１．Ｃ 【解析】犃＝｛狓｜－１＜狓＜２｝，且 犅＝犣；∴犃∩犅＝｛０，１｝．故选 Ｃ．
２．Ｃ 【解析】由（１－犻）狕＝－１＋２犻，得狕＝－１＋２犻
１－犻 ＝（－１＋２犻）（１＋犻）
（１－犻）（１＋犻） ＝－ ３
２ ＋ １
２犻，
∴｜狕｜＝ 狕 ＝ （－ ３
２ ）
２
＋（１
２ ）槡 ２
＝ 槡１０
２ ．故选 Ｃ．
３．Ｂ 【解析】由题意得在正方形区域内随机投掷１０８９个点，其中落入白色部分
的有４８４个点，则其中落入黑色部分的有６０５个点，由随机模拟试验可得：犛黑
犛正
＝
６０５
１０８９，又犛正 ＝９，可得犛黑 ＝６０５
１０８９×９＝５，故选 Ｂ．
４．Ａ 【解析】双曲线狓２－狔２
犿２ ＝１（犿＞０）的焦点设为（犮，０），渐近线方程设为犫狓－
犪狔＝０，可得：
犱＝ 犫犮
犫２＋犪槡 ２ ＝犫，由题意可得犫＝犿＝２．故选 Ａ．
５．Ａ 【解析】作出可行域如图，由 狓＝２
狓＋狔｛ －６＝０
，解得 犃（２，４），
∵犽＝狔＋１
狓－３的几何意义为 可 行 域 内 动 点 与 定 点 犇（３，－１）连 线 的 斜 率．∵犽犇犃 ＝
４＋１
２－３＝－５，∴犽的取值范围是犽＞ １
２ ，或犽≤－５．故选 Ａ．
６．Ａ 【解析】∵ →犃犅＝犪，→犃犆＝犫，→犅犇＝ １
３
→犅犆，
∴ →犃犇－ →犃犅＝ １
３ （→犃犆－ →犃犅），∴ →犃犇＝ ２
３
→犃犅＋ １
３
→犃犆＝ ２
３犪＋ １
３犫．故选 Ａ．
７．Ｂ 【解析】记每天走的路程里数为｛犪狀｝，由题意知｛犪狀｝是公比 １
２ 的等比数列，
由犛６＝３７８，得犛６＝
犪１ １－ １
２（ ）６
１－ １
２
＝３７８，解得犪１ ＝１９２，∴犪５ ＝１９２× １
２４ ＝１２（里），
故选 Ｂ．
８．Ｄ 【解析】根据三视图，转换为几何体为：左侧是一个半圆
锥，右侧是一个四棱锥，如图所示：所以犞几何体 ＝犞１ ＋犞２ ＝ １
２
× １
３ ×π×１２×２＋ １
３ ×２×２×２＝π＋８
３ ，故选 Ｄ．
９．Ａ 【解析】由ｓｉｎ２αｃｏｓβ＝２ｃｏｓ２α（１＋ｓｉｎβ），
得２ｓｉｎαｃｏｓαｃｏｓβ＝２ｃｏｓ２α（１＋ｓｉｎβ），
因为ｃｏｓα≠０，所以ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ｃｏｓα，
即ｓｉｎ（α－β）＝ｃｏｓα＝ｓｉｎ（π
２ －α），
由于α∈（０，π
２ ），β∈（０，π
２ ），所以α－β＝ π
２ －
α，２α－β＝ π
２ ，故选 Ａ．
１０．Ｃ 【解 析】在 棱 长 为 ２ 的 正 方 体 犃犅犆犇－
犃１犅１犆１犇１ 中，犃１犅１ 的中点是 犘，过点 犃１ 作与
截面 犘犅犆１ 平行 的 截 面，则 该 截 面 是 一 个 对 角
线分别为正方体体对角 线 和 面 对 角 线 的 菱 形，
如图所示：
则 犈犉 槡＝２ ２，犃１犆 槡＝２ ３，犈犉⊥犃１犆，则 截 面 的 面 积 犛＝ １
２犈犉·犃１犆 槡＝２ ６，故
选 Ｃ．
