安徽江淮十校2020届高三数学（理）上学期第一次联考试卷（Word版带解析）

江淮十校 2020 届高三第一次联考数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，集合 ，若 ，则集合 的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合 、 ，得出集合 ，确定集合 的元素个数，利用子集个数公式可得出集合 的 子集个数. 【详解】当 时， ； 当 时， . 所以，集合 . 集合 ， ， 集合 有两个元素，因此，集合 的子集个数为 ，故选：B. 【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式 的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题. 2.复数 满足 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，由 可得出 ， ，利用数形结 1| , 0A y y x xx  = = + ≠   { }2| 4 0B x x= − ≤ A B P∩ = P A B P P P 0x > 1 12 2y x xx x = + ≥ ⋅ = 0x < ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 12 2y x x xx x x  = + = − − + ≤ − − ⋅ = − − −  { }2 2A y y y= ≤ − ≥或 { } { }2 4 0 2 2B x x x x= − ≤ = − ≤ ≤ { }2,2P A B∴ = = − P P 22 4= z 3 4 2z i+ + = z z⋅ 7 49 9 81 z x yi= + 3 4 2z i+ + = ( ) ( )2 23 4 4x y+ + + = 2 2z z x y⋅ = +合思想求出 的最大值. 【详解】设 ，则 ， ，则复数 在复平面内所对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆， ，其几何意义是原点到圆 上一点距离的平 方，原点到圆心的距离为 ， 因此， 的最大值为 ，故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最 值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3.设 为正数，则“ ”是“ ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】∵ 为正数， ∴当 时，满足 ，但 不成立，即充分性不成立， 若 ，则 ，即 ， 即 ，即 ，成立，即必要性成立， 则“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选： ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键， 属于中档题. z z⋅ z x yi= + ( ) ( ) ( ) ( )2 23 4 3 4 3 4 2z i x y i x y+ + = + + + = + + + = ( ) ( )2 23 4 4x y∴ + + + = z ( )3, 4− − 2 2 2z z x y⋅ = + ( ) ( )2 23 4 4x y+ + + = ( ) ( )2 23 0 4 0 5− − + − − = z z⋅ ( )22 5 49+ = , ,a b c a b c+ > 2 2 2a b c+ > , ,a b c 2, 2, 3a b c= = = a b c+ > 2 2 2a b c+ > 2 2 2a b c+ > ( )2 22+ − >a b ab c ( )2 2 22+ > + >a b c ab c ( )2 2+ >a b c a b c+ > a b c+ > 2 2 2a b c+ > B4.已知向量 、 均为非零向量， ， ，则 、 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 、 的夹角为 ，由 ，得出 ，利用平面向量数量积的运算律 与定义可计算出 的值，结合 的取值范围得出 的值. 【详解】设 、 的夹角为 ， 且 ， ，解得 ， ， . 因此， 、 的夹角为 ，故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转 化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力， 属于中等题. 5.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用中间值法，将这三个数与 、 比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数 在其定义域上是增函数，则 ， 指数函数 在 上为增函数，则 ，即 ， 对数函数 在其定义域上是减函数，则 ，即 . 因此， ，故选：C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为 和 ，在实际 a b ( )2a b a− ⊥  a b=  a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π a b θ ( )2a b a− ⊥  ( )2 0a a b⋅ − =   cosθ θ θ a b θ ( )2a b a− ⊥   a b=  ( ) 2 22 2 2 2 cos 0a a b a a b a a θ⋅ − = − ⋅ = − =        1cos 2 θ = 0 θ π≤ ≤ 3 πθ∴ = a b 3 π lnx π= 1 3y e −= 1 3 logz π= x y z< < z x y< < z y x< < y z x< < 0 1 lny x= ln ln 1x eπ= > = xy e= R 1 030 1e e −< < = 0 1y< < 1 3 logy x= 1 1 3 3 log log 1 0π < = 0z < z y x< < 0 1问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对 数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构 运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两 