广东2020届高三数学（理）10月月考试卷（Word版带解析）

2020 届高三年级十月考试题数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的正半轴重合，若它的终边经过点 ，则 （ ） A. -7 B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】 由角 的终边经过点 可求得 值，再根据和差角公式展开 ， 可知需要再求解 ，用 的二倍角公式求解即可。 【 详 解 】 因 为 角 的 终 边 经 过 点 ， 可 得 ， 故 ，所以 ， 故选 A。 【点睛】求解三角函数值时，重点观察角度的关系，判断需要选取的公式，如二倍角和差角 等，进行公式的选择与运算。 2.已知命题 ，命题 ,则命题 是命题 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数不等式与对数不等式分别求出命题 ， 等价条件，再由充分条件与必要条件的定 义进行判断即可。 的 θ O x ( )( )2 , 0P a a a ≠ tan 2 4 πθ + =   1 7 − 1 7 θ ( )( )2 , 0P a a a ≠ tanθ tan 2 4 πθ +   tan 2θ tanθ θ ( )( )2 , 0P a a a ≠ 1tan = 2 2 a a θ = 2 2 122tan 1 42tan 2 = 1 31 tan 31 ( )2 4 θθ θ × = = =− − 4 1tan 2 tan 34tan 2 = 744 1 tan 2 tan 14 3 πθπθ πθ ++ + = = −   − × − : 2 2x yp < 2 2:log logq x y< p q p q【详解】命题 等价于“ ”，命题 等价于“ ”， 所以命题 是命题 的必要不充分条件， 故答案选 B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，解题的关键是求出命题 ， 的等价条件，属于基 础题。 3.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－c)(sinB＋sinC)， 则角 C 等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得，(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝ ＝ ，∴C＝ ， 故选 A. 4.若 ， 为锐角，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题 可将 利用诱导公式化成余弦函数，再根据角 度的范围进行求解。 【详解】由题得 ， : 2 2x yp < x y< 2 2:log logq x y< 0 x y< < p q p q 3 π 6 π 4 π 2 3 π α β 2cos sin6 3 π πα β   − = +       3 πα β+ = 6 πα β+ = 3 πα β− = 6 πα β− = 2cos sin6 3 π πα β   − = +       2sin 3 π β +   2cos =sin =sin + =cos6 3 2 6 6 π π π π πα β β β       − + + +              故 ，又因为 为锐角，所以 ，故 为正数，所以 也为正数，又 ， 为锐角，故 ，故 与 分别为第四、一象限的角度，又 ，所以 ，故 ，故选 C。 【点睛】两个三角函数值相等可以化成同名函数进行角度分析判断，同时也可用和差角公式 进行化简，最后再根据角度范围进行角度大小判断。 5.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直 于 的直线 分别交 ， 于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得 由题得 ，解方 程即得解. 【详解】由题得 由题得 ， 所以 ， 所以 ， cos =cos6 6 π πα β   − +       α ,6 3 6 π π πα  − ∈ −   cos 6 π α −   cos 6 π β +   α β 6 6 π πα β− ≠ + 6 π α− 6 π β+ cos =cos6 6 π πα β   − +       + =06 6 π πα β   − +       3 πα β− = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1l 2l F 1l l 1l 2l ,A B 2FB AF=  2 3 3 3 4 3 4 3 3 | | ,| | 2 ,| OA | a,FA b FB b= = = 2 22tan 2tan 1 ( ) b b aBOA BOF ba a ⋅ ∠ = = ∠ = − | | ,| | 2 ,| OA | a,FA b FB b= = = tan tan bBOF AOF a ∠ = ∠ = 2 23tan tan 2 1 ( ) b b aBOA BOF ba a ⋅ ∠ = = ∠ = − 2 2 2 2 23 , 9 3 , 9( ) 33 b b a c a aa = ∴ = ∴ − =所以 . 