哈六中 2019-2020 学年度上学期
高三学年第二次调研考试 文科数学 试卷
一：选择题。
1.已知集合 ，则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式的解集，化简集合 的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出
.
【详解】因为 ，
所以 ，故本题选 B.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不
等式的解集、运用数轴是解题的关键.
2.若 ，则复数 的实部与虚部之和为（ ）
A. 1 B. -1 C. -2 D. -4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数相乘化简得 ，得到复数 的实部与虚部之和为 .
【详解】 ，所以复数 实部为 ，虚部为 ，所以
和为 ，
故选 D.
【点睛】本题考查复数的乘法运算、复数实部和虚部的概念，考查基本运算求解能力.
3.下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是（ ）
{ } { }2 2 8 0 2 3A x x x B x x= + − ≥ = − < sin 3 cos 0B B∴ − = tan 3B∴ =
3B
π=
a b c 2b ac=
2 2 2 2 2 1cos 2 2 2
a c b a c acB ac ac
+ − + −= = =
2 22 0a ac c− + = a c∴ = ABC∆ 12
a c
b
+∴ =
2sin 3 14y x
π = + +
4
πx = −
14
π
，
[ ]1,3−
2sin 14y x
π = + +
4
πx = − sin 3 4y x
π = +
y 0
π
4 ， 2sin 3 4y x
π = + 再向上平移 1 个单位；由 ，得原函数的值域。
【详解】对 A，当 时， ，所以 为函数
的对称轴；
对 B， 为 的对称中心，函数 向上平移 1 个单位
后得 ，所以 为 的对称中心；
对 C，由 ，所以 ，所以值域为 ；
对 D，函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍和到的解析式为：
，而不是 ，故选 D.
【点睛】本题考查函数 的图象与性质，在三角变换过程中，注
意横坐标的伸缩变换只与自变量 有关.
8.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，
平面 ， ，且 ， 为 AD 的中点，则异面直线
与 夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作出异面直线所成的角，利用余弦定理计算出这个角的余弦值.
【详解】设 是 中点，连接 ，由于 分别是 中点， 是三角形
的中位线，故 ，所以 是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质
2 2sin 3 24x
π − ≤ + ≤
4
πx = − 3sin sin 14 4 2y x
π π π = − + = − = − 4
πx = −
0
π
4 ， 2sin 3 4y x
π = + 2sin 3 4y x
π = +
2sin 3 14y x
π = + + 14
π
， 2sin 3 14y x
π = + +
2 2sin 3 24x
π − ≤ + ≤ 1 2sin 3 1 34x
π − ≤ + + ≤
[ ]1,3−
2sin 14y x
π = + +
2sin 13 4
xy
π = + + 2sin 3 14y x
π = + +
sin( ) ( 0)y A x Bω ϕ ω= + + >
x
A BCD−
AB ⊥ BCD BC CD⊥ 4AB BC CD= = = M BM
CD
2
3
3
4
3
3
2
4
F AC ,MF BF ,M F ,AD AC MF
ACD / /FM CD FMB∠可知 .故 ，在三角形 中，由余
弦定理得 ，故选 C.
【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的余弦值的求法，考查空间想象能力，考查中国
古典数学文化，属于基础题.
9.已知三棱锥 中， 平面 ，则此三棱
锥 的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出三棱锥的直观图，添加适当的辅助线，确定外接球球心的位置，根据数量关系，求出底
面外接圆的半径 ，再列出球半径 的方程，求出 代入表面积公式.
4 2, 4 3AC AD= = 2 2, 2 3, 2BF BM FM= = = BMF
12 4 8 3cos 32 2 3 2
FMB
+ −∠ = =
× ×
P ABC− 6, 2 3, 6,PA AB AC BC= = = = PA ⊥ ABC
P ABC−
48π 84π 192π 228π
2 3r = R R【详解】设 的外心为 ，过 作 平面 ，取 的中点 ，作
与 相交于点 ，则 为外接球的球心为.
，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故选 B.
【点睛】本题以三棱锥内接于球为背景，求球的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力，
根据几何体的特点确定球心 的位置是解题的关键.
10.在正方体 中， 为棱 上一点，且 ， 为棱 的中点，
且平面 与 交于点 ，则 与平面 所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面 平面 ，可知所求角为 ；假设正方体棱长为 ，求解出
和 ，从而得到结果.
