哈六中 2019-2020 学年度上学期
高三学年第二次调研考试理科数学试卷
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.已知全集 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分别化简集合 ，再根据交集与补集的运算，即可得出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因此 .
故选 D
【点睛】本题主要考查集合交集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2.若复数 满足 ，则在复平面内， 的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意求出复数 ，再求出其共轭复数，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 ，即 的共轭复数的虚部为 .
故选 A
【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的概念，熟记除法运算法则与复数的概念即可，
( ){ } { }2 1, ln 1 , 2xU R A x y x B y y −= = = − = = ( )UA C B∩
( )1,0− )1,0 ( )0,1 ( ]1,0−
,A B
( ){ } { }2ln 1 1 1A x y x x x= = − = − < < { } { }12 0xB y y y y−= = = >
{ }0UC B y y= ≤
( ) ( ]1,0∩ = −UA C B
z (1 ) 2i z i+ = − z
3
2
3
2 i 3
2
− 3
2 i−
z
(1 ) 2i z i+ = − 2 (2 )(1 ) 1 3 1 3
1 (1 )(1 ) 2 2 2
− − − −= = = = −+ + −
i i i iz ii i i
1 3
2 2z i= + z 3
2属于常考题型.
3.已知向量 满足 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量数量积的几何意义得到： 在 方向上的投影为 ，结合题中
数据，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为 ，所以
所以 在 方向上的投影为
故选 B
【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.
4.已知曲线 在区间 内存在垂直于 轴的切线，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意，可得 ，即 在区间 内有解，设 ，
利用函数 的单调性，求得最值，即可求解。
【详解】依题意，可得 ，即 在区间 内有解.
设 ，由题意函数 为增函数，且
,a b ( )5, 1,3 , 5a b a b= = ⋅ = a b+ a
10 2 5 3 5 3 10
a b+ a cos ,+ + a b a b a
( )5, 1,3 , 5a b a b= = ⋅ = 10=b
a b+ a
2
( ) 5 5cos , 2 5
5
+ ⋅+ ⋅ ++ + = = = =
a a ba b aa b a b a
a a
2xy e x ax= + − (0,1) y a
(0, 1)e + (1, 1)e + (0, 2)e + (1, 2)e +
' 2 0xy e x a= + − = 2xa e x= + (0,1) ( ) 2xg x e x= +
( )g x
' 2 0xy e x a= + − = 2xa e x= + (0,1)
( ) 2xg x e x= + ( )g x (0) 1, (1) 2g g e= = +所以 ，故选 D。
【点睛】本题考查导数在函数中的应用，其中解答中转化为 在区间 内有解，
令 ，利用函数 的单调性求解是解答的关键，着重考查函数与方程及化归
与转化的数学思想.
5.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节
气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差
数列的规律计算出来的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中 寸表
示 115 寸 分（1 寸=10 分）
节气 冬
至
小寒
(大
雪)
大寒
(小
雪)
立春
(立
冬)
雨
水
(霜
降)
惊
蛰
(寒
露)
春分
(秋
分)
清
明
(白
露)
谷
雨
(处
暑)
立
夏
(立
秋)
小
满
(大
暑)
芒
种
(小
暑)
夏至
晷影
长（寸）
135
125. 115. 105. 95. 85.
75.5
66. 55. 45. 35. 25.
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么《易经》中所记
录的惊蛰的晷影长应为（ ）
A. 72.4 寸 B. 81.4 寸 C. 82.0 寸 D. 91.6 寸
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，节气的晷影长成等差数列，根据题中数据得到第 1 项与第 13 项，求出公差，进
而可求出结果.
(1, 2)a e∈ +
2xa e x= + (0,1)
( ) 2xg x e x= + ( )g x
4115.16
416
5
6
416
42 6
23 6
24 6
55 6
46 6
37 6
28 6
19 6【详解】因为节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算出来的，
由题意可得 ， ，所以等差数列的公差为
惊蛰对应等差数列的第 6 项，
所以 .
故选 C
【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型.
6.已知正方形 的边长为 4， 为 边的中点， 为 边上一点，若
，则 =（ ）
A. 5 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
先由题意，以 点为坐标原点，分别以 所在直线方向为 轴、 轴建立平面直角坐
标系，得到 各点坐标，再设 点坐标，根据题意求出 点坐标，即可得出
结果.