１１．Ａ 【解析】函数犳（狓）＝狓２＋狓ｓｉｎ狓 是偶函数，关于狔 轴对称，故排除 Ｂ；令犵
（狓）＝狓＋ｓｉｎ狓，∴犵′（狓）＝１＋ｃｏｓ狓≥０恒成立，∴犵（狓）在 犚 上单调递增；∵犵（０）
＝０，∴犳（狓）＝狓犵（狓）≥０，排除 Ｄ；当 狓＞０时，犳（狓）＝狓犵（狓）单调递增，当 狓＜０
时，犳（狓）＝狓犵（狓）单调递减，排除 Ｃ．故选 Ａ．
１２．Ｄ 【解析】函数 犵（狓）＝犳（狓）－犫 有 三 个 零 点，
则函数犵（狓）＝犳（狓）－犫＝０，即犳（狓）＝犫有三个根，
当狓≤０时，犳（狓）＝ｅ狓（狓＋１），则犳′（狓）＝ｅ狓 （狓＋１）
＋ｅ狓 ＝ｅ狓（狓＋２），
由犳′（狓）＜０得狓＋２＜０，即狓＜－２，此时 犳（狓）为
减函数，
由犳′（狓）＞０得狓＋２＞０，即－２＜狓＜０，此时犳（狓）
为增函数，
即当狓＝－２时，犳（狓）取得极小值犳（－２）＝－ １
ｅ２ ，
作出犳（狓）的图像如图：
要使犳（狓）＝犫有三个根，则０＜犫≤１，故选 Ｄ．
１３．７２ 【解析】设样本中 犃 型号车为狓 辆，则 犅 型号为（狓＋８）辆，则 狓
狓＋８＝ ２
３ ，
解得狓＝１６，即 犃 型号车１６辆，则 ２
２＋３＋４＝１６
狀 ，解得狀＝７２．
１４．１５ 【解析】∵在等差数列｛犪狀｝中，犛狀 是它的前狀 项和，犪１＝－２９，犛１０＝犛２０，
∴１０×（－２９）＋１０×９
２ 犱＝２０×（－２９）＋２０×１９
２ 犱，解得犱＝２，
∴犛狀＝－２９狀＋狀（狀－１）
２ ×２＝狀２－３０狀＝（狀－１５）２－２２５．∴犛狀 最小时，狀＝１５．
１５．槡６
３ 【解析】依题意可得犽犅犆 ＝犽犃犇 ＝－ １
犽犃犅
＝犪
犫 ，
∵过 犃，犅 分别作犃犅 的垂线交椭圆犜 于犇，犆（不同于顶点），
∴直线 犅犆：狔＝犪
犫狓＋犫，直线 犃犇：狔＝犪
犫 （狓－犪）．
由 狔＝犪
犫狓＋犫
犫２狓２＋犪２狔２＝犪２犫
烅
烄
烆 ２
（犫４ ＋犪４ ）狓２ ＋２犪３犫２狓
＝０，
∴狓犮＋狓犅 ＝－２犪３犫２
犫４＋犪４ 狓犆 ＝－２犪３犫２
犫４＋犪４ ．
由 狔＝犪
犫 （狓－犪）
犫２狓２＋犪２狔２＝犪２犫
烅
烄
烆 ２
（犫４ ＋犪４）狓２ －２犪５狓＋犪６
－犪２犫４＝０，
∴狓犃 ·狓犇 ＝犪６－犪２犫４
犪４＋犫４ ，∴狓犇 ＝犪５－犪犫４
犫４＋犪４ ．
∵犆犅＝ １＋ 犪（ ）犫槡 ２
·（０－狓犆 ），犃犇＝ １＋ 犪（ ）犫槡 ２
·（犪－狓犇 ），
由 犅犆＝３犃犇 可得３狓犇 －狓犆 ＝３犪，∴犪２＝３犫２，
椭圆 犜 的离心率犲＝ １－犫２
犪槡 ２ ＝ １－槡 １
３ ＝槡６
３ ．
１６． 槡６－３ ３
８ ，［ ］３ 【解 析 】犳（狓）＝ｓｉｎ３狓＋３ｃｏｓ２狓＝ｓｉｎ３狓－３ｓｉｎ２狓＋３，狓
∈ － π
３ ，π［ ］２ ，
令狋＝ｓｉｎ狓，狋∈ －槡３
２ ，［ ］１ ，
即犵（狋）＝狋３－３狋２＋３，狋∈ －槡３
２ ，［ ］１ ，
则犵′（狋）＝３狋２－６狋＝３狋（狋－２），
当－槡３
２ ＜狋＜０时，犵′（狋）＞０，当０＜狋＜１时，犵′（狋）＜０，
