江苏淮安楚州中学2020届高三数学（文）第三次阶段试卷（Word版带解析）

2020 届楚州中学高三年级第三次阶段测试高三数学（文）试卷 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应 的位置.） 1.函数 的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 分析】 利用正切型函数 周期求解公式求解. 【详解】因为正切型函数的周期为 ，所以最小正周期为 . 【点睛】本题主要考查正切型函数的周期求解方法，熟记求解公式 是解决本题的关键， 侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知向量 ，且 ，则实数 的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据 ，即可得出 ，从而求出 的值。 【详解】解： ， ， ，故答案为：1。 【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，是简单题。 3.设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的 切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据奇函数的定义，得到 ，即 ，从而确定出函数的解析式，之后对函数求 【 的 y 2tan(3 )3x π= − 3 π = = 3T ω π π 3 π =T ω π (2, ), (1, 2)a bm= = −  a b⊥  m a b⊥  2 2 0a b m⋅ = − =  m a b⊥   2 2 0a b m∴ ⋅ = − =  1m∴ = ( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0， y x= 1 0a − = 1a =导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成 一般式，得到结果. 【详解】因为函数 是奇函数， 所以 ，从而得到 ，即， 所以 ，所以 ，所以切点坐标是 ， 因为 ，所以 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 故答案是 . 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义， 导数的几何意义，属于简单题目. 4.已知向量 ， ， ，则 ________. 【答案】5 【解析】 【分析】 本题首先可以根据 得出 ，然后根据 得出 ，最后通过 化简即可得出结果。 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 即 ， 。 【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若 ，则 ，考查计算能力，是简单题。 5.已知函数 ，若不等式 的解集为 ，则 的值为___________． 3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − + ( ) ( )f x f x− = − 1 0a − = 3( )f x x x= + (0) 0f = (0,0) 2( ) 3 1xf ' x= + '(0) 1f = ( )y f x= (0,0) y x= y x= (2,1)a = 10a b⋅ =  5 2a b+ =  b = (2,1)a = 2 5a = 5 2a b+ =  2 50a b + = (2,1)a = 2 5a = 5 2a b+ =  2 2 2 2 50a b a b a b     + = + + ⋅ = 2 5 20 50b+ + = 5b = ( , )a x y= 2 2 2xa y = + ( ) ( )3 2 0ax bx d af x cx= + + + ≠ ( ) 0f x x′ + > ( )1,1− c ba +【答案】 【解析】 【详解】试题分析： ，整理为 的解集是 ，所以 ，即 ， ，所以 ，故填： . 考点：一元二次方程与韦达定理 6.已知 θ 是第四象限角，且 cosθ＝ ，那么 的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】 由同角三角函数的基本关系得 sinθ，利用两角和公式及二倍角公式化简 求解 即可. 【详解】依题意，有：sinθ＝－ ， ＝ ＝ ＝ 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于 基础题. 7.已知函数 f(x)的导函数 ，x∈(－1,1)，f(0)＝0，若 ，则实数 x 的取值范围__________. 7 2 − ( ) 0f x x′ + > 23 (2 1) 0ax b x c+ + + > ( 1,1)− 2 1 0b + = 1 2b = − 13 c a = − 1 73 2 2 c ba + = − − = − 7 2 − 4 5 sin( )4 cos(2 6 ) πθ θ π + − 5 2 14 ( ) sin 4 cos 2 6 πθ θ π  +   − 3 5 sin( )4 cos(2 6 ) πθ θ π + − sin cos cos sin4 4 cos2 π πθ θ θ + 2 3 2 4 2 5 2 5 2 42 ( ) 15 − × + × × − 5 2 14 5 2 14 ( ) 5 cosf x x= +′ 2(1 ) (1 ) 0f x f x− + − ∴ ( ) 5 sinf x x x a= + + 0a = ( ) 5 sinf x x x= + 2(1 ) (1 ) 0f x f x− + − < ( )2 2(1 ) (1 ) 1f x f x f x− < − − = − 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x − < − a 3 +4  − ∞  ， 1 1( )4 2x xa > − + ( ],1x∈ −∞ 1 1( )4 2x xy = − + 0y > 1 1( )4 2x xa > − + ( ],1x∈ −∞ 1 2xt = 1[ , )2t ∈ +∞ 2 21 1( ) ( )2 4a t t t> − + = − + + 1[ , )2t ∈ +∞ 21 1 3( )2 4 4t− + + ≤ − 3 4a > −11.设函数 是偶函数，当 时， ，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 作出函数 的图象，将问题转化为当直线 与函数 的图象有四个交点 时，求实数 的取值范围，利用数形结合思想可求解. 