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和双曲线的简单几何性质，意在考查 学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 中带有对数函数，故考虑求导分析单调性，进而求出最大最小值再算出值 域。 【详解】因为 ，求导得 ， 令 可得 ，故在区间 上 ， 单调递减；在区间 上 ， 单调递增。 故 ， 又当 趋近于正无穷大时， 趋近于正无穷大，故函数的值域为 ，故选 C。 【点睛】对求函数值域的问题，可求导进行单调性分析，画出图像进而确定函数的最大值最 小值。 2 33e = ( ) 2 1 lnf x x x= + − ( )0, ∞+ 3 ,2  +∞  3 1 ln 22 2  + + ∞ ， 3 1 ln 22 2  −∞ +  ， ( ) 2 1 lnf x x x= + − ( ) 2 1 lnf x x x= + − ( ) ( )21 2 1' 2 = 0xf x x xx x −= − >， ( )' =0f x 2 2x = 20 2       ， ( )' 0f x < ( )f x 2 +2  ∞    ， ( )' 0f x > ( )f x ( )min 2 1 2 3 1= 1 ln + ln 22 2 2 2 2f x f    = + − =          x ( )f x 3 1 ln 22 2  + + ∞ ，7.将 的图像向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到 函数 的图像，则下列关于函数 的说法错误的是（ ） A. 函数 的最小正周期是  B. 函数 的一条对称轴是 C. 函数 的一个零点是 D. 函数 在区间 上单调递减 【答案】D 【解析】 分析：首先求得函数 的解析式，然后考查函数的性质即可. 详解：由题意可知： ， 图像向左平移 个单位，再向下平移 个单位的函数解析式为： . 则函数 的最小正周期为 ，A 选项说法正确； 当 时， ，函数 的一条对称轴是 ，B 选项说法正确； 当 时， ，函数 的一个零点是 ，C 选项说法正确； 若 ，则 ，函数 在区间 上不单调，D 选 项说法错误； 本题选择 D 选项. 点睛：本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的性质等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. ( ) 2 sin 2 2 cos2 1f x x x= − + 4 π 1 ( )y g x= ( )y g x= ( )y g x= π ( )y g x= 8x π= ( )y g x= 3 8 π ( )y g x= 5,12 8 π π     ( )g x ( ) 2sin2 2cos2 1 2sin 2 14f x x x x π = − + = − +   4 π 1 ( ) 2sin 2 1 1 2sin 24 4 4g x x x π π π    = + − + − = +         ( )g x 2 2T π π= = 8x π= 2 4 2x π π+ = ( )y g x= 8x π= 3 8x π= 2 4x π π+ = ( )y g x= 3 8 π 5,12 8x π π ∈   5 32 ,4 12 2x π π π + ∈   ( )y g x= 5,12 8 π π    8.函数 的图象可能是下面的图象( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为 ，所以函数 的图象关于点（2,0）对称，排 除 A，B。当 时， ，所以 ，排除 D。选 C。 9.已知对任意 等式 恒成立（其中 是自然对数的底数），则 实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 因为不等式左边是类指数函数不便于计算，故可两边取对数进行化简，再参变分离得出 ，再求 的最大值即可。 ( ) ( )2 3 ln 4 4 ( 2) x x f x x − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 3 ln 4 4 ln 2 2 2 x x xf x x x − + −= = − − ( )f x 0x < ( ) ( )2 3ln 2 0, 2 0x x− > − < ( ) 0f x < 21 ,x ee  ∈   2axe x> 2.71828e =  a 2 e  + ∞  ， 1 e  +∞  ， 1, 2e  −∞ −   2 4 e −∞   ， 2ln xa x > 2ln x x【详解】由 ，两边取对数则 ，因为定义域为 ，故 ，令 ， 则 ，令 则有 ，所以在区间 上 ， 单调递增；在区间 上 ， 单调递减。所以 ，故 ，又 恒成立，所以 ，故选 A。 【点睛】恒成立的问题求参数范围，可根据题意化简，参变分离得出的结构 ，再求 的最大值即可。 10.