长沙市一中 2020 届高三月考试卷（二）
数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合 ，集合 ，由此能求出
【详解】因为 ， ，
所以 .
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
2.若 ，则复数 （ 为虚数单位）对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知角的范围可得 ， ，则答案可求．
详解】
，
复数 对应的点在第四象限.
【点睛】本题考查三角函数的象限符号，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【
{ }2| log ,0 8A y y x x= = < ≤ { }| 2 1xB x= > A B
( )0,3 ( ]0,3 ( ],3−∞ R
A B A B
{ } { }2| log ,0 8 | 3A y y x x y y= = < ≤ = ≤ { } { }| 2 1 | 0xB x x x= > = >
( ]0,3A B =
,02
πθ ∈ − cos sinz iθ θ= + i
cos 0θ > sin 0θ <
,02
πθ ∈ −
cos 0θ∴ > sin 0θ <
∴ cos sinz iθ θ= +3.已知偶函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题结合偶函数满足 以及单调递增关系,前后推导,即可.
【详解】结合偶函数的性质可得 ,而当 ,所以结合 在
单调递增,得到 ,故 可以推出 .举特殊例
子, ,但是 ,故由 无法得到 ,故 是
的充分不必要条件,故选 A.
【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即
可,属于较容易的题.
4.若向量 ， ， ，则 等于
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：设 ，利用两个向量坐标形式的运算法则，用待定系数法求出 和 的值，
即可求得答案.
详解：因为 ，设 ，则有 ，
即 ，解得 ，
( )f x [0, )+∞ a b、 >| |a b ( ) ( )f a f b>
( ) ( )f x f x= −
( ) ( )f x f x= − ,a b a b a> − < < ( )f x
[ )0,+∞ ( ) ( ) ( )f a f a f b= − > a b> ( ) ( )f a f b>
( ) ( ) ( )3 3 1f f f− = > 3 1− < ( ) ( )f a f b> a b> a b>
( ) ( )f a f b>
(1,1)a = (1, 1)b = − ( 1,2)c = − c
1 3
2 2a b− + 3 1
2 2a b− +
3 1
2 2a b− 1 3
2 2a b−
c a bλ µ= + λ µ
(1,1), (1, 1), ( 1,2)a b c= = − = − c a bλ µ= + ( 1,2) ( , )λ µ λ µ− = + −
1
2
λ µ
λ µ
+ = −
− =
1
2
3
2
λ
µ
=
= −所以 ，故选 D.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，先设出 ，
之后根据向量的运算法则以及向量相等的条件，建立关于 的等量关系式，求解即可得结
果.
5.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，排除选项 ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项 ，
从而可得结果.
【详解】函数 是偶函数，排除选项 ；
当 时，函数 ，可得 ，
当 时， ，函数是减涵数，当 时，函数是增函数，排除项选项 ，
故选 C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
1 3
2 2c a b= −
c a bλ µ= +
,λ µ
( ) e 2 1xf x x= − −
B ,A D
( ) 2 1xf x e x= − − B
0x > ( ) 2 1xf x e x= − − ( )' 2xf x e= −
( )0,ln 2x∈ ( )' 0f x < ln 2x > ,A D6.执行如图的程序框图，则输出 的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易知当 时，循环结束；再寻找 的规律求解.
【详解】计算过程如下：
2 －1 2 …
0 1 2 3 4 … 1024
是 是 是 是 是 是 否
当 时，循环结束，所以输出 .
故选 D.
【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律.
x
1
2 1−
1024y = x
x 1
2 1− 1−
y
1024y <
1024x = 1x = −7.已知 ， ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果.
【详解】∵ ， ，
∴
又 ，∴
∴
，
又
∴
综上：
故选：A
【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等
基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.已知函数 向右平移 个单位后得到 ，当 时，
函数 取得最大值，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
0a b> > bx a be= + ay b ae= + bz b ae= +
x z y< < z x y< <
z y x< < y z x< <
b ax a be y b ae= + = +， bz b ae= +
( )a by z a e e− = −
0 e 1a b> > ， ＞ a be e＞
y z＞
( ) ( ) ( )( )x 1b bz b a a b e a b e− = − + − = − −
0 1ba b e， ＞> >
xz＞
x z y< <
( ) ( )( )cos 2 0f x x ϕ π ϕ= + − < <
4
π ( )g x 7
12x
π=
( )g x 6g
π
3
2
− 3
2
1
2
− 1
2【分析】
把函数 向右平移 个单位后得到 ，根据 在
取得最大值可求得 ，即可求 的值。
【详解】 ，由 时，函数 取得最大值，
且 ，得 ， ， .