【详解】令 ，得 ，则问题可转化为：当直线 与函数 的图象有四个交点时，求实数 的取值范围. 作出函数 的图象如下图所示，当 时，直线 与函数 的图象 有四个交点，因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数的交点个数， 利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 12.设函数 则满足 的 x 的取值范围是____________. ( )f x 0x ≥ ( ) ( )3 ,0 3 3 1, 3 x x x f x xx  − ≤ ≤= − + > ( )y f x m= − m 91, 4     ( )y f x= y m= ( )y f x= m ( ) 0f x m− = ( )f x m= y m= ( )y f x= m ( )y f x= 91 4m≤ < y m= ( )y f x= m 91, 4     91, 4     1 0( ) 2 0x x xf x x + ≤=  > ， ， ， ， 1( ) ( ) 12f x f x+ − >【答案】 【解析】 由题意得： 当 时， 恒成立，即 ；当 时， 恒成立，即 ；当 时， ，即 .综上，x 的取值范围是 . 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数 解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到 及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 13.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 四点均位于图中的“晶格点”处，且 的位置所图所示，则 的最大值 为________． 【答案】24 【解析】 先 建 立 直 角 坐 标 系 ， 由 向 量 投 影 知 取 最 大 值 时 , 即 1( , )4 − +∞ 1 2x > 1 22 2 1xx −+ > 1 2x > 10 2x< ≤ 12 1 12 x x+ − + > 10 2x< ≤ 0x ≤ 1 11 1 12 4x x x+ + − + > ⇒ > − 01 4 x− < ≤ 1( , )4 − +∞ , , ,A B C D ,A B AB CD⋅  AB CD⋅  3 9(0,5), ( 3,0), ( , ), (0,0)2 2C D A B− AB CD⋅  3 9 3 45( , ) ( 3, 5) 242 2 2 2 = − − ⋅ − − = + =点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式 a·b＝ x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行 化简. 14.在 中， ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 与 诱 导 公 式 化 简 可 得 ， 即 ，可得 为锐角， 为钝角， 展开代入利用基本不等 式的性质即可得出 的最大值，结合 的范围即可得解． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，可得 为锐角， 为钝角． ∴ ， 当且仅当 时取等号， ∴ 的最大值是 ， ∵A 为锐角，∴A 的最大值是 ，故答案为 ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了 ABC△ sin 2sin cos 0A B C+ = A 6 π 3sin cos cos sin 0B C B C+ = 3tan tanB C= − B C ( )tan tanA B C= − + tan A A sin 2sin cos 0A B C+ = ( )sin 2sin cos 0B C B C+ + = 3sin cos cos sin 0B C B C+ = cos 0C ≠ cos 0B ≠ 3tan tanB C= − B C ( ) ( ) 2 tan 3tantan tantan tan 1 tan tan 1 3tan B BB CA B C B C B − −+= − + = − =− + 2 2 3 1 32 33tantan BB = ≤ = + 3tan 3B = tan A 3 3 6 π 6 π推理能力与计算能力，属于中档题． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.已知函数 ． （1）求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量 x 的取值集合； （2）若 ，求函数 的单调增区间． 【答案】（1） 取得最小值 0， （2）单调增区间是 和 ． 【解析】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 二 倍 角 的 正 弦 公 式 、 二 倍 角 的 余 弦 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 化 简 ， 再 根 据 余 弦 函 数 的 性 质 可 得 当 ， 即 时 ， 取 得 最 小 值 ； （ 2 ） 令 ， 解 得 ， 结 合 ，分别令 ， 可得函数在 的单调增区间是 和 . 试题解析：（1） ． 2( ) ( 3 cos sin ) 2 3sin 2f x x x x= + − ( )f x ( )f x ,2 2x π π ∈ −   ( )f x ( )f x ,3x x k k Z ππ = + ∈    ,2 6 π π − −   ,3 2 π π     ( ) 2 2 23f x cos x π = + +   2 23x k π π π+ = + ( ) 3x k k Z ππ= + ∈ ( )f x 0 ( )2 2 2 23k x k k Z ππ π π π+ ≤ + ≤ + ∈ ( )5 3 6k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ ,2 2x π π ∈ −   1k = − 0k = ,2 2 π π −   ,2 6 π π − −   ,3 2 π π     ( ) ( )2 3cos sin 2 3sin2f x x x x= + − 2 23cos 2 3sin cos sin 2 3sin2x x x x x= + + − ( )3 1 cos2 1 cos2 3sin22 2 x x x + −= + − cos2 3sin2 2x x= − + 2cos 2 23x π = + +  当 ，即 时， 取得最小值 0． 