ABC∆ 1O 1O 1OO ⊥ ABC PA M OM ⊥ PA
1OO O O
2 2 2 12 12 36 1cos 2 22 2 3 2 3
AB AC BCA AB AC
+ − + −= = = −⋅ ⋅ ⋅ 0 A π< < 2
3A
π=
6 2 2 3sin 3
2
BC r rA
= = ⇒ =
2 23 21R OA r= = + =
24 84S Rπ π= =
O
1 1 1 1ABCD A B C D− E CD 2CE DE= F 1AA
BEF 1DD G 1B G ABCD
2
12
2
6
5 2
12
5 2
6
/ /ABCD 1111 DCBA 1 1D B G∠ 6
1D G 1 1B D【详解】
因为平面 平面
所以 与平面 所成角即为 与平面 所成角
可知 与平面所成角为 .
设 ，则 ，
平面 面 且 面 ，可知
则 ，即 ，
在 中，
故 与平面 所成角的正切值为
本题正确选项：
【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成
角，再利用直角三角形求得结果.
11.设数列 的前 项和为 ，且 ，则数列
的前 10 项的和是（ ）
A. 290 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 得 为 等 差 数 列 ， 求 得 ， 得
/ /ABCD 1111 DCBA
1B G ABCD 1B G 1111 DCBA
1B G 1 1D B G∠
6AB = 3AF = 2DE =
BEF 1 1CDD C GE= //BF 1 1CDD C / /BF GE
AF DG
AB DE
= 3
6 2
DG= 1DG⇒ = 1 5D G =
1 1Rt B D G∆ 1
1 1
1 1
5 5 2tan 126 2
D GD B G B D
∠ = = =
1B G ABCD 5 2
12
C
{ }na n nS 1 1a = 2( 1)( )n
n
Sa n n Nn
∗= + − ∈ 1
3nS n
+
9
20
5
11
10
11
2( 1)( )n
n
Sa n n Nn
∗= + − ∈ { }na ( )4 3na n n N ∗= − ∈利用裂项相消求解即可
【详解】由 得 ，
当 时， ，整理得 ，
所以 是公差为 4 的等差数列，又 ，
所以 ，从而 ，
所以 ，
数列 的前 10 项的和 .
故选 .
【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记
公式，准确得 是等差数列是本题关键，是中档题
12.已知函数 ，若对任意 ，总存在
，使 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出两个函数的值域，结合对任意 ，总存在 ，使 ，等价为
的值域是 值域的子集，分别研究两个函数的值域即可.
1 1 1 1 1
3 2 ( 1) 2 1nS n n n n n
= = − + + +
( )2( 1)n
n
Sa n n Nn
∗= + − ∈ 2 ( 1)n nS na n n= − −
2n ≥ 1 1( 1) 4( 1)n n n n na S S na n a n− −= − = − − − − 1 4n na a −− =
{ }na 1 1a =
( )4 3na n n N ∗= − ∈ ( ) 213 3 2 2 2 ( 1)2
n
n
n a aS n n n n n n
++ = + = + = +
1 1 1 1 1
3 2 ( 1) 2 1nS n n n n n
= = − + + +
1
3nS n
+
1 1 512 11 11S = − =
C
{ }na
( )2
2
sin 2, 0( ) 2 , ( ) 2 , 0
x a x xf x g x a Rx a x
− + ≥= = ∈ +
0x ≥ ( ) sin 2 [2 | |,2 | |]g x a x a a= + ∈ − +
12 2a < 1
4a < 1[ , )2 A+∞ ⊆
1
4a ≥ 12 2a ≥ 1[ , )2 A+∞ ⊆ 0x ≥
( ) sin 2 [2 ,2 ]g x a x a a= + ∈ − +
12 2
2 2 ,
a
a a
− ≤
≤ +
， 3 22 a≤ ≤
1
4a < 3 22 a≤ ≤
( )f x ( )g x
( 1,1), (2,3)a b= − = b a
2
2
| || | cos ,a b a b a b⋅ = 〈 〉 b a | | cos ,b a b〈 〉
1 2 1 3| | cos , | | | | 2| | |
2
2|
a b a bb a b b aa b
⋅ ⋅ − × + ×〈 〉 = ⋅ = = =
2
2【点睛】本题主要考查了投影和数量积公式，掌握 在 方向上的投影为 是解
题的关键，属于基础题.
