2020 届高三 9 月份月考试题
数学（文科）
本试题卷共 4 页，22 题. 全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1.已知复数 是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数 a 等于
A. -2 B. 2 C. D. -1
【答案】C
【解析】
是纯虚数,所以 ，选 C.
2.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合 A,B,再求得 ，及 。
【详解】由题意得 ，
，
∴ ，∴ ．故选 C．
【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则
常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。
2
a i
i
+
−
1
2
2
a i
i
+
−
2 1 2
5 5
a a i
− += + 2 1 2 10, 05 5 2
a a a
− += ≠ ∴ =
U R= { }| 1 1A x x= − < 2 5| 11
xB x x
− = ≥ − ( )UA B∩ =
{ }1 2x x< < { }1 2x x< ≤
{ }1 2x x≤ < { }1 4x x≤ <
U B UA B∩
{ } { } { }| 1 1 1 1 1 0 2A x x x x x x= − < = − < − < = < <
{ }2 5 41 0 | 1 41 1
x xB x x x x xx x
− −= ≥ = ≥ = < ≥ − −
或
{ }1 4U B x x= ≤ − − −
( ) ( )2
2
2 2,2 3f e f ee e
= =− −
( ) ( )2f e f e>由于 ，排除 D 选项.故选 A.
【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.
6.已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若
， ， ，则 a，b，c 的大小关系
是( )
A. a B. C. D. c
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数 h（x）＝xf（x），则 a＝h（20.6），b＝h（ln2），c＝（ ）•f
（ ）＝h（﹣3），分析可得 h（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可
得 h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有 0＜ln2＜1＜20.6，结合函数的单调性分
析可得答案．
【详解】解：根据题意，令 h（x）＝xf（x），
h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则 h（x）为奇函数；
当 x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则 h（x）在（﹣∞，0）上为减函
数，
又由函数 h（x）为奇函数，则 h（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以 h（x）在 R 上为减函数，
a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（ ）•f
（ ）＝h（ ）＝h（﹣3），
因为 0＜ln2＜1＜20.6，
则有 ；
故选：C．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数 h（x）＝xf（x），并分
( )100
100
2 0101f e e
= >−
( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ],0x∈ −∞ ( ) ( ) 0f x xf x′+ <
( ) ( )0.6 0.62 2a f= ⋅ ( ) ( )ln2 ln2b f= ⋅
1 1
8 8
2 2log logc f
= ⋅
b c> > a c b> > c b a> > a b> >
2
1
8log
2
1
8log
2
1
8log ＜
2
1
8log
2
1
8log 2
1
8log
2
1
8log ＜
c b a> >析 h（x）的奇偶性与单调性．
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体为三棱锥 P﹣ABC，过点 P 作 PD⊥底面 ABC，垂足 D 在 AC 的延长线上，
且 BD⊥AD．由题中数据及锥体体积公式即可得出．
【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥 （如图），
过点 作 底面 ，垂足 在 的延长线上，且 ， ，
， ，
该几何体的体积 .故选 A.
【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
2
3
1
3
4
3
8
3
P ABC−
P PD ⊥ ABC D AC BD AD⊥ 1AC CD= =
2BD = 2PD =
∴ 1 1 21 2 23 2 3V = × × × × =8. ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由诱导公式得到 ，并计算出 cos ，再由二倍角公
式计算 即可.
【 详 解 】 由 ， 则 ， 所 以 cos , 所 以 cos
，又
cos = ，故选 D.
【点睛】本题考查了诱导公式 运用，考查了二倍角公式的应用，考查了角的配凑技巧，属
于基础题.
9.将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短
到原来的 ，得到函数 的图象.已知函数
的部分图象如图所示，则函数 （ ）
的
3sin , 0,3 3 2
π πα α − = ∈ cos 2 6
πα − =
4 3
9
4 3
9
− 2 2
3
− 2 2
3
2cos 2 26 3sin
π πα α − = − 3
π α −
2 23sin
π α −
0 2
πα ∈（ ， ）
3 6 3
π π πα− ∈ −（ ， ） 03
π α − >
6
3 3
π α − =
2 2cos 2 cos 2 2 2sin6 2 3 3 3sin
π π π π πα α α α − = − − = − = −
3
π α −
3 6 2 22 3 3 3
× × =
( )f x
6
π
2
3
( ) ( )sin ( 0, 0, )2g x A x A
πω ϕ ω ϕ= + > > < ( )g x
( )f xA. 最小正周期为 ，最大值为 2
B. 最小正周期 ，图象关于点 中心对称
C. 最小正周期为 ，图象关于直线 对称
D. 最小正周期为 ，在区间 单调递减
【答案】D
【解析】
分析】
先根据函数的图像求出 ，再求出 .利用函数的最
小正周期否定选项 A,C,再求函数 f(x)的对称中心否定选项 B,再求函数 f(x)的单调区间确定
选项 D 是真命题.