此时， 取得最小值时自变量 x 的取值集合为 ． （2）因为 ， 令 ， 解得 ， 又 ，令 ， ，令 ， ， 所以函数在 的单调增区间是 和 ． 【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函 数的图像与性质，属于中档题. 的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：① 若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的 减区间， 求得增区间；②若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画 出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间. 16.在 中，角 的对边分别为 已知 . （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 2 23x k π π π+ = + ( ) 3x k k Z ππ= + ∈ ( )f x ( )f x ,3x x k k Z ππ = + ∈    ( ) 2cos 2 23f x x π = + +   ( )2 2 2 23k x k k Z ππ π π π+ ≤ + ≤ + ∈ ( )5 3 6k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ ,2 2x π π ∈ −   1k = − ,2 6x π π ∈ − −   0k = ,3 2x π π ∈   ,2 2 π π −   ,2 6 π π − −   ,3 2 π π     cos( )y A xω ϕ= + 0, 0A ω> > xω ϕ+ 2k xπ ω ϕ≤ + ≤ ( )2k k Zπ π+ ∈ 2 2 2k x kπ π ω ϕ π π+ ≤ + ≤ + 0, 0A ω> < ω ABC∆ , ,A B C , , ,a b c 5 2c b= 2C B= cosB AB AC CA CB⋅ ⋅=    cos 4B π +   5 4 2 10 −（1）由正弦定理，边化角，及 ，可求得 ； （2）由向量的数量积公式转化为三角形的边角等式，再利用余弦定理统一边，可得 ， 再由三边关系及角 B 的余弦定理可求 ，再由同角关系及和角公式可求. 【详解】（1）因为 ，则由正弦定理，得 ． 又 ，所以 ，即 ． 又 是 的内角，所以 ，故 ； （2）因为 ， 所以 ， 则由余弦定理，得 ，得 ． 从而 ， 又 ，所以 ． 从而 ． 【点睛】（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是 三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时 一般考虑利用余弦定理进行转化； （2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用， 要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑 用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特 征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到； （3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理 确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解； （4）注意向量关系与边角关系 转化及面积中边角关系的应用.的 sin sin 2C B= 5cos 4B = a c= 3cos 5B = 5 2c b= 5sin sin2C B= 2C B= 5sin 2 sin2B B= 4sin cos 5 sinB B B= B ABC∆ sin 0B > 5cos 4B = AB AC CA CB⋅ ⋅=    cos coscb A ba C= 2 2 2 2 2 2b c a b a c+ − = + − a c= 2 2 2 3cos 2 5 a c bB ac + −= = 0 B π< < 2 4sin 1 cos 5B B= − = 2cos cos cos sin sin4 4 4 10B B B π π π + = − = −  17.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 ，深度为 .如果池底每 的 造价为 150 元，池壁每 的造价为 120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为多 少米？ 【答案】160m 【解析】 【分析】 设出池底的长为 ，表示出另一边的长度，根据造价情况表示出水池的总的造价，结合基本不 等式求解最值. 【详解】设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ， 由题意可得水池总造价 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时， 有最小值 297600， 此时另一边的长度为 ， 因此，当水池的底面周长为 时，水池的总造价最低，最低总造价是 元， 故答案为 160． 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，根据题意构建数学模型是求解的关键，侧重 考查数学建模的核心素养. 18.已知函数 为实数） （1）若 在 处有极值，求 a 的值； （2）若 在 上是增函数，求 a 的取值范围． 34800m 3m 21m 21m x xm 4800 3 mx ( ) 4800 4800150 120 2 3 2 33 3f x x x  = × + × + × ×   ( )1600240000 720 0x xx  = + + >   ( ) 1600 1600720 240000 720 2 240000 720 2 40 240000 297600f x x xx x  = + + ≥ × ⋅ + = × × + =   1600x x = 40x = ( )f x 4800 403 mx = 160m 297600 2( ) 2ln(1 )(f x ax x a= + − ( )f x 1x = − ( )f x [ ]3, 2− −【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)先求解导数 ，根据 是极值点，可得 ，从而可求 的值； （2）根据 在 上是增函数可得 在 恒成立，再利用分离参数法 可求 的范围. 