【点睛】本题主要考查正、余弦函数的图象的特征，诱导公式，函数 的图象
变换规律，属于基础题．
9.已知 是椭圆上一点， 是椭圆的一个焦点，则以线段 为直径的圆和以椭圆长轴为直
径的圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 内切 C. 内含 D. 相交
【答案】B
【解析】
【分析】
设 、 分别是椭圆的左右焦点，作出以 为直径的圆和以长轴为直径的圆 ，
设 的 中 点 为 ， 连 结 ， 利 用 三 角 形 中 位 线 定 理 与 椭 圆 的 定 义 ， 证 出
，得到两圆的圆心距等于它们半径之差，从而得到两圆的位置关系
是相内切．
【详解】设椭圆的方程为 ， 、 分别是椭圆的左右焦点，
作出以线段 为直径的圆和以长轴为直径的圆 ，如图所示．
设 中点为 ，连结 ，
是 的中位线，可得 ，即两圆的圆心距为
根据椭圆定义，可得 ，
( ) ( )( )cos 2 0f x x ϕ π ϕ= + − < <
4
π ( )g x ( )g x
7
12x
π= ϕ
6g
π
( ) ( )cos 2 sin 24g x x x
π ϕ ϕ = − + = +
7
12x
π= ( )g x
0π ϕ− < < 2
3
πϕ = − ( ) 2sin 2 3g x x
π = −
3sin6 3 2g
π π = − = −
sin( )y A xω ϕ= +
P F PF
F F′ PF 2 2 2x y a+ =
PF M PF′
1 1| | | | | |2 2OM PF a PF′= = −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F F′
PF 2 2 2x y a+ =
PF M PF′
OM∴ PFF ′∆ 1| | | |2OM PF′= 1 | |2 PF′
| | | | 2PF PF a′+ =圆心距 ，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，
因此，以 为直径的圆与以长半轴为直径的圆 相内切．
故选： ．
【点睛】本题给出椭圆以一条焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆，求两圆的位置关系．着
重考查了圆与圆的位置关系及其证明、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．
10.已知数列 满足 ，且 是函数 的两个零点，则
等于（ ）
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 依 题 意 可 知 ， ， ， ， 所 以
. 即 ， 故 ， ， ，
. ， 所 以 ， 又 可 知 .
,故 .
考点：函数的零点、数列的递推公式
11.已知函数 ，若方程 在区间 内的解为 ，
∴ 1 1 1| | | | (2 | |) | |2 2 2OM PF a PF a PF′= = − = −
PF 2 2 2x y a+ =
B
{ } { },n na b 1 1a = 1, nna a +
2( ) 2n
nf x x b x= − + 10b
1n n na a b++ = 1 2n
n na a +⋅ = 1
1 2 2n
n na a +
+ +⋅ =
1 2 2
1
2n n n
n n n
a a a
a a a
+ + +
+
⋅ = =⋅ 2 2n na a+ = 3 12a a= 5 3 12 4a a a= = 7 5 12 8a a a= =
9 7 12 16a a a= = 1 1a = 9 16a = 9
9 10 102 512, 32a a a⋅ = = ∴ =
10
10 11 112 1024, 32a a a⋅ = = ∴ = 10 10 11 64b a a= + =
( ) sin 2 4f x x
π = −
( ) 1
3f x = ( )0,π ( )1 2 1 2,x x x x ( ) 0f x <
( ), 1 0,12
π − − ∪
( )( ) sin
f xg x x
=
0 2x
π< < ( ) ( )' tan 0f x x f x− > ( ) ( )' sin cos 0f x x f x x− >
( )
' 0sin
f x
x
>
( ) ( )
sin
f xg x x
= 0, 2
π
( )g x ( )g x ,02
π − ( ) ( ) ( )11 1 0sin1
fg g− = = =
( ) ( ) ( ) ( )0 10 sin 0
sin 0
g x gf x g x x
x
> = −< ⇔ < ⇔
12 x
π− < < − 0 1x< <
( ) 0f x < ( ), 1 0,12
π − − ∪ （一）必考题：共 60 分.
17.已知正项等比数列 为递增数列， 为其前 项和，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，
求 的最小值.