【详解】因为四边形 为正方形，以 点为坐标原点，分别以 所在直线方向
为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方形 的边长为 4， 为 边的中点，
所以 ，
又 为 边上一点，所以设 ，
则 ， ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选 A
【
1 130=a 13 14.8=a 14.8 130 9.612
−= = −d
6 1 5 130 9.6 5 82= + = − × =a a d
ABCD E BC F CD
2
AF AE AE⋅ = AF
3
2
5
2
A AB AD、 x y
A B C D E、 、 、 、 F F
ABCD A AB AD、
x y
ABCD E BC
(0,0) (4,0) (4,4) (0,4) (4,2)A B C D E、 、 、 、
F CD ( ,4)(0 4)F a a≤ ≤
(4,2)AE = ( ,4)AF a=
2
AF AE AE⋅ = 4 8 20a + = 3a =
2 2 2 24 3 4 5AF a= + = + =【点睛】本题主要考查已知数量积求向量的模的问题，熟记坐标系的方法求解即可，属于常
考题型.
7.函数 的部分图像如图所示， 图象与 轴交于 点，与
轴交于 点，点 在 图象上，满足 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期是
B. 函数 的图像关于 轴对称
C. 函数 在 单调递减
D. 函数 图像上所有的点横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 后关
于 轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据图像与题中条件，先确定周期，以及 的正负，求出 ，再求出 ，根据正弦函数的
性质，即可得出结果.
的
( )( )( ) sin 0f x A xω ϕ ω= + > ( )f x y M
x C N ( )f x MC CN=
( )f x 2π
( )f x 7
12x
π=
( )f x 2 ,3 6
π π − −
( )f x
3
π
y
A ω ϕ【详解】因为 ，由题中图像可得： ， ，故选项 A 错；
所以 ，所以 ，
又 ，由图像可得 ，
所以 ，所以 ，
由 得函数 的对称轴为 ，
所以当 时， ，故 B 正确；
由
解得 ，
因此函数 的单调递减区间为 ，故 C 错误；
函数 的图像上所有的点横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 ，
再向右平移 可得 ，为奇函数，关于原点对称，故 D 错误.
故选 B
【点睛】本题主要考查由三角函数的部分图像求函数解析式，以及三角函数相关性质的判断，
熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.
8.已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
MC CN= 2
3 6 6
π ππ π= + + =T 0A >
2 2T
πω = = ( )( ) sin 2 ϕ= +f x A x
( ) sin 06 3
π π ϕ − = − + = f A 2 ( )3
π ϕ π− + = ∈k k Z
2 ( )3
πϕ π= + ∈k k Z ( ) sin 2 3
π = + f x A x
2 ,3 2
π π π+ = + ∈x k k Z ( )f x ,12 2
kx k Z
π π= + ∈
1k = 7
12x
π=
32 2 2 ,2 3 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
7 ,12 12
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈k x k k Z
( )f x 7 ,12 12
，π ππ π + + ∈ k k k Z
( )f x sin 3
π = + y A x
3
π sin=y A x
( ) 3 12 x
xf x x x e e
= − + − e
( ) ( )21 2 0f a f a− + ≤ a
31, 2
−
3 ,12
−
11, 2
−
1 ,12
− 【解析】
【分析】
先对根据函数奇偶性的概念，判断函数 为奇函数；再由导数的方法判定函数单调性，进
而可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，因此函数 为奇函数；
又 ，
所以函数 单调递增；
因此不等式 可化为 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选 C
【点睛】本题主要考查函数基本性质的应用，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
9.已知 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，
且 ，则当 取到最小值时， （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
， 即 ， 由 正 弦 定 理 得
，即 ，由正
弦 定 理 和 余 弦 定 理 得 ， 则 ， 从 而
， 故 ， 由 得 ， 故
， 则 ， 所 以 ， 故 ， 当 且 仅 当
( )f x
( ) 3 12 x
xf x x x e e
= − + −
( ) 3 12 ( )− = − + + − = −x
xf x x x e f xe
( )f x
( ) 2 213 2 3 0′ = − + + ≥ ≥x
xf x x e xe
( )f x
( ) ( )21 2 0f a f a− + ≤ ( )22 (1 )f a f a≤ −
22 1a a≤ − 22 1 0a a+ − ≤ 11 2a− ≤ ≤
ABC△ , ,A B C , ,a b c ( cos cos )cos 1
2 2
a B b A B
a b
+ =+
2 3 0ABCS c− =
ab a =
2 3 3 3 3 3
2
( cos cos )cos 1
2 2
a B b A B
a b
+ =+ 2( cos cos )cos 2a B b A B a b+ = +
2(sin cos sin cos )cos 2sin sinA B B A B A B+ = + 2sin cos 2sin sinC B A B= +
2 2 2
2 22
a c bc a bac
+ −⋅ = + 2 2 2a b c ab+ − = −
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = − 2π
3C = 2 3 0ABCS c− =
1 3 3
2 2 2ab c⋅ =
1
2c ab= 2 2 2 21 04a b a b ab+ − + = 2 212 0ab a b− ≤ 12ab ≥时等号成立.故选 A.
