浙江金丽衢十二校2020届高三数学上学期第一次联考试卷（Word版带解析）

2019 学年淅江金丽衢十二第一次联考 1.设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 ，因此可 知 ，选 A 2.已知双曲线 一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的 离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于 列方程，结合 求得双曲 线离心率. 【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为 ，则 ，即 ，又，所以 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂 直时，斜率相乘等于 ，属于基础题. 3.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值等于（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -4 【答案】A { } { }| ( 3)( 2) 0, , |1 3,M x x x x R N x x x R= + − < ∈ = ≤ ≤ ∈ M N∩ = [ )1,2 [1,2] ( ]2,3 [2,3] { } { }| ( 3)( 2) 0, { | 3 2}, |1 3,M x x x x R x x N x x x R= + − < ∈ = − < < = ≤ ≤ ∈ M N∩ = [ )1,2 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 4 2 0x y− + = 5 5 2 2 2 2 1− 2 2 2c a b= + by xa = ± 1 12 b a − × = − 2b a = 2 1 5be a  = + =   1− x y 2 2 0 2 2 x y x y y + − ≥  + ≤  ≤ x y−【解析】 【分析】 作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值. 【详解】根据题意作出可行域如图： 平移直线 可得在点 A 处取到最大值，联立 可得 ,代入 可得最大值为 2，故选 A. 【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧 重考查直观想象和数学运算的核心素养. 4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 观察三视图可知，几何体是一个圆锥的 与三棱锥的组合体，然后计算出两个简单几何体的 : 0l x y− = 2 2 0 2 0 x y x y + − =  + − = (2,0)A x y− 1 6 3 π + 112 π + 1 12 3 π + 1 4 3 π + 1 4体积，相加可得出结果. 【详解】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的 与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径 为 ，高为 ．三棱锥的底面是两直角边分别为 、 的直角三角形，高为 ． 则几何体的体积 ，故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题时要利用三视图得出几何体的组合方 式，并计算出各简单几何体的体积，然后将各部分相加减即可. 5.己知 ， 是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件与必要条件的定义判断即可。 【详解】因为“ 且 ” “ 且 ” “ 且 ” “ 且 ” 所以“ 且 ”是“ 且 ”的充分而不必要条件 故选 A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属于基础题。 6.口袋中有 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 ， ， ， ， ，从中任取 个球， 以 表示取出球的最大号码，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 的可能值，计算出每个可能值的概率，再计算 。 【详解】依题意知 可取 2,3,4 则 1 4 1 1 1 2 1 21 1 1 1 11 1 1 2 13 4 3 2 12 3V π π= × × × × + × × × × = + a b 2a > 2b > 4a b+ > 4ab > 2a > 2b > ⇒ 4a b+ > 4ab > 4a b+ > 4ab >  2a > 2b > 2a > 2b > 4a b+ > 4ab > 5 0 1 2 3 4 3 ξ ( )E ξ 3.55 3.5 3.45 3.4 ξ ( )E ξ ξ , , 所以 故选 B 【点睛】本题考查数学期望，属于基础题。 7.如图，在正四棱柱 中， 是侧面 内的动点， 且 记 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 建立以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴的空间直角坐 标系，设点 ，利用 ，转化为 ，得出 ，利用空间向量 法求出 的表达式，并将 代入 的表达式，利用二次函数的性质求出 的 最大值，再由同角三角函数的基本关系求出 的最大值。 