即狔＝犵（狋）在 －槡３
２ ，［ ］０ 为增函数，在［０，１］为减函数，
又犵 －槡３（ ）２ ＝ 槡６－３ ３
８ ，犵（０）＝３，犵（１）＝１，
故函数的值域为 槡６－３ ３
８ ，［ ］３ ．
１７． 【解析】（１）在Δ犃犅犆 中，犛△犃犅犆 ＝ １
２ ×犃犅·犅犆ｓｉｎ ∠犃犅犆， ……２分
玉树州高三联考数学2
评分标准
数学文科2所以 １
２ 槡× ３·犅犆ｓｉｎ２π
３ ＝ 槡３ ３
４ ，犅犆 槡＝ ３，犃犅＝犅犆， ……４分
又因为∠犅＝２π
３ ，所以∠犃犆犅＝ π
６ ． ……６分
（２）因为 犅犆⊥犆犇，所以∠犃犆犇＝ π
３ ， ……７分
由余弦定理，得 犃犆２＝犃犅２＋犅犆２－２犃犅·犅犆·ｃｏｓ２π
３
＝ 槡（ ）３ ２＋ 槡（ ）３ ２ 槡－２ ３·槡３· －（ ）１
２ ＝９，
所以 犃犆＝３， ……９分
在△犃犆犇 中由正弦定理，得 犃犆
ｓｉｎ ∠犃犇犆＝ 犃犇
ｓｉｎ ∠犃犆犇，
所以 犃犇＝犃犆·ｓｉｎ ∠犃犆犇
ｓｉｎ ∠犃犇犆 ＝
３ｓｉｎ π
３
ｓｉｎ π
４
＝ ３
２槡６． ……１２分
１８． 【解析】（１）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．
理由如下：
①由茎叶图可知：男生成绩分布在８０～９０的较多，其它分布关于茎８０具有初步
对称性；女生成绩分布在７０～８０的较多，其它分布关于茎７０具有初步对称性．因
此男生成绩比女生成绩较好．
②由茎叶图可知：男生组２５人中，有１７人（占６８％ ）超过８０（分），女生组 ２５人
中，只有８人（占３２％ ）超过８０（分），因此男生组成绩比女生组成绩好．
③由茎叶图可知：男生组成绩的中位数是８５，女生组成绩的中位数是７５，８５＞７５，
由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好．
④用茎叶图数据估计：男生组成绩的平均分是８３．４（分），女生组成绩的平均分是
７５．９６（分），因此男生组成绩比女生组成绩高．或者，由茎叶图直观发现，男生平
均成绩必然高于８０（分），女生平均成绩必然低于８０（分），可以判断男生成绩高于
女生成绩．
以上给出了４种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
……（４分）
（２）计算样本５０个数据的平均值为 狓０ ＝７９．６８，以此为分界点，将各类人数填入
列联表如下：
分数
性别
高于或等于狓０ 低于狓０ 合计
男生 １７ ８ ２５
女生 ８ １７ ２５
合计 ２５ ２５ ５０
……（８分）
（３）计算得 犓２＝５０（１７×１７－８×８）２
２５×２５×２５×２５ ＝６．４８＜６．６３５，
所以没有９９％ 的把握认为“男生和女生对数学学习具有明显的差异”．（或者回答
为：没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异．） ……（１２分）