【答案】（1） .（2）
【解析】
【分析】
（1）已知 为正项等比数列，根据 ， 构造方程组，解得 与 ，
即可求出数列 的通项公式。
（2）由（1）的通项公式计算出 的通项公式，利用裂项相消法求出数量 的前 项
和 ，可求 的最小值。
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
则 ，得 .
，解得 ，或 （舍），
所以 .
（2）∵ ，
∴ ，
{ }na nS n 3 7S =
1 2 3
1 1 1 7
4a a a
+ + =
{ }na
23log 2n nb a= +
1
1
n nb b +
n nT nT λ< *n N∈
λ
12n
na -=
1
6
{ }na 3 7S =
1 2 3
1 1 1 7
4a a a
+ + =
1a q
{ }na
nb
1
1
n nb b +
n
nT λ
{ }na ( )1q q >
1 2 31 2
2
1 2 3 1 3 2 2
1 1 1 1 a a aa a
a a a a a a a
+ +++ + = + = 3
2 2
2 2
7 7
4
S
a a
= = =
2 2a =
3 1 2 3
2 2 2 7S a a a qq
= + + = + + = 2q =
1
2q =
2 2 1
2 2 2 2n n n
na a q − − −= = × =
23log 2 3 1n nb a n= + = −
( )( )1
1 1 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1 3 2n nb b n n n n+
= = − − + − +
1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 3 1 3 2nT n n
= − + − +⋅⋅⋅+ − − + ，
∴ ，即 的最小值为 .
【点睛】（1）利用基本量法构造方程组求数列 的通项公式。
（2）裂项相消法求和法：
适用情形：①分式型数列；②分母中有两个或两个以上的因式，且因式结构相似.
裂项的基本原理：将分子视为分母两因式之差的倍数.
常见的裂项公式： （其中 为等差数列 的公差，且 ），
， ， ；
18.如图所示，在梯形 中， ， ，四边形 为矩形，且
平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成锐二面角为 ，试求 的取
值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明 ． ，转化证明 平面 ，然后推出 平面
；
( )
1 1 1 1 1 1
3 2 3 2 6 4 6 3 3 2 6
n
n n n
= − = = − 400n = Y ( )E Y
X
1A [20 25) 2A 3A
1 2 3
18 1 36 2 36 2( 200) ( ) , ( 400) ( ) , ( 600) ( )90 5 90 5 90 5P X P A P X P A P X P A= = = = = = = = = = = =
X
X
P
1
5
2
5
2
5
200n ( ) 2 400E Y n=
200 400n<
1 4 6( ) [200 2 ( 200) ( 2)] 2 160 (400,640]5 5 5E Y n n n= × × + − × − + × × = + ∈
400 600n<
1 2 2( ) [200 2 ( 200) ( 2)] [400 2 ( 400) ( 2)] 25 5 5E Y n n n= × × + − × − + × × + − × − + × ×
2 800 [560,640)5 n= − + ∈
600n >
1 2 2( ) [200 2 ( 200) ( 2)] [400 2 ( 400) ( 2)] [600 2 ( 600) ( 2)]5 5 5E Y n n n= × × + − × − + × × + − × − + × × + − × −
1760 2 560n= − <
400n = Y ( )E Y20.已知点 到点 的距离比它到直线 距离小
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作互相垂直的两条直线 ，它们与（Ⅰ）中轨迹 分别交于点
及点 ，且 分别是线段 的中点，求 面积的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）36
【解析】
【分析】
（Ⅰ）可知点 到点 的距离与到直线 距离相等，根据抛物线定义可得方
程；（Ⅱ）设直线 ，与抛物线方程联立后利用韦达定理和中点坐标公式可求得
点坐标，同理可求得 点坐标；从而用 表示出 ，根据两条直线互相垂直得
到 ，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】（Ⅰ）由题意知，点 到点 的距离与到直线 距离相等
由抛物线的定义知，轨迹 是以 为焦点，以直线 为准线的物线
的轨迹 的方程为：
（Ⅱ）设直线
联立 得：
设 ，
则 ，
设直线 .同理可得：
， ，易知直线 的斜率存在且均不为
，即：
M ( )3,0F : 5 0l x + = 2
M E
( )( ),0 0P m m > 1 2,l l E
,A B ,C D ,G H ,AB CD PGH∆
2 12y x=
M ( )3,0F : 3 0l x′ + =
1 1:l x t y m= +
G H 1 2,t t ,PG PH
1 2 1t t = −
M ( )3,0F : 3 0l x′ + =
E ( )3,0F : 3 0l x′ + =
M∴ E 2 12y x=
1 1:l x t y m= +
1
2 12
x t y m
y x
= +
=
2
112 12 0y t y m− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2 112y y t+ = ( ) 2
1 2 1 1 2 12 12 2x x t y y m t m+ = + + = + ( )2
1 16 ,6G t m t∴ +
2 2:l x t y m= + ( )2
2 26 ,6H t m t+
2
1 16 1PG t t∴ = + 2
2 26 1PH t t= + 1 2l l、 0
1 2
1 1 1t t
∴ ⋅ = −
1 2 1t t = −
( )( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 sin 18 1 1 18 2 18 4 362PGHS PG PH PGH t t t t t t∆∴ = ∠ = + + = + + ≥ =当且仅当 时取等号
面积的最小值为
【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解抛物线的方程、直线与抛物线综合应用中的三角形
面积的最值求解问题.求解三角形面积最值的关键是能够结合韦达定理求得所需点的坐标和
线段长，从而利用变量表示出三角形面积，利用基本不等式求得最值.