【详解】（1） ， 因为 在 处有极值，所以 ，即 ，解得 ， 经检验可得符合题意，所以 . （2）因为 在 上是增函数，所以 在 恒成立， 即有 恒成立， 当 时， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查利用极值求解参数和利用单调性求解参数范围，恒成立问题一般是利 用分离参数法求解，分离参数后转化为求解新函数的最值问题. 19.已知函数 是偶函数. （1）求实数 的值； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为函数 是偶函数，所以有 ，即求出 的值； 1 2a = − 1 6a ≤ − ( )f x′ 1x = − ( 1) 0f ′ − = a ( )f x [ ]3, 2− − ( ) 0f x′ ≥ [ ]3, 2− − a 2( ) 2 1f x ax x ′ = + − ( )f x 1x = − ( 1) 0f ′ − = 2 1 0a− − = 1 2a = − 1 2a = − ( )f x [ ]3, 2− − ( ) 0f x′ ≥ [ ]3, 2− − 1 (1 )a x x ≤ − [ 3, 2]x∈ − − 21 1(1 ) ( ) [ 12, 6]2 4y x x x= − = − − + ∈ − − 1 6a ≤ − 4 1( ) 2 x x mf x ⋅ += m x 22 ( ) 3 1k f x k⋅ > + ( ,0)−∞ k 1m = 1[ ,1]3k ∈ ( )f x ( ) ( )f x f x− = m（2）分离参数 ，因为 ，所以不等式等价于 ， 使得不等式恒成立，只要 即可求出 的范围。 试题解析（1）因为函数 是定义域为 的偶函数，所以有 ， 即 ，即 ，故 . （2） ，且 在 上恒成立， 故原不等式等价于 在 上恒成立， 又 ，所以 ，所以 ，从而 ， 因此， . 20.已知函数 ，其中 是自然对数的底数， . (1) 若 是函数 的导函数，当 时，解关于 的不等式 ； (2) 若 在 上是单调增函数，求 的取值范围； (3) 当 时，求整数 的所有值，使方程 在 上有解． 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】 【分析】 (1)先求导数，所求不等式可化为 ax2＋(2a＋1)x>0 然后可求； (2) 在 上是单调增函数转化为 在 恒成立，结合根的分布求解； (3)根据零点存在定理和单调性，先确定零点所在区间，然后确定 的值. k ( ) 24 1 0 3 1 02 x xf x k += > + >， ( )2 2 1 3 1 k k f x >+ ( )2 2 1 max3 1 k k f x  >  +    k ( ) 4 1 2 x x mf x ⋅ += R ( ) ( )f x f x− = 4 1 4 1 2 2 x x x x m m − ⋅ + ⋅ += 4 4 1 2 2 x x x x m m+ ⋅ += 1m = ( ) 24 1 0 3 1 02 x xf x k += > + >， ( ) 22 3 1k f x k⋅ > + ( ),0−∞ ( )2 2 1 3 1 k k f x >+ ( ),0−∞ ( ),0x∈ −∞ ( ) ( )2,f x ∈ +∞ ( ) 1 10, 2f x  ∈   2 2 1 3 1 2 k k ≥+ 1 ,13k  ∈   2( ) ( ) xf x ax x e= + e a R∈ ( )f x′ ( )f x 0a > x ( ) xf x e′ > ( )f x [ 1,1]− a 0a = k ( ) 2f x x= + [ , +1]k k ( )2 1, 0,a a + −∞ − ∪ +∞   2 ,03  −   { }3,1− ( )f x [ ]1,1− ( ) 0f x′ ≥ [ ]1,1− k【详解】(1) f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex. 不等式 f′(x)>ex 可化为[ax2＋(2a＋1)x]·ex>0. 因为 ex>0，故有 ax2＋(2a＋1)x>0. 当 a>0 时，不等式 f′(x)>ex 的解集是 . (2) 由(1)得 f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex. ① 当 a＝0 时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)>0 在[－1，1]上恒成立， 当且仅当 x＝－1 时取等号，故 a＝0 符合要求； ② 当 a≠0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1， 因为 Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0， 所以 g(x)＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2，不妨设 x1>x2， 因此 f(x)既有极大值又有极小值． 若 a>0，因为 g(－1)·g(0)＝－ax2， 因为 g(x) 图象开口向下，要使 f(x)在[－1，1]上单调，又 g(0)＝1>0， 必须满足 ，即 ，解得 ≤a0，所以 x＝0 不是方程的解， 所以原方程等价于 ex－ －1＝0，令 h(x)＝ex－ －1. 因为 h′(x)＝ex＋ >0 对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， 所以 h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数． 又 h(1)＝e－30，h(－3)＝e－3－ 0， 所以方程 f(x)＝x＋2 有且只有两个实数根， 且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上， 所以整数 k 的所有值为{－3，1}． 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解单调性问题，利用导数求解方程根的问题， 的 ( )2 1, 0,a a + −∞ − ∪ +∞   ( ) ( ) g 1 0 g 1 0  −   3 2 0 0 a a +  −   2 3 − 2 ,03  −   2 x 2 x 2 2 x 1 3综合性较强，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.