已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，若在区间 内，函数 有 4 个零点，则实数 的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意确定函数 的性质，然后将原问题转化为两个函数有 4 个交点的问题求解实数 a 的 取值范围即可. 【 详 解 】 由 题 意 可 知 函 数 是 周 期 为 的 偶 函 数 ， 结 合 当 时 ， ，绘制函数图象如图所示， 函数 有 4 个零点，则函数 与函数 的图象在区间 内有 4 个交 点， 结合函数图象可得：当 时： ，求解对数不等式可得： ， 即实数 的取值范围是 . 2axe x> 2ln l 2lnnaxe x ax x⇒ >> ( )0, ∞+ 2ln xa x > 2ln( ) xg x x = 2 2 2 12 2ln 2 2ln 2(1 ln )'( ) = x x x xxg x x x x ⋅ ⋅ − − −= = '( ) 0g x = =x e 1 ee     ， '( ) 0g x > ( )g x ( )2e e， )'( 0g x < ( )g x max 2ln 2( ) ( ) eg x g e e e = = = 2( )g x e ≤ 2ln xa x > 2a e > ( )a g x> ( )g x ( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x [ ]1,0x∈ − ( ) 2f x x= [ ]1,3− ( ) ( ) ( )log 2ag x f x x= − + a ( )1,5 ( ]1,5 ( )5,+∞ [ )5,+∞ ( )f x ( )f x 2T = [ ]1,0x∈ − ( ) 2f x x= ( )g x ( )f x ( )log 2ay x= + [ ]1,3− 3x = ( )log 3 2 1a + ≤ 5a ≥ a [ )5,+∞故选：D. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜ 0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐 标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 11.已知 ，若 ，且 ，则 与 2 的关系为（ ） A. B. C. D. 大小不确 定 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导求出 的极大值点为 1，再比较 和 的大小得出 ， 再根据当 时， ， 单调递减可得 。 【详解】由题， ,令 则有 ，所以当 时， ( ) ( )xf x xe x R−= ∈ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x+ 1 2 2x x+ > 1 2 2x x+ ≥ 1 2 2x x+ < ( )f x (1 )f x− (1 )f x+ (1 ) (1 )f x f x+ > − 1x > '( ) 0f x < ( )f x 1 2 2x x+ > '( ) (1 ) xf x x e−= − '( ) 0f x = 1x = 1x > '( ) 0f x = (1 ) (1 ) 0f x f x+ − − > (1 ) (1 )f x f x+ > − 0 1 1x< − < 1 1x+ > ( )f x [ )1 +∞， (1 ) (1 )f x f x+ > − 1 x+ 2x 2(1 ) ( )f x f x− = 2 1x x> + 21 1 1 2x x x x− + > − + + = 11 x x− = 1 2 2x x+ > ( ) ( )xf x xe x R−= ∈ 1 2 2x x+ > (1 )f x− (1 )f x+ ( ) ( ) ( )ln , 2f x x g x a e x b= = − + ( ) ( )f x g x≤ ( )0,x∈ +∞ 2b a 1 2e − 1 e − e− e令 h（x）f（x）﹣g（x）=lnx﹣（a﹣e）x﹣2b，利用导数求得 h（x） max=h（ ）=﹣ln （a﹣e）﹣1﹣2b≤0，求得 ≥ ，a＞e，运用导数求得 a=2e 时，可得所求最 小值． 【详解】由题意可知： 在 上恒成立， 构造函数 ，原问题等价于 ， 其中 ， 若 ，则 恒成立，函数 单调递增，不合题意， 据此可知 ，由导函数的符号可知： 函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 函数 的最大值 ， 整理可得： ，则 ， 构造函数 ，则 ， 原问题等价于求解函数 的最大值. 