【详解】由图可知， ， ，∴ .
又由 可得 ， ，而 ，∴ .
∴ ，∴ .
∴ 的最小正周期为 ，选项 A，C 错误.
为
【
2
3
π
π ,06
π
2
3
π
6x
π=
π ,6 3
π π
( ) 2sin 3 6g x x
π = −
( ) 2sin 2x 6f x
π = +
2A = 2 24 9 18 3T
π π π = − =
2 3T
πω = =
2 29g
π = 26 k
πϕ π= − + k Z∈
2
πϕ <
6
πϕ = −
( ) 2sin 3 6g x x
π = −
( ) 2sin 2x 6f x
π = +
( )f x π对于选项 B,令 =kπ（k∈z）,所以 x= - ，所以函数 f(x)的对称中心为（ -
）（k∈z），所以选项 B 是错误的；
又当 时， ，所以 在 是减函数，所以选项 D 正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.若函数 在 上的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
要使 的值域为 ，得到 的范围要求，则 要在其范围内，然后得到 的
范围，找到最小值.
【详解】
而 值域为 ，发现
，
整理得 ，
则 最小值为 ，选 A 项.
【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.
【
2x 6
π+
2
kπ
12
π
2
kπ
012
，π
,6 3x
π π ∈
52 ,6 2 6x
π π π + ∈
( )f x ,6 3
π π
( ) sin ( 0)6f x x
πω ω = − > [0, ]π 1 ,12
−
ω
2
3
3
4
4
3
3
2
( )f x 1 ,12
− x
6x
πω − ω
0 x π≤ ≤
6 6 6x
π π πω ωπ∴− ≤ − ≤ −
( )f x 1 ,12
−
( ) 10 sin 6 2f
π = − = −
5
2 6 6
π π πωπ∴ ≤ − ≤
2 13
ω≤ ≤
ω 2
311.定义在 上的偶函数 满足 ，对 且 ，都有
，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，及 是周期为
的 函 数 ， 结 合 是 偶 函 数 可 得 ，
， 再 由 且
， 得 在 上 递 增 ， 因 此 ， 即
，故选 A．
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．
12.设函数 ,若关于 的方程 恰好有六个
不同的实数解,则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
R ( )f x ( 3) ( )f x f x− = − 1 2, [0,3]x x∀ ∈ 1 2x x≠
1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
− >−
(49) (64) (81)f f f< <
(49) (81) (64)f f f< <
(64) (49) (81)f f f< <
(64) (81) (49)f f f< <
( 3) ( )f x f x− = − ( )( 6) ( 3)f x f x f x− = − − = ( )f x 6
( )f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )(49) 1 , (64) 2 2 , (81) 3 3f f f f f f f f= = − = = − = 1 2, [0,3]x x∀ ∈
1 2x x≠ 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
− >− ( )f x [0,3] (1) (2) (3)f f f< <
(49) (64) (81)f f f< <
4
3 1 0( ) log 0
x xf x x x
+ ≤= >
，
， x 2 ( ) ( 2) ( ) 3 0f x a f x− + + =
a
( 2 3 2 2 3 2)− − −， 3(2 3 2 ]2
− ， 3 ,2
+∞
(2 3 2, )− +∞作出函数 的图象如图，令 ，则方程
化为 ，要使关于 的方程
，恰好有六个不同的实数根，则方程
在 内有两个不同实数根， ，解
得 实数 的取值范围是 ，故选 B.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直
接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先
将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平
面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数
零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知等差数列 满足： ， .则数列 的前 项和为 = ▲ ．
【答案】
【解析】
略
( )
4
3 1, 0
log , 0
x xf x x x
+ ≤= >
( )f x t=
( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x− + + = ( )2 2 3 0t a t− + + = x
( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x− + + =
( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x− + + = ( ]1,2
( )
( )
( )
2
2
2
2 12 0
21 22
1 2 1 3 0
2 2 2 3 0
a
a
a
a
∆ = + − > + <
− + × + ≥
32 3 2 ,2a− < ≤ ∴ a 32 3 2, 2
−
( ) ( ),y g x y h x= =
( ),y a y g x= =
{ }na 3 7a = 5 7 26a a+ = { }na n nS
2 2n n+14. 在 上的单调增区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，
得出结论．
【详解】
.