10.已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，若 ，则
的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题意，建立平面直角坐标系，令 ， ，求出向量 的坐标，再设
，根据 ，得到 ，将求向量模的问题转化
为求圆上点与定点的距离的问题，即可求出结果.
【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，令 ， ，
因为 ， 与 的夹角为 ，
易得 ， ，
设 ， 则 ， ，
因为 ， 所以 ，
即 ，
因此 表示圆 上的点到坐标原点的距离，
因此 .
故选 B
2 3a b= =
, ,a b c 4, 2a b= = a b 60° ( ) ( ) 0c a c b− ⋅ − = c
7 7 3+ 7 2 3+ 7 3−
OB b= OA a= ,a b
( , )c x y= ( ) ( ) 0c a c b− ⋅ − = 2 2( 2) ( 3) 3x y− + − =
OB b= OA a=
4, 2a b= = a b 60°
(2,2 3)a = (2,0)b =
( , )c x y= ( 2, 2 3)c a x y− = − − ( 2, )c b x y− = −
( ) ( ) 0c a c b− ⋅ − = 2 2( 2) 2 3 0x y y− + − =
2 2( 2) ( 3) 3x y− + − =
2 2c x y= + 2 2( 2) ( 3) 3x y− + − =
2 2
max
(2 0) ( 3 0) 3 7 3c = − + − + = +【点睛】本题主要考查求向量的模，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型.
11.已知等差数列 满足 ， ，数列 满足 ，记
数列 的前 项和为 ，若对于任意的 ， ，不等式 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式可得 ，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到 ，
又 ，问题等价于对任意的 ， 恒成立.
【 详 解 】 由 题 意 得 ， 则 ， 等 差 数 列 的 公 差
，
.
由 ，
得 ，
则不等式 恒成立等价于 恒成立，
而 ，
问题等价于对任意的 ， 恒成立。
设 ， ，
{ }na 3 3a = 4 5 8 1a a a+ = + { }nb 1 1n n n n nb a a a a+ += −
{ }nb n nS [ ]2,2a∈ − *n N∈ 22 3nS t at< + −
t
( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ ( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞
( ] [ ), 1 2,−∞ − ∪ +∞ [ ]2 2− ,
na 1 1
1nb n n
= − + nS
1nS < [ ] *2,2 ,a n N∈ − ∈ 22 4 0t at+ − ≥
4 5 8 1 8 1a a a a a+ = + = + 1 1a = { }na
3 1 12
a ad
−= =
( )1 1na n n∴ = + − =
1 1n n n n nb a a a a+ += −
1
1 1 1 1
1n
n n
b a a n n+
= − = − +
1 1 11 2 2 3nS ∴ = − + − +
1 1 1 1
3 4 1n n
− + + − −
1 1 111 1n n n
+ − = − + +
22 3nS t at< + − 211 2 31 t atn
− < + −+
11 11n
− =
− − =
− − =
− − ( ) 3
4ln xg x x
−′ = ( ) 0g x′ > 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x >
( )g x ( )0,1 (1, )+∞ ( )max (1) 1g x g= =（2）当 时， ，
由 得 ；由 得 ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；因此 ；
由（1）（2）作出函数 的图像与直线 的图像如下：
由图像易得 .