【详解】如下图所示，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，则 、 、 ， 设点 ，则 ， ， ， ， ，则 ，得 ， 3 5 1 12( ) 10P C ξ == = 2 3 3 5 3( )3 10 CP C ξ = == 2 4 3 5 6( )4 10 CP C ξ = == ( ) 1 3 6+3 +4 =3.510 10 10=2E ξ × ×× 1 1 1 1ABCD A B C D− 13, 4,AB AA P= = 1 1BCC B 1,AP BD⊥ AP 1BCC B θ tanθ 4 3 5 3 2 25 9 D DA DC 1DD x y z ( ),3,P m n 1AP BD⊥ 1 0AP BD⋅ =  3 4n m= sinθ 3 4n m= sinθ sinθ tanθ D DA DC 1DD x y z D xyz− ( )3,0,0A ( )3,3,0B ( )1 0,0,4D ( ),3,P m n 0 3m≤ ≤ 0 4n≤ ≤ ( )3,3,AP m n= − ( )1 3, 3,4BD = − − 1AP BD⊥ ( ) ( )1 3 3 3 3 4 3 4 0AP BD m n m n⋅ = − − + × − + = − + =  3 4n m=平面 的一个法向量为 ， 所以， ， 当 时， 取最大值，此时， 也取最大值， 且 ，此时， ， 因此， ，故选：B。 【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类 问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解， 考查运算求解能力，属于难题。 8.己知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依次 为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ） 1 1BCC B ( )0,1,0a = ( ) ( )2 22 2 3 3sin 33 9 3 9 4 AP a AP a m n m m θ ⋅= = = ⋅ − + +  − + +        2 3= 25 6 1816 m m− + [ ]6 48 0,325 252 16 m −= − = ∈ × sinθ tanθ ( )max 2 3 5sin 3425 48 486 1816 25 25 θ = =  × − × +   2 3cos 1 sin 34 θ θ= − = ( ) max 5 34 5tan 3 334 θ = × = ( ) ( )21 , 0 4 3, 0 xe x f x x xx + ≤=  + − > ( )y f x a= − 1x 2x 3x 4x 1 2 3 4x x x x− + +A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 画出函数 的草图，结合题意得到 。且 ， 则可解出 ， ， ，即可求出 的取值范围。 【详解】当 时， 令 ， 单调递增 又 ，在 单调递减，在 单调递增， 所以 ，在 单调递减，在 单调递增，且 。 当 时， ，在 单调递减，在 单调递增，且 。 画出函数 的图像，如图所示： 又 有四个不同的零点，等价于 与 有四个不同的交点。 所以 。且 。 当 时， ， ，即 所以 当 时， 解 ，化简得 ，所以 ， 又 ， [ )3,3 e+ [ )3,3 e+ ( )3,+∞ ( ]3,3 e+ ( )f x (1, ]a e∈ 1x 2 0x< ≤ < 3x 4x< 1 2+ = 2x x − 3 4+ =3+x x a 3 4 =4x x⋅ 1 2 3 4x x x x− + + 0x ≤ ( )21( ) ,xf x e += 2( 1)t x= + ( ) tf x e= 2( 1)t x= + ( , 1)−∞ − ( 1 0]− ， ( )21( ) xf x e += ( , 1)−∞ − ( 1 0]− ， (0) ( 1) 1f e f= − =， 0x ≤ 4( )= 3f x x x + − (0,2) (2 + )∞， (2) 1f = ( ) ( )21 , 0 4 3, 0 xe x f x x xx + ≤=  + − > ( )y f x a= − ( )y f x= y a= (1, ]a e∈ 1x 2 0x< ≤ < 3x 4x< 0x ≤ ( )2 1 1 1( ) xf x e += ( )2 2 1 2( ) xf x e += ( ) ( )2 2 1 21 1 1 2+ = 2x xe e x x+ += ⇒ − 1 21 0x x− − ( )f x ( )f x− y ( )f x− ( ) ( )g x f x= − = 2 ( 1) , 3x x d x d x n d n− + − + + − + + + − + − ≥ 2 ( 1) , 3x x d x d x n d n′ ′ ′= + + + + + + + − ≥ 1 1 1( ) ( 1) ( 2)f a f a f a m= − = + = 1 1 1( ) ( 1) ( 2)g a g a g a m− = − − = − + = ( )g x n ( 4)n≥ 1 1 11, ( 1) 1i ia a a a i d a′ ′ ′ ′= − − = + − = − ( ) ( 1) ( 2)i i ig a g a g a m′ ′ ′= − = + = 3d d′⇒ = − ≥ *i N∈ 2 1 2 11 1 2i i ia a a− < < ⇔ − < − < ⇔ − [1,3] 0x 3 2 0 0 0( ) 4 +3 0k x x ax a′ = − = ( )k x 0[1, ]x 0[ 3]x ， (1)=2>0k (3) 24 82 0k a= + > ( )k x [1,3] 0( ) 0k x < 3 2 0 0 0 4 3 0 0 0 0 ( ) 4 +3 0 ( ) + 1 0 k x x ax a k x x ax ax  = − =′  = − + + 3 2 4( ) 1 3 xm x x = − [1,3] 3 2 4( 2 3) 2 2 1 3( 2 3) a +< = − − + 17 2 26 a− ≤ < − 17 , 2 26  − −   ( ) sin cosf x x x= + x∈R ( ) ( )f x f xπ⋅ − ( ) 3 3sin cosg x x x= + π 1（Ⅰ）代入化简即可求出答案。 （Ⅱ）利用辅助角公式化简 ，利用立方和公式因式分解 并用 将其表示出来，再换元判断复合函数单调性，再求最值。 【详解】解：（Ⅰ）因为 所以 的最小正周期为 ； （Ⅱ）由题 而 令 ，则 的的最大值即为函数 ， 的最大值， 由 可得函数在 和 上递减，在 上递增。 又 时， ； 时， . 所以函数 的最大值为 . 19.在数列 中， ， ， . （Ⅰ）证明：数列 是等比数列； （Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 ( )f x = 2 sin 2, 24x π   + ∈ −     ( )g x ( )f x ( ) ( ) ( )sin cosf x f x x xπ⋅ − = + ( ) 2 2sin cos sin cosx x x x− = − cos2x= − ( ) ( )f x f xπ⋅ − π ( ) sin cosf x x x= + = 2 sin 2, 24x π   + ∈ −     ( ) ( )sin cosg x x x= + ( )2 2sin sin cos cosx x x x− + ( )sin cosx x= + ⋅ ( )2sin cos 11 2 x x + −−     ( ) ( )23 2 2 f xf x  = − =    ( ) ( )31 3 2 2f x f x− + ( )f x t= ( )g x 31 3 2 2y t t= − + 2, 2t  ∈ −  ( )23 12y t′ = − − 2, 1 − −  1, 2   [ ]1,1− 2x = − 2 2y = − 1x = 1y = ( )g x 1 { }na 1 2a = 1 4 3 1n na a n+ = − + *Nn∈ { }na n− ( )n nb a n n= − { }nb n nS ( )3 1 4 1 9 n n nS − +=【分析】 （Ⅰ）利用等差数列的定义证明 即可。 （Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列 的通项公式，代入 ，再利用错位相减求数列 的前 项和。 【详解】解：（Ⅰ）证明：由 ，可得 . 又 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，即 ， 所以 ， ，① ，② ① ②得， ， 所以 【点睛】本题考查等比数列的定义，错位相减求数列的前 项和，属于基础题。 20.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 平面 ， 是线段 靠近 的三等分点. （Ⅰ）求证： 平面 ； 1 ( 1) n na qa n n+ − − =− { }na n− ( )n nb a n n= − { }nb n 1 4 3 1n na a n+ = − + ( ) ( )1 1 4n na n a n+ − + = − 1 1 1a − = { }na n− 1 4 14n na n −− = 14n na n−= + 14n nb n −= ⋅ 0 1 11 4 2 4 4n nS n −= ⋅ + ⋅ + + ⋅L 1 24 1 4 2 4 4n nS n= ⋅ + ⋅ + + ⋅L − 2 13 1 4 4 4 4n n nS n−− = + + + + − ⋅L 4 1 43 n nn −= − ⋅ ( )3 1 4 1 9 n n nS − += n S ABCD− 2 2 3AD BC= = 3AB = SA SC= AD BC∥ AD ⊥ SAB E AB B CD ⊥ SCE（Ⅱ）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）取 中点 ，连接 ，根据题意可求出 , ,则 即 ， 即 ，再利用线面垂直的判定定 理说明即可。 （Ⅱ）记 ，连接 ，说明 即 平面 ，即 ,根据 求出 ，即可求出 ，再代入 即 可。 【详解】解：（Ⅰ） ， 平面 ， 平面 ， ， 中， ， ， 由勾股定理可得 ， ， 取 中点 ，连接 ，则四边形 是矩形， ， . 由 平面 得 ， 又 ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ； 在 SB SCE 1 3 SA 39 2 AD F CF 2EC AE= = 2 3CD AD= = AED CED△ ≌△ CD CE⊥ ASD CSD△ ≌△ CD CS⊥ CE BF O=I SO BF CD BF ⊥ SCE 1 3 BO SB = BOE BAF∆ ∆∽ 3 2BO = 3 32SB = 2 2SA SC SB BC= = + AD BC∵ ∥ AD ⊥ SAB BC∴ ⊥ SAB BC AB∴ ⊥ EBC 1BE = 3BC = 2EC = AE CE∴ = AD F CF ABCF 2 2 2 3CD DF CF AD∴ = + = = AED CED∴△ ≌△ CD CE∴ ⊥ AD ⊥ SAB AD SA⊥ SA SC= SD SD= AD CD= ASD CSD∴△ ≌△ CD CS∴ ⊥ CE CS C=I CE CS ⊂ SCE CD\ ^ SCE（Ⅱ）记 ，连接 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 由（Ⅰ）知 平面 ， 平面 ， 即为直线 与平面 所成角. ， ， ，且 ， ，又 ， ， . 