14.若正四棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则该正四棱锥的体积为______.
【答案】4.
【解析】
分析】
设正四棱锥的高为 PO，连结 AO，在直角三角形 POA 中，求得高 ,利用体积公式，即可
求解．
【详解】由题意，如图所示，正四棱锥 P-ABCD 中，AB= ，PA=
设正四棱锥的高为 PO，连结 AO，则 AO= ，
在直角三角形 POA 中， ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体
积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
15.化简 =___________；
【答案】-4
【
b a | | cos ,b a b〈 〉
2 3 7
1PO =
2 3 7
1 1 2 62 2AC AB= × =
2 2 17 6PO PA AO= − = − =
1 1 12 1 4
3 3P ABCD ABCDV S PO− = ⋅ ⋅ = × × =
3 1
sin80 cos80
−° °【解析】
【分析】
对 式 子 进 行 通 分 ， 利 用 倍 角 公 式 得 ， 利 用 辅 助 角 公 式 得
，再利用诱导公式化简得值为 .
【 详 解 】 原 式
，
故填： .
【点睛】本题考查三角恒等变换公式的综合运用，考查运算求解能力，特别注意变换过程中
符号不能弄错.
16.已知数列 是首项为-6，公差为 1 的等差数列，数列 满足
且 ，则数列 的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求等差数列 ，利用累加法求出 ，令 ，由式子得 的最大
值在 中取得，利用数列的单调性得 为 的最大值.
【详解】由已知易得： ，因为 ，所以
累加得： ，又 ，
1sin80 cos80 sin1602
⋅ =
3 cos80 sin80 2sin(60 80 )− = − 4−
3 1 3 cos80 sin80 2sin(60 80 ) 2sin 20 41 1sin80 cos80 sin80 cos80 2 sin80 cos80 sin 202 2
− − −= − = = = = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4−
{ }nb { }na ( )1 2n
n na a n N ∗
+ − = ∈
1 9a b= n
n
b
a
1
256
7nb n= − 2n
na = 7
2
n
n n
n
b nc a
−= =
nc
8n ≥ 8 9
1
256c c= = n
n
b
a
6 ( 1) 1 7nb n n= − + − ⋅ = − 1 2n
n na a+ − =
1
2 1
2
3 2
1
1
2 ,
2 ,
2 ,n
n n
a a
a a
a a −
−
− =
− =
− =
1
1
1
2(1 2 ) 2(2 1)1 2
n
n
na a
−
−−− = = −− 1 9 2a b= =所以 ，所以 ，显然前 7 项的值小于等于 0，从第 8 项起大于 0，
所以当 时， ，所以 ，
所以 ，故填： .
【点睛】本题考查等差数列、等比数列前 项和、数列的单调性等知识，考查累加法的应用，
数列的最大项要树立函数单调性的思想意识.
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）设 的内角 的对边分别为 ，且 ，若
，求 的值.
【答案】（1） ;（2）
【解析】
【分析】
（1）由降幂公式、诱导公式得、辅助角公式化简 ，代入周期公式
；
（2）根据 得到 ，再由斜弦定理和正弦定理得到关于 的方程，再求得
的值.
【详解】（1）
，
2n
na = 7
2
n
n n
n
b nc a
−= =
9n ≥ 1 1
7 8 9 02 2 2n n n n n
n n nc c − −
− − −− = − = ≤ 8 9 10 11c c c c= > > >
max 8 9
1( ) 256nc c c= = = 1
256
n
( ) 22sin 3 cos24f x x x
π = + −
( )f x
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3, 12
Cc f = =
sin 2sinB A= ,a b
T π= 1, 2a b= =
( ) 1 2sin 2 3f x x
π = + −
2T
π
ω=
12
Cf = 3C
π= ,a b ,a b
1 cos 2 2( ) 2 3 cos2 1 sin 2 3 cos2 1 2sin 22 3
x
f x x x x x
π
π
− + = − = + − = + − 所以 .
（2）因为 ，因为 ，所以
.
因为 ①，
因为 ， ，所以 ②，联立方程①②得： .