１９． 【解析】（１）∵犇犈∥犆犉，犆犇⊥犇犈，∴犆犉⊥犆犇，
又面 犃犅犆犇⊥面犆犇犈犉，且面 犃犅犆犇∩面犆犇犈犉＝犆犇，
∴犆犉⊥面 犃犅犆犇， ……２分
∵犅犇面 犃犅犆犇，∴犆犉⊥犅犇，
∵四边形 犃犅犆犇 是菱形，∴犃犆⊥犅犇， ……４分
又 犃犆面 犃犆犉，犆犉面 犃犆犉，犃犆∩犆犉＝犆，
∴犅犇⊥面 犃犆犉，
又 犃犉面 犃犆犉，∴犅犇⊥犃犉． ……６分
（２）过点 犃 向犆犇 作垂线，垂足为 犎，即 犃犎⊥犆犇，
∵ 面 犃犅犆犇 ⊥ 面 犆犇犈犉，且 面 犃犅犆犇 ∩ 面 犆犇犈犉
＝犆犇，
∴犃犎⊥面犆犇犈犉， ……８分
在 Ｒｔ△犃犇犎 中，犃犇＝４，∠犃犇犎＝６０°，
∴犃犎 槡＝２ ３， ……１０分
∴四棱锥犃－犆犇犈犉 的体积犞犃－犆犇犈犉 ＝ １
３ ×犛犆犇犈犉 ×犃犎＝ １
３ × １
２ ×（４＋２）×４×
槡 槡２ ３＝８ ３．
……１２分
２０． 【解析】（１）设 犕（狓０，狔０），则 犖（２狓０＋２，２狔０），
由 犕，犖 在抛物线犆 上，得狔２
０＝２狓０，（２狔０）２＝２（２狓０＋２），
解得 犕（１， 槡± ２），故犾的斜率为±槡２
３ ．
∴直线犾的方程为狔＝±槡２
３ （狓＋２）． ……４分
（２）由题意知，犾的斜率存在且不为０，设犾：狔＝犽（狓＋２）（犽≠０）． ……５分
代入狔２＝２狓，得犽狔２－２狔＋４犽＝０． ……６分
由Δ＞０，得犽２＜ １
４ ． ……７分
设 犕（狓１，狔１），犖（狓２，狔２），则 犘（狓１，－狔１），
狔１＋狔２＝ ２
犽 ，狔１狔２＝４． ……８分
∴犽犘犖 ＝狔２＋狔１
狓２－狓１
， ……９分
故直线 犘犖 的方程为狔＋狔１＝狔２＋狔１
狓２－狓１
（狓－狓１）． ……１０分
整理得：狔＝狔２＋狔１
狓２－狓１
（狓－２）． ……１１分
∴直线 犘犖 过定点（２，０）． ……１２分
２１． 【解析】（１）当犪＝－１时，犳（狓）＝狓２－狓－ｌｎ狓，
犳′（狓）＝２狓－１－ １
狓 ＝（狓－１）（２狓＋１）
狓 ． ……２分
当狓∈（０，１）时，犳′（狓）＜０，犳（狓）为减函数；
当狓∈（１，＋∞）时，犳′（狓）＞０，犳（狓）为增函数． ……３分
∴犳（狓）≥犳（１）＝０． ……４分
由犳（狓）＝ 犫
狓 ，得犫＝狓犳（狓）， ……５分
又狓＞０，∴犫≥０．即犫的最小值为０． ……６分
（２）∵犉（狓）＝犳（狓）·ｅ－狓 ，∴犉′（狓）＝
－狓２＋（２－犪）狓＋犪－ １
狓 ＋ｌｎ狓
ｅ狓 ． ……７分
设犺（狓）＝－狓２＋（２－犪）狓＋犪－ １
狓 ＋ｌｎ狓，则犺′（狓）＝－２狓＋ １
狓２ ＋ １
狓 ＋２－犪，
……８分
可知犺′（狓）在（０，１］上为减函数．
从而犺′（狓）≥犺′（１）＝２－犪． ……９分
①当２－犪≥０，即犪≤２时，犺′（狓）≥０，犺（狓）在区间（０，１］上为增函数，
∵犺（１）＝０，∴犺（狓）≤０在区间（０，１］上 恒 成 立，即 犉′（狓）≤０ 在 区 间（０，１］上 恒
成立．
∴犉（狓）在区间（０，１］上是减函数，故犪≤２满足题意； ……１０分
