 2 … y … －4 －2 2 8 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 14．已知二次函数 y＝－ 1 2x2＋bx＋c 的图像经过 A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图像及对称轴.链接听课例1归纳总结4 15．如图，已知抛物线 y＝－x2＋mx＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐 标为(3，0)． (1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标； (2)已知 P 是抛物线的对称轴 l 上的一个动点，当 PA＋PC 的值最小时，求点 P 的坐标．56 参考答案 一、1．C 2．D[解析]　设顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k 是常数，a≠0)，其中(－h，k)为顶点坐 标． 由图像知，抛物线的顶点坐标是(1，－8)，且经过点(3，0)，故二次函数的表达式为 y＝2(x －1)2－8.故选 D. 3．D [解析]　∵二次函数 y＝ax2＋bx－1 的图像经过点(1，1)，∴a＋b－1＝1，∴a＋b＝ 2， ∴a＋b＋1＝3.故选 D. 4．D [解析]　由函数图像关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图 像上．把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)分别代入函数表达式，得{a－b＋c＝－2， c＝1， a＋b＋c＝－2， 解得{a＝－3， b＝0， c＝1， ∴函数表达式为 y＝－3x2＋1.当 x＝2 时，y＝－11.故选 D. 5．A [解析]　抛物线 y＝x2＋5x＋6＝(x＋ 5 2)2－ 1 4，顶点坐标为(－ 5 2，－ 1 4)，将顶点绕原点 旋转 180°，为( 5 2， 1 4)，旋转前的抛物线开口向下，∴旋转前的抛物线相应的函数表达式为 y＝－(x－ 5 2)2＋ 1 4，∴向下平移 3 个单位长度后的表达式为 y＝－(x－ 5 2)2＋ 1 4－3＝－(x－ 5 2)2 － 11 4 .故选 A. 二、6． y＝x2＋x－6 [解析] 因为二次函数的图像经过点(－3，0)，(2，0)，所以设二次 函数的表达式为 y＝a(x＋3)·(x－2)．将点(1，－4)代入，得－4＝(1＋3)×(1－2)a，解 得 a＝1，所以二次函数的表达式为 y＝(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6. 7． y＝ 1 2x2－ 1 2x [解析] 将 A(2，1)，B(1，0)代入 y＝ax2＋bx，得{4a＋2b＝1， a＋b＝0， 解得{a＝ 1 2， b＝－ 1 2， ∴抛物线的表达式为 y＝ 1 2x2－ 1 2x. 8．答案不唯一，如 y＝2x2－1 [解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，－1)，∴设该抛物线的 表达式为 y＝ax2－1.又∵二次函数的图像开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的表达式可 以是 y＝2x2－1. 9．y＝x2－2x－27 10． y＝ 1 8x2－ 1 4x＋2 或 y＝－ 1 8x2＋ 3 4x＋2 [解析] 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A(0，2)， 所以函数表达式为 y＝ax2＋bx＋2.因为点 C 在直线 x＝2 上且到抛物线的对称轴的距 离等于 1，所以抛物线的对称轴为直线 x＝1 或直线 x＝3，所以可以建立以下两个方程组： (1){16a＋4b＋2＝3， － b 2a＝1， (2){16a＋4b＋2＝3， － b 2a＝3. 由方程组(1)，得 a＝ 1 8，b＝－ 1 4；由方程组(2)，得 a＝－ 1 8，b＝ 3 4. 三、11．解：把(－1，0)，(3，0)分别带入 y＝ax2＋bx－3，得{0＝a－b－3， 0＝9a＋3b－3， 解得{a＝1， b＝－2.故 a 的值为 1，b 的值为－2. 12．解：∵二次函数图像的对称轴是直线 x＝－2，最高点的纵坐标为 4， ∴抛物线的顶点坐标为(－2，4)． 设二次函数的表达式为 y＝a(x＋2)2＋4. ∵二次函数的图像经过原点， ∴把(0，0)代入，有 0＝(0＋2)2a＋4，解得 a＝－1， ∴二次函数的表达式为 y＝－x2－4x. [点评] 本题考查的是用待定系数法求二次函数的表达式，根据题意得出抛物线的顶点 坐标，合理设出与其对应的函数表达式是解答此题的关键． 13．解：(1)由题意，得{a－b＋c＝－4， c＝－2， a＋b＋c＝2， 解得{a＝1， b＝3， c＝－2， 即二次函数的表达式为 y＝x2＋3x－2.将 x＝2 代入得 y＝8. 所以这个二次函数的表达式是 y＝x2＋3x－2. (2)y＝x2＋3x－2＝(x＋ 3 2)2－ 17 4 ， 所以二次函数图像的顶点坐标为(－ 3 2，－ 17 4 )，对称轴是直线 x＝－ 3 2. 14．解：(1)∵二次函数 y＝－ 1 2x2＋bx＋c 的图像经过 A(2，0)，B(0，－6)两点， ∴{－2＋2b＋c＝0， c＝－6， 解得{b＝4， c＝－6，8 ∴这个二次函数的表达式为 y＝－ 1 2x2＋4x－6. (2)如图所示． 15．解：(1)把点 B 的坐标代入 y＝－x2＋mx＋3，得 0＝－32＋3m＋3， 解得 m＝2， ∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)． (2)如图，连接 BC 交抛物线的对称轴 l 于点 P，连接 PA，则此时 PA＋PC 的值最小． 设直线 BC 的函数表达式为 y＝kx＋b. 由抛物线相应的函数表达式知点 C 的坐标为(0，3)． ∵点 C(0，3)，B(3，0)在直线 BC 上， ∴{0＝3k＋b， 3＝b， 解得{k＝－1， b＝3， ∴直线 BC 的表达式为 y＝－x＋3. 当 x＝1 时，y＝－1＋3＝2， ∴当 PA＋PC 的值最小时，点 P 的坐标为(1，2)． [素养提升] 解：(1)答案不唯一，如两上二次函数图像的顶点关于 y 轴对称，对称轴关于 y 轴对 称． (2)y＝2(x－2)2＋1　y＝a(x－h)2＋k (3)如图．9 由 BC＝6，顺次连接点 A，B，O，C 得到一个面积为 24 的菱形，得 OA＝8， ∴点 A 的坐标为(0，8)，点 B 的坐标为(－3，4)． 设以点 B 为顶点的抛物线的表达式为 y＝a(x＋3)2＋4. 将点 A 的坐标代入，得 9a＋4＝8， 解得 a＝ 4 9， ∴y＝ 4 9(x＋3)2＋4. y＝ 4 9(x＋3)2＋4“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为 y＝ 4 9(x－3)2＋4. 根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，此时 y＝－ 4 9(x＋3)2－4，y＝－ 4 9(x－3)2－ 4. 综上所述，“关于 y 轴对称二次函数”的函数表达式为 y＝ 4 9(x＋3)2＋4，y＝ 4 9(x－3)2＋ 4 或 y＝－ 4 9(x＋3)2－4，y＝－ 4 9(x－3)2－4.