【点睛】本题考查三角恒等变换中的降幂公式、诱导公式、辅助角公式、解三角形中的正、
余弦定理的综合运用，考查运算求解能力，注意由方程 得到 ，要加上
这一条件.
18.如图，在几何体 中 ， ，平面 平面 ，
, 为 的中点.
（1）证明： ∥平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解析见证明；（2） .
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连 ，证明四边形 为平行四边形，再由线面平行判
定定理证明线面平行；
2
2T
π π= =
1 2sin 1 sin 02 3 3
Cf C C
π π = + − = ⇒ − = 0 C π< <
3C
π=
2 2 2 2 22 cos 3c a b ab C a b ab= + − ⇒ = + −
sin sin
a b
A B
= sin 2sinB A= 2b a= 1, 2a b= =
sin 03C
π − = 3C
π=
0 C π< <
ABCDE CD AE 90EAC∠ = ° EACD ⊥ ABC
2, 1, 2, 2 3CD EA AB AC BC= = = = = F BD
EF ABC
AB BDE
3
4
BC M ,FM AM AMFE（2）找到并证明 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，设平
面 的法向量，最后代入公式 进行求值.
【详解】（1）取 的中点 ，连 ，在 中， ，
又 ， ， ， 四边形 为平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ， ∥平面 .
（2） 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，又 ， 平面 .
， 为 中点， .
以 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则
，
，
设 为平面 的一个法向量，则
取 ， ，设直线 与平面 所成角为 ，
.
【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理的运用、用空间向量求线面角等知
识，考查空间相象能力和运算求解能力，在建系时如果三条两两互相垂直的直线不明显，必
需要给出证明.
, ,MA MB MF
BDE sin | cos , | | |
| || |
AB nAB n
AB n
θ ⋅= < > =
BC M ,FM AM BCD∆ 1/ / , 2MF CD MF CD=
/ /CD AE 1
2AE CD= ∴ / / ,AE MF AE MF= ∴ AMFE
∴ / /EF AM EF ⊄ ABC AM ⊂ ABC ∴ EF ABC
EACD ⊥ ABC EACD ABC AC= AE ⊂ EACD
AE AC⊥ ∴ AE ⊥ ABC / /AE MF ∴ MF ⊥ ABC
2AC BC= = M BC ∴ AM BC⊥
M , ,MA MB MF , ,x y z
( ) ( ) ( ) ( )0, 3,0 , 0, 3,2 , 1,0,1 , 1,0,0B D E A−
∴ ( ) ( ) ( )1, 3,0 , 1, 3,1 , 0, 2 3,2AB BE BD= − = − = −
( ), ,n x y z= BDE
3 0,0,
0, 2 3 2 0,
x y zn BE
n BD y z
− + =⋅ = ⇒ ⋅ = − + =
0, 1, 3x y z= = = ∴ ( )0,1, 3n = AB BDE θ
∴ 3sin | cos , | | | 4| || |
AB nAB n
AB n
θ ⋅= < > = =
19.已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（ 1 ） 利 用 临 差 法 ， 多 递 推 一 项 再 相 减 得 ， 再 利 用 构 造 法 得
，得到 ，从而证明 是等比数列，利用通项公式得
；
（2）由（1）得 ，利用错位相减法和等差数列前
项和公式，分别求得数列 ， 前 项和，再相加.
【详解】（1）因为 ， ，两式相减得：
，
所以 ，当 时， .
所以 是以 公比， 为首项的等比数列，
所以 .
（2） ，
令 ，其前 项和为 ，
所以 ，
两边同乘以 得： ，
两式相减得： ，
整理得： ，
{ }na n nS ( )2n nS a n n N ∗= − ∈
{ }1na + { }na
( )2 1n nb n a= − { }nb n { }nS
2 1n
na = − 1 26 (2 3)2n
nS n n+= + − +
12 1n na a −= +
1 )( 2(1) 1n na a −+ = +
1
1 21
n
n
a
a − + =+ { }1na +
2 1n
na = −
( ) ( ) ( )12 1)2 1 ( 2 1 22n
n
nb n n n== −− − −− n
( )2 1 2n
n nc −= 2 1nd n= − n
2n nS a n= − 1 12 ( 1)n nS a n− −= − −
1 1 11) 2 1)2 2 1 2 1 ( (n n n n nn na a a a a a a− − −+ =− − ⇒ = ⇒ += +
1
1 21
n
n
a
a − + =+
1n = 1 1a =
{ }1na + 2 2
1
11 ( 1)2 2 1n n
n na a a−+ = + ⇒ = −
( ) ( ) ( )12 1)2 1 ( 2 1 22n
n
nb n n n== −− − −−
( )2 1 2n
n nc −= n nT
( )1 2 31 2 3 2 5 2 22 1 n
nT n= ⋅ + ⋅ + + −⋅ +
2 ( )2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 22 1 n
nT n +⋅ −= + ⋅ + ⋅ + +
2 3 12 2(2 2 2 ) (2 1)2n n
nT n +− = + + + + − −
16 (2 3)2n
nT n += + −令 ，其前 项和为 ，
则 ，
所以 .