②当２－犪＜０，即犪＞２时，设函数犺′（狓）的唯一零点为狓０，则犺（狓）在（０，狓０）上单
调递增，在（狓０，１）上单调递减．
又∵犺（１）＝０，∴犺（狓０）＞０，∴犉（狓）在（狓０，１）上单调递增，
∵犺（ｅ－犪）＜０，∴犉（狓）在（０，ｅ－犪）上递减，这与 犉（狓）在区间（０，１］上 是 单 调 函 数
矛盾．
∴犪＞２不合题意． ……１１分
综合①②得：犪≤２． ……１２分
２２．【解析】（１）∵曲线犆１∶狓２－狔２＝２，
∴曲线犆１ 的极坐标方程为：ρ２ｃｏｓ２θ－ρ２ｓｉｎ２θ＝２，即ρ２ｃｏｓ２θ＝２ ……２分
∵曲线犆２ 的参数方程为 狓＝２＋２ｃｏｓθ
狔＝２ｓｉｎ｛ θ
（θ为参数）．
∴曲线犆２ 的普通方程为：（狓－２）２＋狔２＝４， ……３分
即狓２＋狔２－４狓＝０，
∴曲线犆２ 的极坐标方程为ρ＝４ｃｏｓθ． ……４分
（２）由（１）得：点 犃 的极坐标为 ２，π（ ）６ ，
点 犅 的极坐标为 槡２ ３，π（ ）６ ， ……６分
∴ 犃犅 ＝ 槡２－２ ３ 槡＝２ ３－２， ……７分
犕（３，０）点到射线θ＝ π
６ （ρ≥０）的距离为犱＝３ｓｉｎ π
６ ＝ ３
２ ， ……８分
∴△犕犃犅 的面积为：
犛△犕犃犅 ＝ １
２ 犃犅 犱＝ １
２ ×（ 槡２ ３－２）× ３
２ ＝ 槡３ ３－３
２ ． ……１０分
２３．【解 析 】 因 为 犿 ＞ ０， 所 以 犳 （狓 ） ＝ 狓＋犿 － ２狓－２犿 ＝
狓－３犿，狓≤－犿
３狓－犿，－犿＜狓＜犿
－狓＋３犿，狓≥
烅
烄
烆 犿
． ……１分
（１）当 犿＝ １
２ 时，犳（狓）＝
狓－ ３
２ ，狓≤－ １
２
３狓－ １
２ ，－ １
２ ＜狓＜ １
２
－狓＋ ３
２ ，狓≥
烅
烄
烆
１
２
……２分
１数学文科2所以由犳（狓）≥ １
２ ，可得
狓－ ３
２ ≥ １
２
狓≤－
烅
烄
烆
１
２
或
３狓－ １
２ ≥ １
２
－ １
２ ＜狓＜
烅
烄
烆
１
２
或
－狓＋ ３
２ ≥ １
２
狓≥
烅
烄
烆
１
２
，
……３分
解得 １
３ ≤狓＜ １
２ 或 １
２ ≤狓≤１， ……４分
故原不等式的解集为 狓 １
３ ≤狓≤｛ ｝１ ． ……５分
（２）因为犳（狓）＋ 狋－３ ＜ 狋＋４ 犳（狓）＜ 狋＋４ － 狋－３ ，
令犵（狋）＝ 狋＋４ － 狋－３ ，则由题设可得犳 （狓）ｍａｘ＜犵（狋）ｍａｘ． ……６分
由犳（狓）＝
狓－３犿，狓≤－犿
３狓－犿，－犿＜狓＜犿
－狓＋３犿，狓≥
烅
烄
烆 犿
，得犳 （狓）ｍａｘ＝犳（犿）＝２犿． ……７分
因为 狋＋４ － 狋－３ ≤ （狋＋４）－（狋－３） ＝７，所以－７≤犵（狋）≤７．……８分
故犵（狋）ｍａｘ＝７，从而２犿＜７，即 犿＜ ７
２ ， ……９分
又已知 犿＞０，故实数 犿 的取值范围是 ０，（ ）７
２ ． ……１０分
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