， ，
当 即 时， 单调递增，
的单调递增区间为
【点睛】本题主要考查二倍角公式及两角差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，属于基
础题．
15.已知曲线 ： 与曲线 ： ，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实
数 的值为__________.
【答案】
【解析】
设交点为 ，则切线斜率为
2 1( ) sin cos 22 3f x x x
π = + − ,3 4
π π −
[ , ]6 4
π π−
2 1 1 cos2 1 3( ) sin cos(2 ) cos2 sin 22 3 2 4 4
xf x x x x x
π −= + − = + +
1 3 1 1 1 1( sin 2 cos2 ) sin(2 )2 2 2 2 2 6 2x x x
π= − + = − +
,3 4x
π π ∈ −
52 ,6 6 3x
π π π ∴ − ∈ −
2 ,6 2 3x
π π π − ∈ − ,6 4x
π π ∈ − ( )f x
( )f x∴ ,6 4
π π −
1C xy e= 2C 2( )y x a= +
a
2 2ln 2−
( , )tt e 2 22( ), ( ) ( ) , 4,2
t
t t t tee t a e t a e e= + = + ∴ = =
2 2 ln 4 2 2ln 2a t∴ = − = − = −16.已知数列 ， ， 为数列 的前 项的和，且对任意 ，都有
，则 的通项公式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
当 时，由 .所以 是以 为首项， 为公差的等差数
列，求出
，再利用项和公式求得 的通项公式.
【详解】当 时，由
.
又 ，∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列.
∴ ，∴ ，当 时，∴ ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查 与 的关系，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题（本大题共 6 小题，其中 17-21 每题 12 分，第 22 题 10 分，共 70 分）
{ }na 1 2a = nS { }na n 2n ≥
2
2 1n
n n n
a
a S S
=− { }na
2, 1
2 , 2( 1)
n
n
a nn n
== − ≥ −
n 2≥ n
2
n n n n n 1
2a 1 1 11a S S S S 2
得
−
= − =−
n
1
S
1
2
1
2
2
nS n
= { }na
2n ≥
( )
( ) 1
2 2
1
22 1 n nn
n n n n n n n
S Sa
a S S S S S S
−
−
−= ⇒− − −
( )1
1 1
2 1 1 11 2
n n
n n n n
S S
S S S S
−
− −
−= = ⇒ − =−
1 1
1 1 1
2S a
= = 1
nS
1
2
1
2
1
2n
n
S
= 2
nS n
= 2n ≥ ( )1
2 2 2
1 1n n na S S n n n n−= − = − = −− −
( )
2, 1
2 , 21
n
n
a nn n
=
= − ≥ −
( )
2, 1
2 , 21
n
n
a nn n
=
= − ≥ −
nS na17.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 ．
Ⅰ.求：角 B；
Ⅱ.若 ， 求： 的面积．
【答案】I. ；II.
【解析】
【分析】
I.根据正弦定理化简边角关系式，构造出 的形式，求得 ，从而得到 ；II.由同
角三角函数关系求得 ，用正弦定理求得 ，再利用 求得 ，代
入三角形面积公式求得结果.
【详解】I.由正弦定理可得： ，即
整理可得：
则
II.由 得：
由正弦定理 可得：
又
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式应用、三角形面积公式
的应用，熟练应用定理和公式进行边角关系式的化简和未知量的求解是解题的关键，属于常
规题型.
ABC∆
sin sin sin
a b a c
C A B
+ −= −
3b = 6cos 3A = ABC∆
3B
π= 3 3 2
2ABCS∆
+=
cos B cos B B
sin A a ( )sin sinC A B= + sinC
a b a c
c a b
+ −= −
2 2 2a b ac c− = −
2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
( )0,B π∈ 3B
π∴ =
6cos 3A = 3sin 3A =
sin sin
a b
A B
=
33sin 3 2sin 3
2
b Aa B
×
= = =
( ) 3 1 6 3 3 3 2sin sin sin cos cos sin 3 2 3 2 6C A B A B A B += + = + = ´ + ´ =
1 1 3 3 2 3 3 2sin 2 32 2 6 2ABCS ab C∆
+ +∴ = = × × × =18.已知函数 ， ， ， . 的部分图象，
如图所示， 、 分别为该图象的最高点和最低点，点 的坐标为 .