【点睛】本题考查线面垂直的判定，利用线面角求其他量，属于基础题。 21.过抛物线 上一点 作抛物线的切线 交 轴于 ， 为焦点，以原点 为圆心的圆与直线 相切于点 . （Ⅰ）当 变化时，求证： 为定值. （Ⅱ）当 变化时，记三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，求 的最小 CE BF O=I SO BC FDQ P BC FD= ∴ FBCD BF CD∴  CD ⊥ SCE BF∴ ⊥ SCE OSB∴∠ SB SCE BE CF  1 2 3 BE BF = 1 2 3 BO AB ∴ = 2 3BF CD= = 3 2BO∴ = 1sin 3 BOOSB SB ∠ = = 3 32SB∴ = 2 2 39 2SA SC SB BC∴ = = + = ( )2 2 0y px p= > P l x Q F O l M p PF QF p PFM 1S OFM 2S 1 2 S S值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设 ，写出切线方程，求出 点坐标，计算出 ， 即可得出答案。 （Ⅱ）利用原点到直线 的距离公式，求出 ，写出点 的坐标，计算出 ， ，再求 比值的最小值。 【详解】解：（Ⅰ）设 ，则过 的切线 方程为 ， 于是 为 . 则 ， ， 故 . （Ⅱ） ，于是 的坐标为 ， ， 当且仅当 时取“ ”，综上 最小值为 【点睛】本题考查抛物线与直线、圆与直线的位置关系，属于中档题。 22.已知函数 ，其中 . （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ， ，若存在 ，对任意的实数 ，恒有 的 3 2 2+ ( )0 0,P x y Q QF PF l OM M 1S 2S ( )0 0,P x y P l ( )0 0y y p x x= + Q ( )0 ,0x− 02 pQF x= + 0 2 pPF x= + 1PF QF = 0 2 2 0 pxOM p y = + M 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 ,p x px y p y p y  −  + +  ( ) 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 4 px y p x ypS p y p y = × × =+ + 0 0 1 0 0 2 2 0 1 2 2 px ypS x y p y   = × + × − =   +    2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 4 4 p x p y px y py x y p y + + +× =+ ( ) ( )2 0 0 01 2 2 0 0 2p x y p pxS S p x y + + = ( )( )0 0 0 2p x p x px + += 0 0 2 3 3 2 2xp x p = + + ≥ + 0 2 2 px = = 1 2 S S 3 2 2+ ( ) xf x x ae b= − + ,a b∈R ( )f x 1a = k ∈R [ ]0,2b∈ [ ]0,1x∈ ( ) 1x xf x ke xe≥ − −成立，求 的最大值。 【答案】（1） 在 上单调递增；在 上单调递减；（2） 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，得到 ，分别讨论 和 ，利用导数的方法，即可 得出单调性； （2）先由 ，令 ， 将问题转化为求 的最小值即可，对 求导，用导数的方法得出其单调性，进而可得 出其最小值，即可求出结果. 【详解】解：（1）由题意可得， ， ①当 时， 恒成立，即 在 上单调递增； ②当 时，由 ； 由 ； 即 在 上单调递增；在 上单调递减； （2）由 ， 因此，存在 ，满足 即可， 令 ， 则，只需求 的最小值即可； 又 ， 因函数 在 恒单调递增， 又 ， ，所以 恒成立， 即 在 恒单调递减， 所以 ，即 . k ( )f x ( )0, lnx a∈ − ( )ln ,x a∈ − +∞ 4 e ( )' 1 xf x ae= − 0a ≤ 0a > ( ) 11 1x x x x x bf x x e b ke xe k x e + += − + ≥ − − ⇒ ≤ + − ( ) 3 1x xg x x e += + − ( )g x ( )g x ( )' 1 xf x ae= − 0a ≤ ( )' 1 0xf x ae= − > ( )f x R 0a > ( ) ( )' 1 0 0, lnxf x ae x a= − > ⇒ ∈ − ( ) ( )' 1 0 ln ,xf x ae x a= − < ⇒ ∈ − +∞ ( )f x ( )0, lnx a∈ − ( )ln ,x a∈ − +∞ ( ) 11 1x x x x x bf x x e b ke xe k x e + += − + ≥ − − ⇒ ≤ + − [ ]0,2b∈ 3 1x xk x e +≤ + − ( ) 3 1x xg x x e += + − [ ]0,1x∈ ( )g x ( ) ( )22' 1 x x x e xxg x e e − ++= − = ( )2xe x− + [ ]0,1x∈ ( )' 0 0g < ( )' 1 0g < ( )' 0g x < ( )g x [ ]0,1x∈ ( ) ( )min 41g x g e = = 4k e ≤【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、 最值等，对于由不等式恒成立求参数的问题，常用分离参数的方法求解，属于常考题型.