【点睛】本题考查等比数列的证明、等比数列通项公式、等差数列前 项和、错位相减法求和
等知识，考查逻辑推理和运算求解能力，由于计算比较繁琐，所以最后可能通过检验 与
是否相等，验证答案的准确性.
20.如图，在直三棱柱 中， ,
（1）若 为 中点，证明： 平面
（2）设 与平面 所成的角为 ，求此三棱柱的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 垂直平面 两条相交直线 ，再利用线面垂直判定定理进行证
明；
（2）作出 与平面 所成的角，并给出证明，再设 ，利用 求
得 的值，再代入柱体体积公式进行计算.
【详解】（1）设 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
的
2 1nd n= − n '
nT
' 2(1 2 1)
2n
n nT n
+ −= =
' 1 26 (2 3)2n
n n nS T T n n+= + = + − +
n
1S 1b
1 1 1A B C ABC−
12, 2,AB A A AC BC= = =
M AB 1A B ⊥ 1B MC
1A B 1 1A ACC
4
π
6
1A B 1B MC 1,CM B M
1A B 1 1A ACC AC x= 12BN A B=
x
1 1MB A B O=
1 1ABB A ⊥ ABC 1 1ABB A ABC AB= CM ⊂ ABC CM ⊥， 平面 ，又 平面 ， ，
，
又 ， ，即 ，又 ，
平面 .
（2）过 作 于 ，连 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
， 平面 .
为 与平面 所成的角，故 ，
设 ，则 ，
， ，
， ，
。
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、平面几何中的垂直关系、线面角的概念及体积公式计
算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解过程中要有方程思想的意识.
21.已知函数
AB ∴ CM ⊥ 1 1ABB A 1A B ⊂ 1 1ABB A ∴ 1A B CM⊥
1
1 1
1
2 2tan ,tan ,2 2
A A BMA BA MB BAB BB
∠ = = ∠ = = ∴ 1 1A BA MB B∠ = ∠
1 1 1 2A BA A BB
π∠ + ∠ = ∴ 1 2B OB
π∠ = 1 1A B MB⊥ 1 1MB A B O=
∴ 1A B ⊥ 1B MC
B BN AC⊥ M 1A N
1 1ACC A ⊥ ABC 1 1ACC A ABC AC= BN ⊂ ABC
BN AC⊥ ∴ BN ⊥ 1 1ACC A
∴ 1BA N∠ 1A B 1 1A ACC 1 4BA N
π∠ =
AC x= 2 1NC x= −
1 1
2 2AC BN AB NC⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∴ 21 1 2 12 2x BN x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − 22 1xBN x
−⇒ =
1 6A B = ∴ 2
1
2 12 2 6 2xBN A B xx
−= ⇒ ⋅ = ⇒ =
∴ 2
1
1 32 2 62 2ABCV S AA∆= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )1 ln 0 .f x ax a x a= + − >（1）当 时，设 ，讨论 的导函数 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1） 上单调递减， 上单调递增；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，对导函数再次求导，转化成解一次不等式，从
而得到 的单调区间；
（2）由第（1）步的思路，构造函数 ，对函数进行求导
后，再次求导得到 ，对 分成 和 两种情
况进行讨论，先研究 的单调性与函数值的正负，再研究 的单调性与函数值的正负.