（1）求 的最小正周期及 的值；
（2）若点 的坐标为 ， ，求 的值.
【答案】（1）6， ；（2） .
【解析】
【详解】(1)由题意得 T＝ ＝6.
因为 P(1，A)在 y＝Asin 的图象上，
所以 sin ＝1.因为 00，所以 A
＝
( ) sin ( )3f x A x
π ϕ= + x∈R 0A > 0 2
πϕ< < ( )y f x=
P Q P (1, )A
( )f x ϕ
R (1,0) A
6
π
3
2
3
π
π
3 x
π ϕ +
3
π ϕ + 2
π
6
π
3
π
6
π 3
2
π
2
3
π
2 2 2 2 2 2
2
9 9 4 1
2 22 9
RP RQ PQ A A A
RP RQ A A⋅ ⋅
＋ － ＋ ＋ －（ ＋ ）＝ ＝－
＋
319.已知数列 的前 项和为 ，且 .等比数列 中， ，
， .
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将 n 换为 n﹣1，相减，由数列的递推式和等差数列的定义，以及等比数列的中项性质
和通项公式，计算可得所求通项公式；
（Ⅱ）求得 cn＝anbn＝（13﹣2n）•（ ）n﹣3，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求
和公式，计算可得所求和．
【详解】（Ⅰ） ，
当 时， ，
两式相减可得
可得 ，
即为 ，即为 ，
当 时， ，也满足上式，
则数列 为公差为 的等差数列，
等比数列 中， ， ， .
可得 ，即 ，
{ }na n nS 1 ( 1)n nS na n n+= + + { }nb 1 2b a=
2 5b a= 3 6b a=
{ }na { }nb
n n nc a b= { }nc n nT
31
3
n
nb
− =
31135 ( 5) 3
n
nT n
− = + − ⋅
1
3
1 ( 1)n nS na n n+= + +
2n ≥ 1 ( 1) ( 1)n nS n a n n− = − + −
1 1 ( 1) ( 1) ( 1)n n n nS S na n a n n n n− += − − + + − −−
1 ( 1) 2n n na na n a n+= − − +
1 2n nna na n+ − = − 1 2n na a+ − = −
1n = 1 1 2 2a S a= = +
{ }na 2−
{ }nb 1 2b a= 2 5b a= 3 6b a=
2
2 1 3b b b= 2
5 2 6a a a=即有 ，解得 ，
则 ；
由 ， ， ，可得公比 ，
即 ；
（Ⅱ） ，
可得前 项和 ，
，
相减可得
，
化简可得 .
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查
数列的错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) ;(2)见解析
【解析】
( ) ( )( )2
1 1 18 2 10a a a− = − − 1 11a =
11 2( 1) 13 2na n n= =﹣ ﹣ ﹣
1 2 9b a= = 2 5 3b a= = 3 6 1b a= = 1
3q =
31
3
n
nb
− =
31(13 2 ) 3
n
n n nc a b n
− = = − ⋅
n
2 1 31 1 111 9 (13 2 )3 3 3
n
nT n
− − − = ⋅ + ⋅ +…+ − ⋅
1 21 1 1 111 9 (13 2 )3 3 3 3
n
nT n
− − = ⋅ + ⋅ +…+ − ⋅
2 1 3 22 1 1 1 111 ( 2) (13 2 )3 3 3 3 3
n n
nT n
− − − − = ⋅ + − + + − − ⋅
21
13 1 1399 2 (13 2 )1 31 3
nn
n
−−
− = − ⋅ − − ⋅ −
31135 ( 5) 3
n
nT n
− = + − ⋅
{ }na n nS *3 2 ,( )n na S n n N= + ∈
{ }na
3( 1) log (2 1)n
n nb a= − ⋅ + { }nb n nT nT
*1 13 ,( )2 2
n
na n N= ⋅ − ∈【分析】
（1）将 n 换为 n﹣1，相减，得：an＝3an﹣1+1，然后证明数列{ }是以 为首项，3 为公
比的等比数列．求出通项公式．
（2）通过递推关系式求出数列的通项公式，利用分组求和法分 n 为奇偶求解数列的和即
可．
【详解】（1）当 时， ，
当 时，
， ，两式相减得：
时也符合上式，
（2） ，
当 为偶数时，
当 为奇数时，
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查了数列求和，考查转化思想以及计算能
力．
21.设函数 ,其中 为自然对数的底数．
（1）若 ,求 的单调区间;
（2）若 ,求证: 无零点．
【答案】（1） 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
1
2na + 3
2
1n = 1 13 2 1a a= + 1 1a∴ =
2n ≥
3 2n na S n= + 1 13 2 1n na S n− −= + − 13 3 2 1n n na a a−− = +
13 1n na a −∴ = +
1
1 13( )2 2n na a −∴ + = +
1 1
1
1 1 3( ) 3 32 2 2
n n
na a − −∴ + = + ⋅ = ⋅
1 132 2
n
na∴ = ⋅ −
1n = *1 13 ,( )2 2
n
na n N∴ = ⋅ − ∈
3( 1) log (2 1)n
n nb a= − ⋅ + ( 1)n
nb n∴ = − ⋅
∴ n ( 1 2) ( 3 4) [ ( 1) ] 1 2n
nT n n= − + + − + + − − + = ⋅
n 1
1 1
2 2n n n