个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自正三角形外的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ，将圆心角为 的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出 图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设 ，则以点 为圆心的扇形面积为 ， 等边 的面积为 ，其中一个弓形的面积为 ， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积， 即 ， 在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率 ， 故选：A. ( )2 3 3 2 3 π π − − ( )3 2 3π − ( )3 2 3π + ( )2 3 3 2 3 π π − + 2BC = 3 π 2BC = B 21 22 =2 3 3 π π× × ABC∆ 21 2 sin 32 3 π× × = 2 33 π − 2 22 3 2 2 33 3 π π π + × − = −   ∴ ( ) ( )3 2 3 31 2 3 2 3 π π π −− = − −【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题 时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题. 7.如图，在正方体 中， 是棱 上动点，下列说法正确的是（ ） A. 对任意动点 ，在平面 内不存在与平面 平行的直线 B. 对任意动点 ，在平面 内存在与平面 垂直的直线 C. 当点 从 运动到 的过程中， 与平面 所成的角变大 D. 当点 从 运动到 的过程中，点 到平面 的距离逐渐变小 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线与平面平行的判定定理可判断出 A 选项中命题的正误；利用反证法判断出 B 选项中 命题的正误；利用线面角的定义判断出 C 选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判断出 D 选 项命题的正误. 【详解】对于 A 选项， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，所以，A 选项中的命题错误； 对于 B 选项，反设平面 内存在直线 满足 平面 ， 平面 ，由平 面与平面垂直的判定定理可得平面 平面 ，事实上，平面 与平面 不 垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误； 对于 C 选项，由于 到平面 的距离 不变且 变小，设直线 与平面 所成 1 1 1ABCD A B C D− F 1 1A D F 1 1ADD A CBF F ABCD CBF F 1A 1D FC ABCD F 1A 1D D CBF //AD BC AD ⊄ CBF BC ⊂ CBF //AD∴ CBF AD ⊂ 1 1ADD A ABCD a a ⊥ CBF a ⊂ ABCD CBF ⊥ ABCD CBF ABCD F ABCD d FC FC ABCD的角为 ，则 ，可知 在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于 D 选项，由于点 到平面 的距离不变， 的面积不变，则三棱锥 的体积不变，即三棱锥 的体积不变，在点 的运动过程中， 的面积不变， 由等体积法可知，点 到平面 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C. 【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面距 离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等 题. 8.某创业公司共有 36 名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了 9 位代表， 将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在 内的人数占公司总人数的百 分比是（精确到 ）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出样本平均值与方差，可得年龄在 内的人数有 5 人，利用古典概型概率公式可 得结果. 【详解】 , ,年龄在 内，即 内的人数有 5 人， 所以年龄在 内的人数占公司总人数的百分比是等于 ，故选 A. 【点睛】样本数据的算术平均数公式 ． 样本方差公式 ， θ sin d FC θ = θ F ABCD BCD∆ F BCD− D BCF− F BCF∆ D BCF ( , )x s x s− + 1% 56% 14% 25% 67% ( , )x s x s− + 36 36 37 37 44 40 43 44 43 409x + + + + + + + += = 2 16 16 9 9 16 0 9 16 9 100 9 9s + + + + + + + += = 10 3s = ( , )x s x s− + 110 130,3 3      ( , )x s x s− + 5 056 09 ≈ 1 2 n 1 ( + +...+ )x x x xn = 2 2 2 2 1 2 1[( ) ( ) ... ( ) ]ns x x x x x xn = − + − + + −标准差 . 9.将余弦函数的图象向右平移 个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来 的一半，得到函数 的图象，下列关于 的叙述正确的是（ ） A. 最大值为 ，且关于 对称 B. 周期为 ，关于直线 对称 C. 在 上单调递增，且为奇函数 D. 在 上单调递减，且为偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图象变换求出函数 的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误 进行判断. 【详解】将余弦函数的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象， 再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数 的图象. 