2019 年高三教学测试（2019.9）
数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填
写学校、班级、学号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页，全卷满分 150 分，
考试时间 120 分钟．
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么
．
如果事件 A，B 相互独立，那么
．
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
柱体的体积公式
，
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高．
锥体的体积公式
，
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高．
台体的体积公式
，
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高．
球的表面积公式
，
其中 R 表示球的半径．
球的体积公式
，
其中 R 表示球的半径．第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.已知集合 （ 是虚数单位）， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合 A，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】因为 ，
又 ，所以 .
故选 C
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用指数函数和对数函数的单调性得出 和 的等价条件，然后再判断这两个
条件之间的充分必要关系.
【详解】 ， ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选：B．
【点睛】本题考查必要不充分条件关系的判断，同时也涉及了指数函数与对数函数的单调性，
一般转化为集合的包含关系来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
3.如图，函数 （ ）的图象为折线 ，则不等式 的解集
为A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在已知坐标系内作出 的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
【详解】由已知 的图象,在此坐标系内作出 的图象,如图
由图像可得，满足不等式 的 的范围是 ；
所以不等式的解集为
故选 C
【点睛】本题主要考查对数形式的不等式的解法，熟记对数函数的性质，灵活运用数形结合
的方法，即可求出结果，属于常考题型.
4.已知 满足条件 ，则 的最大值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】【分析】
先由题意，作出约束条件所表示的平面区域，再由目标函数 化为 ，结
合图像，即可得出结果.
【详解】由题意，作出约束条件 所表示的平面区域如下：
因为目标函数 可化为 ，
因此求目标函数的最大值，只需直线 在 轴的截距最大；
由图像可得，当直线 过点 时，截距最大，
此时 .
故选 C
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由题意作出平面区域，结合图像求解即可，
属于常考题型.
5.袋中有形状、大小都相同且编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个球，其中 1 个白球，2 个红球，
2 个黄球．从中一次随机取出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由题意确定基本事件的总数，再根据这 2 个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，即
可求出结果.
【详解】袋中有形状、大小都相同且编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个球，其中 1 个白球，2
个红球，2 个黄球，从中一次随机取出 2 个球，基本事件的总数为 ，
这 2 个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，
所以这 2 个球颜色不同的概率为 .
故选 D
【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概念的计算公式即可，属于常考题型.
6.已知向量 与 不共线，且 ，若 ，则向量 与 的夹角为
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，直接计算向量 与 的数量积，即可得出结果.
【详解】因为向量 与 不共线，且 ， ，
所以 ，
所以向量 与 的夹角为 .
故选 A
【点睛】本题主要考查向量的夹角运算，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
7.如图，已知抛物线 和圆 ，直线 经过 的焦点 ，自上而下依
次交 和 于 A，B，C，D 四点，则 的值为A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意得到 ，设直线 ，联立直线与抛物线方程，设 ，
结合韦达定理得到 ，再由抛物线的定义，得到 ， ，进而可求出结
果.
【详解】因为抛物线 的焦点为 ，
又直线 经过 的焦点 ，设直线 ，
由 得 ，
设 ，则
由题意可得： ，
同理 ，
所以 .
故选 C
【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，以及向量数量积的运算，熟记向量数量积的定
义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型.
8. ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
构造函数 ，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.
【详解】构造 形式，则 ， 时导函数 ，
单调递增； 时导函数 ， 单调递减．又 为偶函数，
根据单调性和对称性可知选 D.故本小题选 D.
【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属
于中档题.
9.已知各棱长均为 的四面体 中， 是 的中点， 直线 ，则 的最小值
为（ ）
A. 1＋ B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将 旋转至与 共面，连结 ，则它与 的交点 ，即为使 取最小值的点，
然后在 中利用余弦定理求出 的值.
【详解】如图，将 旋转至与 共面，连结 ，则它与 的交点 ，即为使
取最小值的点．
易知 ，
在 中由余弦定理得 ，
从而由平方关系得 ，
在 中由余弦定理得
，
所以 ．【点晴】本题考查空间求线段和差的最值问题，一般转化到同一个平面上处理，结合三角形
的正弦、余弦定理求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.已知 ，关于 的不等式 在 时恒成立，则
当 取得最大值时， 的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先得到当 时，不等式显然成立．
再由 ，将原不等式化为 ，即直线 夹在曲线段
， 和 ， 之间．结合函数图像，以及导数的几何意
义，即可求出结果.