故选 B
【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，灵活运用数形结合的方法，熟记导数
方法判定函数单调性即可，属于常考题型.
二、填空题：将答案写在答题卡上相应的位置
13.已知 是定义在 R 上的函数，且满足 ，当 时， ，
则 =_____
【答案】
【解析】
【分析】
先由 ，求出函数的周期，再由题中条件，即可求出结果.
0x < ( ) 3
2 2
2 2( 1)2 xg x x x x
+′ = + =
( ) 0g x′ > 1 0x− < < ( ) 0g x′ < 1x < −
( )g x ( )1,0− ( , 1)−∞ − ( )min ( 1) 1g x g= − = −
( )g x y a=
0 1a< <
( )f x 1( 2) ( )f x f x
+ = − 2 3x≤ ≤ ( ) 2xf x =
1
2
log 3f
16
3
1( 2) ( )f x f x
+ = −【详解】因为 ，
所以 ，
因此，函数 是周期为 的函数，
所以 ，
又当 时， ，所以
故答案为
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性以及对数的运算法则即可，属于
常考题型.
14.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北
的方向上，行驶 300m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山
的高度 CD=______m
【答案】
【解析】
【分析】
先设山的高度 ，根据题中条件求出 ，再由正弦定理，即可求出结果.
【详解】设此山的高度 ，
因为在 B 处测得此山顶仰角为 ，所以 ，
因此，在 中， ，故 ，
又由题意可得 ， ，所以 ， ，
1( 2) ( )f x f x
+ = −
1( 4) ( )( 2)f x f xf x
+ = − =+
( )f x 4
( ) ( )1 2 2 2
2
16log 3 log 3 4 log 3 log 3f f f f
= − = − =
2 3x≤ ≤ ( ) 2xf x = 2
16log 3
2
16 16log 23 3f = =
16
3
30°
75° 30°
50 6
CD x= 3BC x=
CD x=
30° 30CBD∠ =
Rt CBD∆ tan30CD
BC
= 3BC x=
30CAB∠ = 105CBA∠ = 45ACB∠ = 300AB =由正弦定理可得： ，即 ，
解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
15.在 中， 为 上一点，且 ， 为 上一点，且满足
，则 最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意得到 ，根据三点共线的充要条件，得到 ，再由基本不等
式即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 ， 时，等号成立.
故答案为
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，熟记平面向量基本定理以及基本不等
式即可，属于常考题型.
16.正项数列 满足： ，设 ，若 ，则 的取值范围
是________
sin sin
BC AB
CAB ACB
=∠ ∠
3 300
sin30 sin 45
x =
50 6x =
50 6
ABC∆ E AC 4AC AE= P BE
( )0, 0AP mAB nAC m n= + > > 1 1
m n
+
9
4AP mAB nAE= + 4 1m n+ =
4AC AE= 4AP mAB nAC mAB nAE= + = +
B P E、 、 4 1m n+ =
1 1 1 1 4( 4 ) 1 4 5 2 4 9m nm nm n m n n m
+ = + + = + + + ≥ + =
4m n
n m
= 1
3m = 1
6n =
9
{ }na ( )1
1 2
n n
n na a −
+ ⋅ = 1 2....n nT a a a= ⋅ 2
20 2T λ λ−> λ【答案】
【解析】
【分析】
先由 ，当 为奇数时，推出 ，得到 ，再由
，化简不等式，求解，即可得出结果.
【详解】因为 ，
当 为奇数时， ，则 ，即 ，
所以 ，所以 ，
即 为奇数时，数列 以 为周期，所以
又由题意可得 ， ， ，…， ，
所以 ，
由 可得 ，因此 ，
解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查数列的应用，根据递推关系求出数列的前 项之积，即可求解，属于常
考题型.
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.设 是正项数列 的前 项和，且 .
