2020 届楚州中学高三年级第三次阶段测试
数学试卷（理科）
一、填空题：（请把正确答案填写在答题卡相应的位置.）
1.设全集 ，若集合 ，则 _________.
【答案】{3,4,5}
【解析】
【分析】
先求得集合 ,再计算补集即可
【详解】由题 =
则 {3,4,5}
故填{3,4,5}
【点睛】本题考查集合的运算，是基础题
2.命题“ ”的否定是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“ ”的否定命题： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．
3.设幂函数 的图像经过点 ，则 __________．
【答案】
【解析】
={ 2 5}U x Z x∈ − ≤ ≤ { }2 4A x Z x= ∈ ≤ =UC A
A
{ }2 4A x Z x= ∈ ≤ { }2, 1,0,1,2− −
=UC A
2, 2 1 0x R x x ≥∃ ∈ − +
2 2 1 0x R x x∀ ∈ − +
[ ]3,5x∈ 2 2 4 0x ax a− + − >
( ) [ ]
[ ]
2 22 4 0, 2 4, 3,5 , 2 0
2, 2 5,7 , 5.
x ax a a x x x x
a x x a
− + − > ∴ − − ∈ ∴ −
< + + ∈ ∴ <
又
即 又
p q q p q p p
q p q q p
A B A B B A A B A B16.已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为函数 是偶函数，所以有 ，即求出 的值；
（2）分离参数 ，因为 ，所以不等式等价于 ，
使得不等式恒成立，只要 即可求出 的范围。
试题解析（1）因为函数 是定义域为 的偶函数，所以有 ，
即 ，即 ，故 .
（2） ，且 在 上恒成立，
故原不等式等价于 在 上恒成立，
又 ，所以 ，所以 ，从而 ，
因此， .
17.已知函数 的图象过点 ，且在 P 处的切线恰好与直线
垂直．
（1）求 的解析式；
（2）若 在 上是减函数，求 m 取值范围．的
4 1( ) 2
x
x
mf x
⋅ +=
m
x 22 ( ) 3 1k f x k⋅ > + ( ,0)−∞ k
1m = 1[ ,1]3k ∈
( )f x ( ) ( )f x f x− = m
k ( ) 24 1 0 3 1 02
x
xf x k
+= > + >， ( )2
2 1
3 1
k
k f x
>+
( )2
2 1 max3 1
k
k f x
> +
k
( ) 4 1
2
x
x
mf x
⋅ += R ( ) ( )f x f x− =
4 1 4 1
2 2
x x
x x
m m
−
⋅ + ⋅ += 4 4 1
2 2
x x
x x
m m+ ⋅ += 1m =
( ) 24 1 0 3 1 02
x
xf x k
+= > + >， ( ) 22 3 1k f x k⋅ > + ( ),0−∞
( )2
2 1
3 1
k
k f x
>+ ( ),0−∞
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )2,f x ∈ +∞ ( )
1 10, 2f x
∈ 2
2 1
3 1 2
k
k
≥+
1 ,13k ∈
3 2( ) ( )f x ax bx x R= + ∈ ( 1,2)P −
3 0x y− =
( )f x
( ) ( ) 3g x mf x x= − ( 1,0)−【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）求导得直线斜率，再利用直线方程求解即可
（2）由题得 在 上恒成立，利用参量分离求范围即可
【详解】(1)由题意可得 ，
，解得： . 所以 ．
(2)因 ，所以 .
因为 在 上是减函数，所以 在 上恒成立，
即 .而 在 上单调递减，
所以 ， ，即 .
【点睛】本题考查导数几何意义，不等式恒成立问题，准确转化化归是关键，是基础题
18.某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元。为了增加企业竞争力，决定优化
产业结构，调整出 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为
万元 ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 .