【详解】当 时，不等式显然成立．
当 时， ，即 ，即直线
夹在曲线段 ， 和 ， 之间．
作出函数 与 在 上的图像如下：由图像易知， 最大值为 0，直线 过点 时， 取最大值为 ，
当直线 与 相切时， 取最小值；
设切点为 ，则
由 得 ，
所以在 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
因为该切线过原点，
所以 ，化简得 ，所以 ，
所以 .
即 的最小值为 ，
因此 的取值范围为 .
故选 A
【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的几何意义，即可求解，属于常考题型.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则俯视图的面积为_________ ，该几何体的体积为________ ．
【答案】 (1). 6. (2). 8.
【解析】
【分析】
先由题意得到该几何体为底面是直角三角形的三棱锥，进而可求出结果.
【详解】由三视图可知，该几何体为底面是直角三角形的三棱锥，且其中一条侧棱与底面垂
直，图像如图所示：
根据题中数据，可得：其俯视图的面积为 ；
该三棱锥的体积为 .
故答案为 (1). 6. (2). 8.
【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的体积，熟记简单几何体的结构特征，
以及棱锥的体积公式，即可求解，属于常考题型.
12.已知 是公差为 的等差数列， 为其前 项和，若 ， ， 成等比数列，
则 _____，当 _______时， 取得最大值．
【答案】 (1). 19. (2). 10.
【解析】
【分析】根据题意，列出方程，即可求出首项，再由等差数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
又 是公差为 的等差数列，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
因此，当 时， 取得最大值．
故答案为(1). 19. (2). 10.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记数列的求和公式与通项公式即可，属于常
考题型.
13.已知函数 （ ），则 的最小正周期为_______；当
时， 的最小值为________．
【答案】 (1). . (2). 0.
【解析】
【分析】
先将函数整理得到 ，根据周期的计算公式，即可求出结果；再根据余弦函数
的值域，即可求出结果.
【详解】因为
，
所以 最小正周期为 ；
因为 ，所以 ，所以 ，
因此， .
即 的最小值为 0.
故答案为(1) ；(2)0
【点睛】本题主要考查三角函数的周期与最值，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
的14.二项式 的展开式中，所有有理项（系数为有理数， 的次数为整数的项）的系
数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有____种．（用数
字作答）
【答案】 (1). 32. (2). 144.
【解析】
分析】
根据二项展开式 通项公式得到二项式 的展开式的通项，即可得出有理项，从而
可求出结果.
【详解】因为二项式 的展开式的通项为 ，
因为 ，所以 ，
故所有有理项的系数为 ；
把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有 种.
【点睛】本题主要考查二项展开式的特定项系数问题，以及排列问题，熟记二项式定理以及
排列数的计算公式即可，属于常考题型.
15.△ 中， ， ， 上的高 ，且垂足 在线段 上， 为△ 的垂心
且 （ ），则 ________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据题意，求出 ， ，得到 ，进而可得 ，再由 三
点共线，得到存在实数 ，使得 ，进而可求出结果.
【详解】由题意，因为 ， ， ， 上的高 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 为△ 的垂心，所以 三点共线，
【
的因此存在实数 ，使得 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.
16.已知 是椭圆 （ ）和双曲线 （ ）的一个交点，
是椭圆和双曲线的公共焦点， 分别为椭圆和双曲线的离心率，若 ，
则 的最小值为________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据题意，不妨设点 在第一象限，那么 ，根据椭圆与双曲线的定义，得到
， ， 根 据 余 弦 定 理 ， 整 理 得 到 ， 化 为
，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点 在第一象限，那么 ，
因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为 ，
根据椭圆与双曲线的定义，有：
， ，
解得 ， ，
在 中，由余弦定理，可得：
，
即 ，
整理得 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单
性质，结合基本不等式，即可求解，属于常考题型.
17.已知 ，函数 若函数 恰有 2 个不同的零点，则
的取值范围为________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
先由题意得到 在区间 上必须要有零点，求出 ，所以
必为函数 的零点，进而可得到 在区间 上仅有一个
零点.根据二次函数的单调性，即可得出结果.
【详解】由已知可得 在区间 上必须要有零点，
故 解得： ，
所以 必为函数 的零点，
故由已知可得： 在区间 上仅有一个零点.