（1）设数列 的通项公式；
（2）若 ，设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
( 10,11)−
( )1
1 2
n n
n na a −
+ ⋅ = n
3
4
3
2n
n n
n
a aa
+
+
+
= = 21 1a a=
( )20 1 2 21 2 3 4 5 20 21.... ( ) ( )....T a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )1
1 2
n n
n na a −
+ ⋅ =
n 1 2n
n na a+ = 1
2 1 2n
n na a +
+ +⋅ =
1
2
1
2 2n
n
n n
a a a
+
+
+
= =
3
2
3 2
22
n
n
n n
n
a a a
+
+
+ += =
3
4
3
2n
n n
n
a aa
+
+
+
= =
n { }na 4 21 1a a=
2
3 2 2a a⋅ = 4
5 4 2a a⋅ = 6
7 6 2a a⋅ = 20
21 20 2a a⋅ =
( ) 2 4 20 2 4 ... 20 110
20 1 2 21 2 3 4 5 20 21.... ( ) ( ).... 2 2 ... 2 2 2T a a a a a a a a a + + += ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
2
20 2T λ λ−> 21102 2λ λ−> 2 110λ λ− <
10 11λ− < <
( 10,11)−
n
nS { }na n ( )21 1 12 2n n nS a a n N ∗= + − ∈
{ }na
2n
nb = n n nc a b= { }nc n nT
1na n= + 12n
nT n += ⋅详解】（Ⅰ）当 时， ，解得 （舍去）， ．
当 时，由 得， ，
两式作差，得 ，
整理得 ， ，
， ，
数列 为正项数列， ，
，即 ，数列 是公差为 的等差数列，
．
（Ⅱ） ，
，①
，②
，
18.已知函数
（1）求函数 在 上的单调递增区间和最小值.
（2）在 中， 分别是角 的对边，且 ，求 的值.
【答案】（1） ；增区间 ；当 ， ；
（2）
【解析】
【分析】
（1）先由题意得到函数的解析式为 ，根据正弦函数的单调性以及题中
条件，即可求出其增区间，和最小值；
【 1n = 2
1 1 1 1
1 1 12 2S a a a= = + − 1 1a = − 1 2a =
2n ≥ 21 1 12 2n n nS a a= + − 2
1 1 1
1 1 12 2n n nS a a− − −= + −
2 2
1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2n n n n n n nS S a a a a a− − −− = = + − −
2 2
1 1
1 1 1 1 02 2 2 2n n n na a a a− −− − − = ( )2 2
1 1 0n n n na a a a− −− − + =
( )( ) ( )1 1 1 0n n n n n na a a a a a− − −+ − − + = ( )( )1 1 1 0n n n na a a a− −+ − − =
{ }na 1 0n na a − >+
∴ 1 1 0n na a −− − = 1 1n na a −− = { }na 1
∴ ( ) ( )1 1 2 1 1na a n d n n= + − = + − = +
( )1 2n
n n nc a b n= = +
∴ ( )1 2 32 2 3 2 4 2 1 2n
nT n= × + × + × + + +
( )2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 2 1 2n n
nT n n += × + × + × + + ⋅ + +
( ) ( )1 2 3 1 12 2 2 2 2 1 2 2n n n
nT n n+ +− = × + + + + − + = − ⋅
∴ 12n
nT n += ⋅
( ) ( ) ( )3sin ,cos sin , 2cos ,sin cos ,a x x x b x x x f x a b= + = − = ⋅
( )f x [ ]0,π
ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( ) ( )2, 7f B b a c= = − cos A
( ) 2sin(2 )6f x x
π= − 5(0, ),( , )3 6
π π π 5
6x
π= min( ) 2f x = −
cos 7
2 7=A
( ) 2sin(2 )6f x x
π= −（2）根据（1）中解析式，先得到 ，由余弦定理求出 ， ，再根据余弦定
理，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，
所以
，
由 得
，
即函数 的增区间为
又 ，所以函数 在 上的单调递增区间为 ；
又当 时， ，
所以当且仅当 ，即 时， 取最小值，为 ；
（2）由（1）可知 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因此 ，
由余弦定理可得 ，
又 ，显然 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍），
所以 ， ，
因此 .
【点睛】本题主要考查三角函数 单调区间与最值，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数
的性质以及余弦定理即可，属于常考题型.