21.已知函数 ，其中 ， ， 为自然对数的底数.
（1）若 ，且当 时， 总成立，求实数 的取值范围；
（2）若 ，且 存在两个极值点 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）若 ，且当 时， 总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数
的取值范围；
（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可．
【详解】（1）当 ，则 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增， ；
当 时， 在 ， 上单调递减，
在 ， 上单调递增，
，不成立，
即
1 2 1t t= =
PGH∴∆ 36
( ) 2 1
xef x ax bx
= + + 0a > b R∈ e
1b = 0x ≥ ( ) 1f x ≥ a
0b = ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2
31 2 f x f x ea
+ < + <
10, 2a ∈
1b = 0x ( ) 1f x a
1b = ( ) 2 1
xef x ax x
= + + 2 2
1 2( )
( ) ( 1)
x ae ax x af x ax x
−+
′ = + +
10 2a< ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( ) (0) 1f x f≥ =
1
2a > ( )f x [0 2 1]a
a
−
2 1[ a
a
−
)+∞
2 1( ) ( ) (0) 1min
af x f fa
− 1a >
1x 2x 2 2 1 0ax ax− + = 1 2 1 2
12,x x x x a
+ = =
1 2x x< 1 20 1 2x x< < < <
1 21 2 1 2
2 1
1 2 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) 1 1 2 2 2
x xx x x x e x e xe e e ef x f x ax ax ax ax
++ = + = + =+ +
1b = 1
2a = 0x ≥
2 11
xe
ax x
≥+ +
21 12
xe x x+ +≥ 0x =
0x > 21 12
x xe x> + +
2 2
1 2 1 2 2 2 1 1
1 1 1( ) ( ) 1 12 2 2f x f x x x x x x x
+ > + + + + +
( )1 2 1 2 1 2
1 1 42 2 x x x x x x = + + + +
1 6 22 2a
= +
3 12a
= +
( )2 1
1 121
1 2
2
1 1
1( ) ( ) 22 2
x x
x xx e x ef x f x x e x e−+ + = = + −
( ) ( )2 2x xh x xe x e−= + − ( )0 1x< <
( ) ( )( )` 21 0x xh x x e e −= − >+
( )h x ( )0,1 ( ) ( )1 2h x h e< = 1 2( ) ( )f x f x e+ <
( ) ( )1 2
31 2 f x f x ea
+ < + R
m
1a b c+ + = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2a b c− + + + +
( ) ( )3 3 3 3x x m x x m− + − ≥ − − − = −
( ) ( ) ( )2 2 21 1 2a b c− + + + + a b c
( ) 3f x x x m= − + − x ( )3 2 0x x m m m− + − ≥ >
R ( )max 2f x m≥
( ) ( )3 3 3 3x x m x x m− + − ≥ − − − = − ( )( )3 0x x m− − ≤
( )max 3f x m= −
3 2
0
m m
m
− ≥
> 0 1m< ≤ 1m =
( ) ( ) ( ) 21 1 2a b c− + + + +
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 2 2 1 1a b c a b= − + + + + + − + ( )( ) ( )( )2 1 2 2 2 1b c c a+ + + + + −
( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 2a b c ≤ − + + + +
1a b c+ + = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 3a b c− + + + + ≥ 2a = 0b = 1c = −
=
( ) ( ) ( )2 2 21 1 1a b c− + + + +
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