n nT T b n−
− − −= + = − =
1( ) e lnxf x a x−= − e
1a = ( )f x
0 ea≤ ≤ ( )f x
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；
（2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，从而证得结果.
【详解】（1）若 ,则 ,∴ ．
令 ,则 ,
当 时, ,即 单调递增,又 ,
∴当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增．
∴ 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ．
（2）当 时, ，显然 无零点．
当 时,
(i)当 时, ，显然 无零点．
(ii)当 时，易证 ，∴ ,
∴ ．
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
故 ，从而 ，显然 无零点.
综上, 无零点．
【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，
利用导数求函数的值域证得函数没有零点，属于较难题目.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为
1a = ( ) 1e ln ( 0)xf x x x−= − > ( ) 1e 1' ( 0)
xxf x xx
− −= >
( ) 1e 1( 0)xt x x x−= − > ( ) ( ) 1' 1 e ( 0)xt x x x−= + >
0x > ( )' 0t x > ( )t x ( )1 0t =
( )0,1x∈ ( ) ( ) ( )0, ' 0,t x f x f x< <
( )1,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )0, ' 0,t x f x f x> >
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
0a = ( ) 1e 0xf x −= > ( )f x
0 ea< ≤
0 1x< ≤ ( ) 1ln 0, ln 0, e ln 0xx a x f x a x−≤ ≤ = − > ( )f x
1x > 0 ln 1x x< < − ( ) ( )ln 1 e 1a x a x x< − ≤ −
( ) ( )1 1e ln e e 1x xf x a x x− −= − > − −
( ) ( )1e e 1xg x x−= − − ( ) 1e exg x −′ = −
( ) 0g x′ = 2x =
1 2x< < ( ) 0g x′ < 2x > ( ) 0g x′ >
min( ) (2) 0g x g= = ( ) 0f x > ( )f x
( )f x
xOy 1C 3 cos
sin
x
y
α
α
= =
α极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标.
【答案】（1） ： ， ： ；（2） ，此时 .
【解析】
试题分析：（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2）由
题 意 ， 可 设 点 的 直 角 坐 标 为 到 的 距 离
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标
为 .
试题解析： （1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .
（2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小
值即为 到 的距离 的最小值，
.
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为
.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，
选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；
乘法消参法；混合消参法等．把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键：一是适
当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
x 2C sin( ) 2 24
ρ θ π+ =
1C 2C
P 1C Q 2C PQ P
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
min 2PQ = 3 1( , )2 2P
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
P ( 3 cos ,sin )α α ⇒ P 2C
| 3 cos sin 4 | π( ) 2 | sin( ) 2 |32
d
α αα α+ −= = + −
⇒ π2 π ( )6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P
3 1( , )2 2
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ
P 2C ( )d α
| 3 cos sin 4 | π( ) 2 | sin( ) 2 |32
d
α αα α+ −= = + −
π2 π ( )6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P
3 1( , )2 2
C 0( ),F x y =
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