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调
整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利
润，则 的取值范围是多少？
【答案】（1）500（2）(0， ．
【解析】
试题分析：设调整 名工人从事第三产业，由于剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高
，要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则
为
3 2( ) 3f x x x= + [ )1,m∈ − +∞
2( ) 3 6 3 0g x mx mx′ = + − ≤ ( 1,0)−
2( ) 3 2f x ax bx′ = +
( 1) 2
'( 1) 3 2 3
f a b
f a b
− = − + =
− = − = −
1
3
a
b
=
=
3 2( ) 3f x x x= +
3 2( ) ( ) 3 3 3g x mf x x mx mx x= − = + − 2( ) 3 6 3g x mx mx′ = + −
( )g x ( 1,0)− 2( ) 3 6 3 0g x mx mx′ = + − ≤ ( 1,0)−
2
1
2m x x
≥ + ( )22
1 1
2 1 1
y x x x
= =+ + − ( 1,0)−
1y < − 1m ≥ − [ )1,m∈ − +∞
*( )x x N∈
310( )500
xa − ( 0)a > 0 00.2x
a
5]
x，解出 ，最多调整 500 名员工从事第三产业；第二步从事第三产业的
员工创造的年总利润为 万元，从事原来产业的员工的年总利润为
万元，
若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润：
所以 ，所以 ，即
恒成立，由于 ，当且仅当 时取等号，所以
的最小值为 ；又 ，所以 ．
试题解析：（1）设调整 名工人从事第三产业，由题意，得
，即 ，又 x＞0，所以
．即最多调整 500 名员工从事第三产业
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，从事原来产业的员工的年总
利润为 万元，则 ，所以
，所以 ，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 ＝ ，即 时等号成立，
所以 ，又 ，所以 ．
所以 a 的取值范围为
考点：函数应用题
110(1000 )(1+0.2 )100x− ⋅ ≥
10 1000≥ × 0 500x< ≤
310( )500
xa x−
110(1000 )(1 )500x x− +
310( ) 10(1000 )(500
xa x− ≤ −
11 )500 x+ ≤ 1000 2x x+ − − ax ≤ 1000 x+ + a ≤ +
1+ 2 1000 2 10002 4500 500
x x
x x
+ ≥ ⋅ = 500x =
+ 1+ 5 0a > 0 5a< ≤
x
110(1000 )(1 0.2 ) 10 1000100x x− + ⋅ ≥ × 2 500 0x x− ≤ 2x
0 500x< ≤
310( )500
xa x−
110(1000 )(1 )500x x− + 3 110( ) 10(1000 )(1 )500 500
xa x x x− ≤ − +
≤
1000 2x x+ − − ax ≤ 1000 x+ + a ≤ + 1+
≥ 4= 500x =
5a ≤ 0a > 0 5a< ≤19.设函数 ，函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称．
(1)若 ，求 的值；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
试 题 分 析 ： （ 1 ） 依 题 意 知 ， 经 过 整 理 解 出 即 可 求 得 的 值 ； (2) 由
得 ，移项可得 ，结合基本不等式，故而
可求得实数 的取值范围.
试题解析：（1）由 得
所以 （舍）或 ，
所以
（2）由 得
而 ，当且仅当 时取等号
所以 ，所以 ．
20.已知函数 ， ，其中 .
（1）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；
（2）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， .（2） .（3） .
【解析】
( ) 2xf x = ( )g x ( )f x y
( ) ( )4 3f x g x= + x
[ ]0,4x∈ ( ) ( )2 3f a x g x+ − − ≥ a
2x = 2
11 log 32a ≥ +
2 4 2 3x x−= ⋅ + x
( ) ( )2 3f a x g x+ − − ≥ 22 2 3a x x+ − ≥ 2 2 3 2a x x−≥ + ⋅
a
( ) ( )4 3f x g x= + 2 4 2 3x x−= ⋅ +
22 3 2 4 0x x⇒ − ⋅ − =
2 1x = − 2 4x =
2x =
( ) ( )2 3f a x g x+ − − ≥ 22 2 3a x x+ − ≥
22 2 3a x x+ ≥ + 2 2 3 2a x x−⇒ ≥ + ⋅
2 3 2 2 3x x−+ ⋅ ≥ [ ]42 3 2 , log 3 0,4x x x−= ⋅ = ∈即
2 2 3a ≥ 2
11 log 32a ≥ +
( ) (3 2)xf x e x= − ( ) ( 2)g x a x= − ,a x R∈
(2,0) ( )y f x=
x∈R ( ) ( )f x g x≥ a
0x 0 0( ) ( )f x g x< a
2y x= − 8 8
3 39 18y e x e= −
8
31 9a e≤ ≤ 3 45[ ,1) (7 ,5 ]3a e ee
∈ ∪试题分析：（1）先设切点为 ， 切线斜率为 ，再建立切线方程
为 ，将 代入方程可得 ，即 ，进而
求得切线方程为： 或 .