由于 ， 故 ， 构造函数 ， 则 ， 恒成立，则 在定义域内单调递减，注意到 ， 故在区间 上，函数 ， ， 单调递减， 1 a e− 2b a ( )1 ln a e a − − − ( )ln 2x a e x b≤ − + ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )ln 2 0h x x a e x b x = − − + >  ( ) max 0h x  ≤  ( ) ( )1' a e xh x x − −= 0a e− ≤ ( )' 0h x > ( )h x 0a e− > ( )h x 10, a e    −  1 ,a e  +∞ −  ( )h x ( )1 1 1ln 2 0h a e ba e a e a e    = − − × + ≤   − − −    12 ln 1b a e ≥ −− 2 1 1ln 1b a a a e  ≥ − −  ( ) ( )1 1ln 1H x x ex x e  = − > −  ( )( ) max 2b H xa ≥ ( )H x ( ) ( ) ( )ln 11 1ln 1 x eH x x ex x e x − + = − = − > −  ( ) ( ) 2 ln 1 ' x x ex eH x x  − − + −= − ( ) ( ) ( )ln 1xG x x e x ex e  = − − + > − ( ) ( )2' xG x x e −= − ( )' 0G x < ( )G x ( )2 0G e = ( ),2e e ( ) 0G x > ( )' 0H x < ( )H x故在区间 上，函数 ， ， 单调递增， 函数 的最大值为 . 综上可得： 的最小值是 . 故选：B. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的 单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量， 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知曲线 与 的图象所围成的阴影部分面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由于 不是函数，不方便直接用定积分求面积，可先将整个图像关于 作对称变换得 到 与 ，再根据定积分的方法求解即可。 【详解】将曲线 与 作关于 的对称图像，得到 与 求出 与 交点坐标分别为 与 ，故所求面积表达式为 ( )2 ,e +∞ ( ) 0G x < ( )' 0H x > ( )H x ( )H x ( ) 1 1 12 ln 12 2H e e e e e  = × − = − −  2b a 1 e − 2y x= 2y x= − 9 2 2y x= y x= 2y x= 2y x= + 2y x= 2y x= − y x= 2y x= 2y x= + 2y x= 2y x= + ( 1,1)− (2,4)，易得原函数 ，故所求面积为 ，即阴影部分面积为 【点睛】对于不方便直接用定积分求面积的问题，可以找寻与之面积相等的图像进行求解。 本题中的抛物线焦点在 轴上不易求解，故转换到 轴上。 14.已知定义在 上的函数 满 ，当 时， ，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】 由 可得 周期为 4，再利用周期性 ，再 利用 求解即可。 【详解】由题， ，所以 ，故 周期为 4。所 以 ，又 ，故 。 【点睛】本题考查周期性，在求较大数的函数值时可以先利用周期性将自变量变换到较小的 数，再根据题目函数性质，将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解。 15.在 中，角 所对的边分别是 ，且 成等差数列，则角 的取值范 围是________. 【答案】 【解析】 2 2 1 ( 2 )x x dx− + −∫ 2 3 ( ) 22 3 x xF x x= + − 2 3 2 32 2 ( 1) ( 1) 9(2) ( 1) ( 2 2 ) ( 2 ( 1) )2 3 2 3 2F F − −− − = + × − − + × − − = 9 2 x y R ( )f x 1( 2) ( )f x f x + = [0,2)x∈ ( ) xf x x e= + (2019)f = 1 1 e+ 1( 2) ( )f x f x + = ( )f x (2019) (504 4+3) (3)f f f= × = 1( 2) ( )f x f x + = 1( 2) ( )f x f x + = 1( 4) ( )( 2)f x f xf x + = =+ ( )f x (2019) (504 4+3) (3)f f f= × = 1( 2) ( )f x f x + = 1 1(3) (1) 1f f e = = + ABC△ , ,A B C , ,a b c , ,a b c B (0, ]3 π【分析】 由 成等差数列可得出 的等量关系，再列出余弦定理，利用基本不等式求解即可。 【详解】由 成等差数列，可得 ，又余弦定理 ， 因为 ，且余弦函数在 上为减函数，所以 。故答案为 【点睛】在解三角形的计算中如果出现边之和、边之积等形式，又要求取值范围的问题的时 候经常利用余弦定理与基本不等式进行不等式判断。 16.关于 有以下说法： ①若 ，则 ； ② 的图像与 的图像相同； ③ 在区间 上是减函数； ④ 的图像关于点 对称． 