的
3B
π= 2a c= 7=b c
( ) ( )3sin ,cos sin , 2cos ,sin cos= + = − a x x x b x x x
( ) 2 3sin cos (sin cos )(sin cos )= ⋅ = + + − f x a b x x x x x x
3sin 2 cos2 2sin(2 )6
π= + = −x x x
2 2 2 ( )2 6 2
π π ππ π− + ≤ − ≤ + ∈k x k k Z
( )6 3
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈k x k k Z
( )f x , ( )6 3k k k Z
π ππ π − + + ∈
[ ]0,x π∈ ( )f x [ ]0,π 5(0, ),( , )3 6
π π π
[ ]0,x π∈ 112 ,6 6 6x
π π π − ∈ −
32 6 2
π π− =x 5
6x
π= ( )f x 2−
( ) 2sin(2 )6f x x
π= −
( ) 2sin(2 ) 26
π= − =f B B 0 B π< < 1126 6 6
π π π− < −
( )2 2 27 − = + −a c a c ac 2 26 6 13 0+ − =a c ac 2a c=
6
= ca
2a c= 7=b c
2 2 2 2 2 27 4 2 7co 2 2 7 7s
+ − + −= = =
× ×
b c a c c cA bc c c19.已知函数 .
（1）若对于任意 都有 成立，试求 的取值范围；
（2）记 .当 时，函数 在区间 上有两个零点，求
实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出函数的单调区间，根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使
恒成立，需使函数的最小值大于 ，从而求出实数 范围。
（2）利用导数求出函数 的单调区间，在根据函数 在区间 上有两个零点，可
得： ，即可求出实数 的取值范围。
【详解】（1） ，由 解得 ；由 解得
.
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值 .
因为对于任意 都有 成立，所以 即可.
则 ，由 解得 ，
所以 得取值范围是 .
（2）依题意得 ，则 ，
2( ) ln 2( 0)f x a x ax
= + − >
(0, )x∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> − a
( ) ( ) ( )g x f x x b b R= + − ∈ 1a = ( )g x 1[ , ]e e−
b
2(0, )e
2(1, 1]ee
+ −
( ) 2( 1)f x a> − 2( 1)a − a
( )g x ( )g x 1[ , ]e e−
( )1 0
( ) 0
(1) 0
g e
g e
g
− ≥
≥
2x a
> '( ) 0f x <
20 x a
< <
( )f x 2( , )a
+∞ 2(0, )a
2x a
= ( )f x min
2( )y f a
=
(0, )x∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> − 2( ) 2( 1)f aa
> −
2 2ln 2 2( 1)2 a aa
a
+ − > − 2lna aa
> 20 a e
< <
a 2(0, )e
2( ) ln 2g x x x bx
= + − + − 2
2
2'( ) x xg x x
+ −=由 解得 ，由 解得 .
所以函数 在区间 上有两个零点，
所以 ，解得 .所以 得取值范围 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值以及零点问题，属于中档题。
20.数列 满足
（1）求 的通项公式.
（2）设 ，若对任意 ，恒有 ，求 的取值范围；
（3）设 ，求数列 的前 项和
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据累加法，直接求解，即可得出结果；
（2）先由（1）得 ，将对任意 ，恒有 ，化为对任意
，恒有 ，即 ，分 为偶数和
为奇数两种情况讨论，即可得出结果；
（3）先由（1）得： ，再由裂项相消法，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
，
……
是
'( ) 0g x > 1x > )'( 0g x < 0 1x< <
( )g x 1,e e−
( )1 0
( ) 0
(1) 0
g e
g e
g
− ≥
≥
λ
( )
2 3
1n
n
nc n n a
+= + { }nc n nS
3n
na = 3 12
λ− < < 11 ( 1)3n nS n
= − +
( ) 13 2 2 nn
nb λ −= + − *n N∈ 1n nb b+ >
*n N∈ ( ) ( ) 113 2 2 3 2 2n nn nλ λ −+ + − > + − ( )2 3 3 2 0nn λ⋅ + − > n n
( ) ( )
2 3 2 3
1 1 3n n
n
n nc n n a n n
+ += =+ + ⋅
( )*