【详解】（1）当 时， ，
，
，当 ，当 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ，令 ，
，
，
当 ，
①当 时， 在 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 恒成立，
1
2a = ( ) ( ) 1g x f x x= − + ( )g x ( )g x′
1x > ( ) 1f x x> − a
( )0,1 ( )1 + ∞， 1
2a ≥
1
2a = ' 1 1( ) ln 12g x x x
= + −
' ( )g x
( ) ( )1 ln 1g x ax a x x= + − − + ( 0)a >
( )''
2 2
1 (1 )a a ax ag x x x x
− − −= − = ( )0a > a 1
2a ≥ 1
2a <
' ( )g x ( )g x
1
2a = ( )1 1( ) ( ) 1 ln 1 02 2g x f x x x x x x = − + = + − + >
' 1 1 1 1 1 1( ) ln 1 ln 1 ln 12 2 2 2
x xg x x x xx x x
+ + = + − = + − = + −
''
2 2
1 1 1 1( ) 2 2
xg x x x x
− = − =
'' ( ) 0 1g x x> ⇒ > '' ( ) 0 0 1g x x< ⇒ < <
' ( )g x ( )0,1 ( )1 + ∞，
1x > ( ) 1f x x> − ( ) ( )1 ln 1g x ax a x x= + − − + ( 0)a >
( )' 1 1ln 1 ln 1ax a ag x a x a x ax x
+ − −= + − = + + −
( )''
2 2
1 (1 )a a ax ag x x x x
− − −= − = ( )0a >
( )'' 10 ag x x a
−= ⇒ =
1 11 2
a aa
− ≤ ⇒ ≥ ( )'' 0g x > 1x >
' ( )g x (1, )+∞ ' (1) 0g =
' ( ) 0g x > 1x >所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 恒成立，
所以当 时，不等式成立.
②当 时，
当 ，当 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上恒成立，这与 相矛盾，
所以 不成立.
综上所述： .
【点睛】本题考查导数在函数中的应用，求函数的单调区间、参数的取值范围，考查分类讨
论思想、函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解过程中要时刻注意脑中有
图，同时注意题设中的 两个条件.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点，
以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
(1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2）若点 的直角坐标为 ，曲线 与直线 交于 两点，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
( )g x (1, )+∞ (1) 0g =
( ) 0>g x 1x >
1
2a ≥
1 11 2
a aa
− > ⇒ <
( )'' 10 ag x x a
−> ⇒ > ( )'' 10 1 ag x x a
−< ⇒ < <
' ( )g x 1(1, )a
a
− ' (1) 0g =
' ( ) 0g x < 11 ax a
−< <
( )g x 1(1, )a
a
−
(1) 0g =
( ) 0g x
1
2a <
1
2a ≥
0, 1a x> >
xOy l
11 2
3
2
x t
y t
= −
=
t O
x C 4cosρ θ=
l C
P ( )1,0 C l ,A B PA PB+
( )2 2: 3 3, : 2 4l y x C x y= − + − + = 13（1）把参数方程 消去参数 得到 ，对极坐标方程 两边
同乘以 ，再把 代入化简得： ；
（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，利用参数的几何意义知：
，再把韦达定理代入，求值为 .
【详解】由 ，
因为 ，所以 ，把 代入得： ，
即 .
（2）把 代入 得： ，所以 则 异号，
所以 .
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，考查运算求解能力，在运用参
数方程的参数 的几何意义时，前提是参数方程必需转化成标准形式.
23.已知函数 ，
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
11 2
3
2
x t
y t
= −
=
t 3 3y x= − + 4cosρ θ=
ρ cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
( )2 22 4x y− + =
1 2 1 2| | | | | |PA PB t t t t+ = + = − 13
11 2
3
2
x t
y t
= −
=
2 2 , 22 2 3 32 , 33
x t
x y y xy t
= −⇒ ⇒ = − ⇒ = − + =
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 4x y x+ =
( )2 2: 2 4C x y− + =
11 2
3
2
x t
y t
= −
=
2 2 4x y x+ = 2 3 0t t+ − = 1 2
1 2
1,
3,
t t
t t
+ = −
⋅ = − 1 2,t t
2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | ( ) 4 13PA PB t t t t t t t t+ = + = − = + − ⋅ =
t
( ) 2 1 2 1f x x x= + − − x∈R
( ) 1f x ≤
( )
2
f x a x+ = a
1
4
−∞ ， 1 1
2 2a− <
( )h x
1 1
2 2h a h < < −
1 1
2 2h − =
1 1
2 2h = −
1 1
2 2a∴− <
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