其中正确的序号有__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 ①由 ，得 ，化简验证 ②对 利用诱导公式，转化成正弦函数即可验证 , ,a b c , ,a b c , ,a b c 2b a c= + 2 2 2 2 2 2 2 23( ) 2 3 2 2 12cos cos2 2 8 8 2 3 a ca ca c b a c ac ac acB ac ac ac ac π + + − + − + − ⋅ − = = = ≥ = = (0, )B π∈ (0, )π 0 3B π ∈  ， 0 3 π    ， π( ) 3sin 2 4f x x = +   1 2( ) ( ) 0f x f x= = 1 2 π( )x x k k− = ∈Z ( )f x π( ) 3cos 2 4g x x = −   ( )f x 7π 3π,8 8  − −   ( )f x π ,08  −   1 2( ) ( ) 0f x f x= = 1 22 24 4x x k π π π + − + =   π( ) 3cos 2 4g x x = −  ③由 ，得 ，即可求得 的单调区间 ④当 时， ，即可验证 【详解】①∵ ， ，∴ ，∴①错 误； ② ，∴②正确； ③当 时， ，∴ 在区间 上是减函数， ③正确； ④当 时， ，∴ ，∴④正确． 答案：②③④ 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，属于基础题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ， . （1）求 ； （2）求 长. 【答案】（1） ；（2）7. 的 7π 3π,8 8x  ∈ − −   π 3π π2 ,4 2 2x  + ∈ − −   ( )f x π 8x = − π2 04x + = π 8f  −   π( ) 3sin 2 4f x x = +   1 2( ) ( ) 0f x f x= = 1 2 π ( )2 kx x k− = ∈Z π π π πcos 2 sin 2 sin 24 4 2 4x x x       − = − + = +             7π 3π,8 8x  ∈ − −   π 3π π2 ,4 2 2x  + ∈ − −   ( )f x 7π 3π,8 8  − −   π 8x = − π2 04x + = π 08f  − =   ABC∆ 3B π∠ = 8AB = D BC 2CD = 1cos 7ADC∠ = sin BAD∠ ,BD AC 3 3 14【解析】 试题分析：（I）在 中，利用外角的性质，得 即可计 算结果；（II）由正弦定理，计算得 ，在 中，由余弦定理，即可计算结果． 试题解析：（I）在 中，∵ ，∴ ∴ （II）在 中，由正弦定理得： 在 中，由余弦定理得： ∴ 考点：正弦定理与余弦定理． 18.已知函数 的图象在 处的切线方程为 ． （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）若方程 有三个实数解，求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先求导得出 ，再根据导数的几何意义得出 计算即可。 （Ⅱ）求导分析单调性，求得极大极小值，再根据图像可得若 则 与 的 图像有三个交点，故 的取值在极小值与极大值之间。 【详解】（I） ， ，解得 ； ABD∆ ( )sin sinBAD ADC B∠ = ∠ − ∠ 3BD = ABC∆ ADC∆ 1cos 7ADC∠ = 4 3sin 7ADC∠ = ( ) 3 3sin sin 14BAD ADC B∠ = ∠ − ∠ = ABD∆ sin 3sin AB BADBD ADB ⋅ ∠= =∠ ABC∆ 2 2 2 2 cos 49AC AB BC AB BC B= + − ⋅ ⋅ = 7AC = 3 2( ) 4f x x ax x= − + + 1x = 3 4y x= − + a ( ) 0f x b− = b 2− 408, 27  −   2( ) 3 2 4f x x ax′ = − + + (1) 3f ′ = − ( ) 0f x b− = ( )f x y b= b 2( ) 3 2 4f x x ax′ = − + + (1) 3 2 4 3f a= − + + = −′ 2a = −（II）∵ ∴ 由（I）得 ，令 ，解得 或 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 或 时， ， 在 和 上单调递减， 所以 在 处取得极小值 ， 在 处取得极大值 所以当 时， 的图象与直线 有三个交点， 那么方程 有三个实数解 故实数 的取值范围为 . 【点睛】（1）导函数的几何意义：在函数某点处的切线斜率等于在该点处导函数的值； （2） 有三个零点转换成 与 有三个交点。 19.在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参 ( ) 0f x b− = ( )f x b= 2( ) 3 4 4f x x x′ = − − + ( ) 0f x′ = 2 3x = 2x = − 22 3x− < < ( ) 0f x′ > ( )f x 22, 3  −   2x < − 2 3x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ), 2−∞ − 2 ,3  +∞   ( )f x 2x = − ( )2 8f − = − 2 3x = 2 40 3 27f   =   408 27b− < < ( )y f x= y b= ( ) 0f x b− = b 408, 27  −   ( ) 0f x b− = ( )f x y b= xOy 1C 4 3 ,x t y t  = + = − t 2C数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 ， 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，求 的面积（其中 为坐标原点）. 