1 2 3+ − = ⋅ ∈n
n na a n N
2 1 2 3− = ⋅a a
2
3 2 2 3− = ⋅a a
1
1 2 3 −
−− = ⋅ n
n na a以上各式相加得 ，
又 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
因此，对任意 ，恒有 ，
可化为对任意 ，恒有
即 ，
当 时，不等式可化为 恒成立，
因此只需 ；
当 ，不等式可化为 恒成立，
因此只需 ，
综上， 的取值范围是 ；
（3）由（1）可得：
所以数列 的前 项和
1
2 1
1
3(1 3 )2(3 3 ... 3 ) 2 3 31 3
−
− −− = + + + = × = −−
n
n n
na a
1 3a = 3n
na =
( ) ( )1 12 2 3 2 2n nn
n nb a λ λ− −= + − = + −
( )1
1 3 2 2 nn
nb λ+
+ = + −
*n N∈ 1n nb b+ >
*n N∈ ( ) ( ) 113 2 2 3 2 2n nn nλ λ −+ + − > + −
( )2 3 3 2 0nn λ⋅ + − >
*2 ,n k k N= ∈
11
1
3 3
2 2
nn
n
λ
−−
−
> − = −
2 13 3
2 2
λ
− > − = −
*2 1,n k k N= − ∈
11
1
3 3
2 2
nn
n
λ
−−
−
< =
1 13 12
λ
− < =
λ 3 12
λ− < <
( ) ( )
2 3 2 3 2 3 2 3 1
1 1 3 1 3
n
n n
n
n n n nc n n a n n n n
+ + + + = = = − ⋅ + + ⋅ +
1
3 1 1 1 1
1 3 3 ( 1) 3
n
n nn n n n−
= − ⋅ = − + ⋅ + ⋅
{ }nc n
1 2 3 ...n nc c c cS = + + + +
0 1 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1...1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 ( 1) 3n nn n−
= − + − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
11 ( 1) 3nn
= − + ⋅【点睛】本题主要考查由递推关系求数列的通项的问题，以及数列的求和，熟记累加法求通
项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.
21.已知函数
（1）当 时，求 的单调区间.
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）减区间 ，增区间 ， ；(2)
【解析】
【分析】
（1）由 得到 ，对函数求导，解对应的不等式，即可求出单调
区间；
（2）先由题意得当 时， 恒成立；再将 时， 恒成立，转化为
恒成立；令 ， ，用导数的方法研究其单调性与最值，
即可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以函数 的减区间为 ，增区间 ， ；
（2）因为 时， 恒成立，
显然，当 时， 恒成立；
因此当 时， 恒成立，可化为 恒成立，
即 恒成立；
令 ， ，则 ，
( )( ) ( 1 ln ) lnf x x a x x a R= − − ⋅ ≤
1
2a = ( )f x
1x ≥ ( ) 0f x ≥ a
1 ,1e
(1, )+∞ 10, e
1a ≤
1
2a = 21( ) ln ln 12f x x x x= + − −
1x = ( ) 0f x = 1x > ( ) 0f x ≥
1 ln 0x a x− − ≥ ( ) 1 lng x x a x= − − 1x >
1
2a = − 1( ) ( 1 ln ) ln2f x x x x= − − ⋅ (0, )+∞
1 1 1 1( ) (1 )ln ( 1 ln ) (ln 1)(1 )2 2f x x x x xx x x
′ = − + − − = + −
( ) 0f x′ > 1x > 10 x e
< < ( ) 0f x′ < 1 1xe
< <
( )f x 1 ,1e
(1, )+∞ 10, e
1x ≥ ( ) 0f x ≥
1x = ( ) 0f x =
1x > ( ) 0f x ≥ ( 1 ln ) ln 0x a x x− − ⋅ ≥
1 ln 0x a x− − ≥
( ) 1 lng x x a x= − − 1x > ( ) 1 a x ag x x x
−′ = − =由 得 ，
（i）当 时， ，所以 在 上单调递增，
因此 恒成立；
（ii）当 时，由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以 ，所以只需 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减；因此 ，与 矛盾；
故 舍去；
综上， 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考
题型.
22.在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程.