（2）将问题转化为对任意 有 恒成立，①当 时，
，利用导数工具求得 ，故此时
；
②当 时，恒成立，故此时 ；③当 时，
，
利用导数工具求得 ，故此时 .综上： .
（3）因为 ，由（2）知 ，
当 ，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得
；当 ，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导
数工具求得 .综上： .
试题解析：
（1）设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，因为切线过 ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
当 时，切线方程为 ，
( )0 0,x y 求导可得 ( )0
03 1xe x +
( )( )0
0 0 03 1xy y e x x x− = + − ( )2,0 2
0 03 8 0x x− = 0
80, 3x =
2y x= − 8 8
3 39 18y e x e= −
x R∈ ( ) ( )3 2 2xe x a x− ≥ − ( ),2x∈ −∞
( ) ( )3 2 3 2
2 2
x x
max
e x e xa ax x
− −≥ ⇒ ≥ − −
( ) ( )max 0 1F x F= =
1a ≥
2x = a R∈ ( )2,x∈ +∞
( ) ( )
min
3 2 3 2
2 2
x xe x e xa ax x
− −≤ ⇒ ≤ − −
( ) 8
3
min
8 93F x F e = =
8
39a e≤
8
31 9a e≤ ≤
( ) ( )f x g x< ( ) 8
3,1 9 ,a e
∈ −∞ ∪ +∞
( ),2x∈ −∞ ( )3 2
2
xe xa x
−< − 0x
5 ,13a e
∈
( )2,x∈ +∞ ( )3 2
2
xe xa x
−> − 0x
( 3 47 ,5a e e ∈ ( 3 45 ,1 7 ,53a e ee
∈ ∪
( )0 0,x y ( ) ( )' 3 1xf x e x= + ( )0
03 1xe x +
( )( )0
0 0 03 1xy y e x x x− = + − ( )2,0
( ) ( )( )0 0
0 0 03 2 3 1 2x xe x e x x− − = + −
2
0 03 8 0x x− = 0
80, 3x =
0 0x = 2y x= −当 时，切线方程为 .
（2）由题意，对任意 有 恒成立，
①当 时， ，
令 ，则 ，令 得 ，
，故此时 .
②当 时，恒成立，故此时
③当 时， ，
令 ，
，故此时 .综上： .
（3）因为 ，即 ，
由（2）知 ，
令 ，则
.
0
8
3x = 8 8
3 39 18y e x e= −
x R∈ ( ) ( )3 2 2xe x a x− ≥ −
( ),2x∈ −∞ ( ) ( )3 2 3 2
2 2
x x
max
e x e xa ax x
− −≥ ⇒ ≥ − −
( ) ( )3 2
2
xe xF x x
−= −
( ) ( )
( )
2
2
3 8
'
2
xe x x
F x
x
−
=
−
( )' 0F x = 0x =
( ) ( )max 0 1F x F= = 1a ≥
2x = a R∈
( )2,x∈ +∞ ( ) ( )
min
3 2 3 2
2 2
x xe x e xa ax x
− −≤ ⇒ ≤ − −
( ) 8' 0 3F x x= ⇒ =
( ) 8
3
min
8 93F x F e = =
8
39a e≤
8
31 9a e≤ ≤
( ) ( )f x g x< ( ) ( )3 2 2xe x a x− < −
( ) 8
3,1 9 ,a e
∈ −∞ ∪ +∞
( ) ( )3 2
2
xe xF x x
−= −当 ，存在唯一的整数 使得 ，
等价于 存在唯一的整数 成立，
因为 最大， ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，
所以 .
当 ，存在唯一的整数 使得 ，
等价于 存在唯一的整数 成立，
因 最小，且 ， ，所以当 时，至少有两个整数
成立，
所以当 时，没有整数成立，所有 .
综上： .
为
( ),2x∈ −∞ 0x ( ) ( )0 0f x g x<
( )3 2
2
xe xa x
−< − 0x
( )0 1F = ( ) 51 3F e
− = ( ) 11F e
= − 5
3a e
<
5 ,13a e
∈
( )2,x∈ +∞ 0x ( ) ( )0 0f x g x<
( )3 2
2
xe xa x
−> − 0x
8
38 93F e =
( ) 33 7F e= ( ) 44 5F e= 45a e>
37a e≤ ( 3 47 ,5a e e ∈
( 3 45 ,1 7 ,53a e ee
∈ ∪
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