【答案】(1) 曲线 : ,曲线 ： . (2)1. 【解析】 分析：第一问首先将参数方程消参化为普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的转 换关系，求得结果，第二问联立对应曲线的极坐标方程，求得对应点的极坐标，结合极径和 极角的意义，结合三角形面积公式求得结果. 详解：（1）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得： 化简极坐标方程为： 曲线 ： （ 参数）消去参数 得： 化简极坐标方程为： （2）联立 即 联立 即 故 为 7 cos , 7 sin2 x y θ θ  = = θ x 1C 2C 3 πθ = 1C M 6 πθ = 2C N MON∆ O 1C sin 26 πρ θ + =   2C 2 2(1 3sin ) 7ρ θ+ = 1C 4 3 , , x t y t  = + = − t t 3 4x y+ = sin 26 πρ θ + =   2C 7 , 7 ,2 x cos y sin θ θ  = = θ θ 2 24 17 7 x y+ = ( )2 21 3sin 7ρ θ+ = 26 3 sin πρ θ πθ   + =     = 2 3 ρ πθ =⇒  = 2, 3M π     ( )2 21 3sin 7 6 ρ θ πθ  + = = 2 6 ρ πθ =⇒  = 2, 6N π     1 1· ·sin 2 2 sin 12 2 3 6MONS OM ON MON π π ∆  = ∠ = × × × − =  点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在求解的过程中，需要明确由参数方程 向普通方程转化的过程中，即为消参的过程，注意消参的方法，再者就是直角坐标与极坐标 之间的转换关系，在求有关三角形面积的时候，注意对极坐标的意义的把握，求得结果. 20.已知函数 ， . （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若对于任意的 都有 ，使得 ，试求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）因为 ，故分三种情况： ， ， 进行去绝对值 再求不等式。 （Ⅱ）翻译条件可知 的值域是 值域的子集，故分别求 与 的值域，再列 满足的表达式求解。 【详解】（I）当 时， 解得 即有 当 时， 解得 即有 当 时， 解得 即有 故原不等式解集为 ； ( ) 3 2 4f x x x= − + − ( ) 1g x x a x= − + + ( ) 10f x ≤ 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= a 17| 1 3x x − ≤ ≤   [ ]2,0− ( ) 3 2 4f x x x= − + − 2x ≤ 2 3x< < 3x ≥ ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x 2x ≤ ( ) 3 4 2 7 3 10f x x x x= − + − = − ≤ 1x ≥ − { | 1 2}x x− ≤ ≤ 2 3x< < ( ) 3 2 4 1 10f x x x x= − + − = − ≤ 11x ≤ { | 2 3}x x< < 3x ≥ ( ) 3 2 4 3 7 10f x x x x= − + − = − ≤ 17 3x ≤ 17| 3 3x x ≤ ≤   17| 1 3x x − ≤ ≤  （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 由此可得，当 时， 取最小值 而 对任意 都有 使得 即 的值域是 值域的子集. 即 解得 可得 取值范围为 . 【点睛】绝对值不等式求解需根据绝对值内为 0 时的 值分情况讨论，去绝对值后列出分段函 数。求绝对值函数相加的最小值时利用绝对值不等式 即可。 21.已知函数 ， . （Ⅰ）求函数 在 的最小值； （Ⅱ）若 ，总有 成立，求实数 的值. 【答案】（Ⅰ） 时， ；当 时， ；（Ⅱ） . 【解析】 分析】 （Ⅰ）先求出 ，求导分析单调性知 在 处取得最小值，又因为 区间为 ，故分三种情况 ， ， 进行讨 论。 