（2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ，与曲线
的交点为 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由曲线 的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程即可；
（2）将直线 的极坐标方程分别代入曲线 与曲线 的极坐标方程，求出 两点的极径，
( ) 0g x′ = x a=
1a ≤ ( ) 0g x′ > ( ) 1 lng x x a x= − − (1, )+∞
( ) (1) 0g x g> =
1a > ( ) 0g x′ > x a> ( ) 0g x′ < 1 x a< <
( ) 1 lng x x a x= − − ( , )a +∞ ( )1,a
min( ) ( ) 1 lng x g a a a a= = − − 1 ln 0a a a− − ≥
( ) 1 ln 1F a a a a a= − − >， ( ) 1 ln 1 ln 0F a a a′ = − − = − <
( ) 1 lnF a a a a= − − (1, )+∞ ( ) (1) 0F a F< = 1 ln 0a a a− − ≥
1a >
a 1a ≤
xOy 1
cos: 1 sin
x tC y t
=
= + t O x
2C 2 cos 3 33
πρ θ − =
1C
( )2,0M l 3
πθ = 1C ,O P 2C
Q MPQ∆
1 : 2sinC ρ θ= 3
4
1C
l 1C 2C P Q、得到 长度，再由点 坐标，求出 的高，从而可求出 的面积.
【详解】（1）因为曲线 （ 为参数），所以其普通方程为 ；
即 ，所以 ，
因此 即为曲线 的极坐标方程；
（2）由题意，将 代入 ，可得 ；
将 代入 ，可得 ；
所以 ；
又点 到直线 的距离为 ，
即 的高为 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，
以及极坐标下的弦长问题，熟记公式即可，属于常考题型.
23.已知函数 .
(1)当 时，解不等式
(2)若存在 满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）由 得到 ，用分类讨论法，分 ， ，
三种情况，即可求出结果；
（2）先根据含绝对值不等式的性质，得到 的最小值，将存在 满足
PQ ( )2,0M MPQ∆ MPQ∆
1
cos: 1 sin
x tC y t
=
= + t 22 ( 1) 1yx + − =
2 2 2 0x y y+ − = 2 2 sin 0ρ ρ θ− =
2sinρ θ= 1C
3
πθ = 2sinρ θ= 2sin 33P
πρ = =
3
πθ = 2 cos 3 33
πρ θ − =
3 3
2Q
ρ =
3 3 332 2PQ −= =
( )2,0M
3:l
πθ = 2sin 33d
π= =
MPQ∆ 3
1 3
2 4MPQS PQ d∆ = =
( ) | 2 | 2 ,f x x x a a R= − + + ∈
1a = ( ) 3f x ≥
0x ( )0 0 2 5f x x+ − < a
2( , ] [0, )3
−∞ − ∪ +∞ 9 1a− < <
1a = ( ) | 2 | 2 1f x x x= − + + 2x ≥ 1 22 x− ≤ <
2
1x < −
2 | 2 | 2x x a− + + 0x转化为 的最小值小于 5，即可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，
当 时，不等式 可化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，不等式 可化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，不等式 可化为 ，解得 ，所以 ；
综上，原不等式的解集为 ；
（2）令 ，
则 ，
因此存在 满足 ，
可化为 ，即 ，
所以 ，
因此
【点睛】本题主要考含绝对值不等式的解法，熟记含绝对值不等式的性质，灵活运用分类讨
论法求解即可，属于常考题型.
( )0 0 2 5f x x+ − < 2 | 2 | 2x x a− + +
1a = ( ) | 2 | 2 1f x x x= − + +
2x ≥ ( ) 3f x ≥ 3 1 3x − ≥ 4
3x ≥ 2x ≥
1 22 x− ≤ < ( ) 3f x ≥ 3 3x + ≥ 0x ≥ 0 2x≤ <
2
1x < − ( ) 3f x ≥ 1 3 3x− ≥ 2
3x ≤ − 2
3x ≤ −
2( , ] [0, )3
−∞ − ∪ +∞
( ) 2 | 2 | 2g x x x a= − + +
( ) 2 | 2 | 2 | 4 2 | 2 4g x x x a x x a a= − + + = − + + ≥ +
0x ( )0 0 2 5f x x+ − <
min( ) 5g x < 4 5a + <
5 4 5a− < + <
9 1a− <
微信/支付宝扫码支付