又 在 上单调递减，
所以 ，
解得 .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查由函数零点求参数 问题，根据分段函数的性质，以及二次函数的特
征即可求解，属于常考题型.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）
18.已知 分别为△ 三个内角 的对边，且满足
．
的（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）当 时，求△ 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，先由正弦定理得到 ，再由余弦定理，即可求出
结果；
（Ⅱ）先由余弦定理得到 ，根据基本不等式以及三角形面积公式，即可求出
结果.
【详解】（Ⅰ）由正弦定理 可得
，化简即为 ，
从而 ，
所以 ．
（Ⅱ）由 ，根据余弦定理可得 ，
当且仅当 时，取等号；
故 ，
此时△ 是边长为 2 的正三角形．
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，即可得出结果，属于常考题型.
19.如图,四棱锥 中， , ， ，△ 是等边三角形，
分别为 的中点．（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）3.
【解析】
分析】
（Ⅰ）取 中点 ，连接 、 ，根据线面平行的判定定理，得到平面 平面 ，进而可
得 平面 ；
（Ⅱ）连接 ，根据题意得到 是二面角 的平面角，过点 作 于 ，得
到 平面 ， 是直线 与平面 所成角的平面角，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】（Ⅰ）取 中点 ，连接 、 ．
由于 ， ， ， ，
从而平面 平面 ．
又 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）连接 ．
由于 ， ，
【则 是二面角 的平面角， ， 是边长为 的正三角形，且
平面 ．
又 平面 ，则平面 平面 ．
过点 作 于 ，则 ， 平面 ， 是直线 与平面 所成角的平面
角．
由于 分别是 的中点，则 ，从而 ，即直线 与平面
所成角的正切值为 3.
【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及直线与平面所成的角，熟记判定定理以及几何法
求线面角即可，属于常考题型.
20.已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ N*）．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 为数列 的前 项和，求证： ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由题意得到 ，再由 时，结合题中条件，即可得到 ，根据等
比数列的通项公式，即可求出结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到 ，利用错位相减法，即可求出 ，进而可证明结论成立.
【详解】（Ⅰ）当 时 ．当 时， ，两式相减得： ．
故 是以 3 为公比的等比数列，且 ，
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ，
由错位相减法
（1）
（2）
两式相减得： ，
求得： ．
所以 ．
【点睛】本题主要考查等比数列，以及错位相减法，熟记等比数列的通项公式与求和公式，
以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.
21.已知椭圆 （ ）的焦距为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若点 ，设 为椭圆 上位于第三象限内一动点，直线 与 轴交于点 ，直线 与
轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值，并求出该定值．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）四边形 的面积 为定值 2；证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由题意得到 ， ，从而可求出 ，进而可得椭圆方程；
（Ⅱ）先设 （ ， ），根据椭圆方程得到 ，再由题意得到直
线 的方程为 ，表示出 ，再由直线 的方程为 ，表示出
，根据四边形 的面积 ，化简整理，即可得出结论成立。
【详解】（Ⅰ）由题意， ，且 ，求得 ，所以 ．所以椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）设 （ ， ），则 ．
又 ， ，所以直线 的方程为 ．
令 ，得 ，从而 ．
直线 的方程为 ．
令 ，得 ，从而 ．
所以四边形 的面积
所以四边形 的面积 为定值 2．
【点睛】本题主要考查根据 求椭圆方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方
程，以及椭圆的简单性质，即可求解，属于常考题型.
22.已知函数 （ ，其中 e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 ，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数 有两个不同的零点 ．
（ⅰ）当 时，求实数 的取值范围；
（ⅱ）设 的导函数为 ，求证： ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先对函数求导，得到 ，根据 ，由 ，即可求出单调递增
区间；
（Ⅱ）（ⅰ）先由（Ⅰ）得到 ，分 和 两种情况讨论，用导数的方
法研究函数的单调性，进而可得出结果；
（ⅱ）先由题意得到 ，从而有 ，设 ， ，构造函数，根据导数的方法研究函数的单调性，进而可证明结论成立.
【详解】（Ⅰ）由题意得 ，当 时，令 ，得 ，函数
的单调递增区间为 ；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知， ，
当 时， ,函数 在 R 上单调递增，不合题意，所以 .
又 时， ； ， ，
函数 有两个零点 ，函数 在 递减，函数 在
递增， ，
，得 .
（ⅱ）由题意得：
，两式相减，得 ，
不妨设 ， ，则
令 ， ,
,
在 上单调递减， ，即 ．
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数的单调
性，最值等，属于常考题型.
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