【详解】（Ⅰ）∵ 定义域为 且 为单调递增函数，令 得 【 3 7, 2 ( ) 1,2 3 3 7, 3 x x f x x x x x − + ≤ = − < 0b a> > ( ) ( ) ( ) ( )m g b g a f b f a − > −  m 10 t e < < min 1( )h x e = − 1t e ≥ min( ) lnh x t t= 1 e ( ) lnh x x x= ( ) lnh x x x= 1x e = [ , 1]( 0)t t t+ > 10 1t t e < < + ≤ 10 1t te < < < + 1 1t te ≤ < + 22 1( ) ln ln2 2 2 x xh x x x xx  = ⋅ − + =   (0, )+∞ ( ) ln 1h x x= +′ ( )h x′ ( ) 0h x′ = 1x e =所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增. ①当 时，满足条件的 不存在； ②当 ，即 时， ； ③当 ，即 时， . （Ⅱ）因为 等价于 构造函数 因为 总有 成立 所以 在 上单调递增 原问题转化为 对 恒成立 因为 原问题转化为 对 恒成立 若 ，因为 ，所以不满足题意； 若 由 知 当 时， ，在 上单调递减 当 时， ， 在 上单调递增 故 在当 处取得极小值也是最小值， 即 是 在 上的最小值点， 由于 ，所以当且仅当 时， ，故 10, ex  ∈   ( ) 0h x′ < ( )h x 1 ,x e  ∈ +∞   ( ) 0h x′ > ( )h x 10 1t t e < < + ≤ t 10 1t te < < < + 10 t e < < min 1 1( )h x h e e  = = −   1 1t te ≤ < + 1t e ≥ min( ) ( ) lnh x h t t t= = [ ( ) ( )] ( ) ( )m g b g a f b f a− > − ( ) ( ) ( ) ( )mg b f b mg a f a− > − 2 2 3 2( ) ( ) ( ) 2 3 ln2 4 x xx mg x f x mx mx xϕ = − = − − + 0b a> > ( ) ( ) ( ) ( )mg b f b mg a f a− > − ( )xϕ (0, )+∞ 2( ) 6 6 ln 0x mx mx x xϕ = − − ≥′ (0, )x∈ +∞ ( ) (6 6 ln )x x mx m xϕ − −′ = ( ) 6 6 ln 0r x mx m x= − − ≥ (0, )x∈ +∞ 0m ≤ ( ) 6 ( 1) 1 0r e m e= − − < 0m > 1 6 1( ) 6 mxr x m x x ′ −= − = 10, 6x m  ∈   ( ) 0r x′ < 10, 6m      1 ,6x m  ∈ +∞   ( ) 0r x′ > ( )r x 1 ,6m  +∞   ( )r x 1 6x m = 1 6x m = ( )r x (0, )+∞ (1) 0r = 1 16m = ( ) 0r x ≥ 1m e =【点睛】（Ⅰ）求动区间上的最值时需要讨论区间与极值点之间的位置关系，再分别求出最值。 第（Ⅱ）问主要考查构造函数的方法。 22.已知函数 讨论函数 的单调性； 设 ，对任意 的恒成立，求整数 的最大值； 求证：当 时， 【答案】（1）当 时，函数 在 上单调递增；当 时， 在 上单 调递增，在 上单调递减；（2） ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）若 a≤0，则 f（1）＝﹣a+1＞0，不满足 f（x）≤0 恒成立．若 a＞0，由（Ⅰ）可知， 函数 f（x）在（0， ）上单调递增；在（ ）上单调递减．由此求出 函数的最大值，由最大值小于等于 0 可得实数 a 的取值范围． （3）由（2）可知，当 a＝1 时，f（x）≤0 恒成立，即 lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x， 则 ex﹣xlnx+x﹣1≥ex﹣x2+2x﹣1．然后利用导数证明 ex﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可说明 ex﹣xlnx+x＞0． 【详解】（1）∵函数 f（x）＝ （a∈R ）． ∴ ，x＞0， 当 a＝0 时，f′（x） 0，f（x）在（0，+∞）单调递增． 当 a＞0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增． 当 a＜0 时，令 f′（x）＞0，解得：0＜x ， ( ) ( ) ( )2ln 2 1f x x ax a x a R= + + + + ∈ ( )1 ( )f x ( )2 a Z∈ ( )0, 0x f x> ≤ a ( )3 0x > 3 2ln 2 1 0xe x x x x x− + − + − > 0a ≥ ( )f x (0, )+∞ 0a < ( )f x 1(0, )a − 1( , )a − +∞ 2− 1 a ( )2ln 2 1x ax a x+ + + + ( ) ( )( )2 2 1 11 2 2 1' 2 2 x axax ax xf x ax ax x x + ++ + += + + + = = 2 1x x += ＞ 1 a −＜ 1 a −＞令 f′（x）＜0，解得：x ， 故 f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减． （2）当 时，则 f（1）＝2a+3＞0，不满足 f（x）≤0 恒成立． 若 a