对于 A 选项，函数 的最大值为 ，由于 ，该函数的图象 不关于点 对称，A 选项错误； 对于 B 选项，函数 的最小正周期为 ，且 ，则该函 数的图象不关于直线 对称，B 选项错误； 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ... ( ) ]ns x x x x x xn = − + − + + − 2 π ( )f x ( )f x 1 3 ,04 π     π 2x π= ,6 8 π π −   0, 4 π     ( )y f x= 2 π cos sin2y x x π = − =   ( ) sin 2f x x= ( ) sin 2f x x= 1 3 3sin 14 2f π π  = = −   3 ,04 π     ( ) sin 2f x x= 2 2T π π= = sin 02f π π  = =   2x π=对于 C 选项，当 时， ，则函数 在 上单调 递增，且该函数为奇函数，C 选项正确； 对于 D 选项，当 时， ，则函数 在 上单调递增，且 为奇函数，D 选项错误.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时 要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推 理能力，属于中等题. 10.对任意实数 ，恒有 成立，关于 的方程 有两根为 ， ，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由 可得出 ，再由 ，得出 ，由题意得出 和 ，由此得出 ，由此可得出正确选项. 【 详 解 】 构 造 函 数 ， 则 ， 由 题 意 得 出 ， 则 . 且 . ①当 时，即当 时，对任意的 ， ，函数 在 上单调递 增，此时，函数 没有最小值； 6 8x π π− < < 23 4x π π− < < ( ) sin 2f x x= ,6 8 π π −   0 4x π< < 0 2 2x π< < ( ) sin 2f x x= 0, 4 π     x 1 0xe ax− − ≥ x ( )ln 1 0x a x x− − − = 1x 2x ( )1 2x x< 1 2 2x x+ = 1 2 1=x x 1 2 2x x = 1 2 xx e= 1 0xe ax− − ≥ 1a = ( )1 ln 1 0x x x− − − = 1ln 1 xx x += − 1 1 1 1ln 1 xx x += − 1 1 1 1 11ln 1 1 x x x + = − 2 1 1x x = ( ) 1xf x e ax= − − ( )0 0f = ( ) ( )0f x f≥ ( ) ( )min 0f x f= ( ) xf x e a′ = − 0a− ≥ 0a ≤ x∈R ( ) 0f x′ > ( )y f x= R ( )y f x=②当 时，即当 时，令 ，得 . 当 时， ；当 时， . 此时，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即 ， ，得 . 由题意可知，关于 的方程 有两个实根，即 有两个实数根. 方程 的其中一个实根为 ，则 ， ， 即 ，又方程 另一个实根为 ， ，因此， ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解 题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11.已知双曲线 的两条渐近线分别为 与 ， 与 为 上关于原点对称的两 点， 为 上一点且 ，则双曲线离心率 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，设点 、 ， 则点 ，利用 ，可得出 ，解出即可. 的 0a− < 0a > ( ) 0f x′ = lnx a= lnx a< ( ) 0f x′ < lnx a> ( ) 0f x′ > ( )y f x= lnx a= ( ) ( )min lnf x f a= ln 0a∴ = 1a = x ( )1 ln 1 0x x x− − − = 1ln 1 xx x += − 1ln 1 xx x += − 1x 1 1 1 1ln 1 xx x += − 1 1 1 1 1 1 1ln 1 1 x xx x x + +∴− = − =− − 1 1 1 1 11ln 1 1 x x x + = − 1ln 1 xx x += − 2x 2 1 1x x ∴ = 1 2 1=x x 2 2 2 2: 1x yC a b − = 1l 2l A B 1l M 2l AM BMk k e⋅ = e 5 5 1 2 + 2 2 1l by xa = 2l by xa = − 1 1, bA x xa      2 2, bM x xa  −   1 1, bB x xa  − −   AM BMk k e⋅ = 2 1e e− =【详解】设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， 设点 、 ，则点 ， ， ， ， 即 ，即 ， ，解得 ，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分 利用公式 可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 12.在四面体 中，若 ，则当四面体 的体积最大时其外 接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ，可知当四面体 的体积最大时，平面 平面 ，计算 出 ，求出四面体 的体积 ，利用导数求出 的最大 值以及对应的 的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公 式可得出结果. 【详解】如下图，取 的中点 ，连接 、 ，设 ， 则 ，当四面体 体积最大时，平面 平面 ， 四面体 的体积为 ， . 的 1l by xa = 2l by xa = − 1 1, bA x xa      2 2, bM x xa  −   1 1, bB x xa  − −   ( )1 2 1 2 AM b x xak x x + = − ( )1 2 1 2 1 2 1 2 MB b b bx x x xa a ak x x x x − + − = =− − + 2 2AM BM bk k ea ∴ ⋅ = = 2 1e e− = 2 1 0e e− − = 1e > 5 1 2e += 2 2 2 2 2 1c be a a = = + ABCD 1AD DB AC CB= = = = ABCD 5 3 π 4 3 π π 2π ( )2 0 1AB x x= < < ABCD ACB ⊥ ADB 21CE DE x= = − ABCD 31 1 3 3V x x= − V x AB E CE DE ( )2 0 1AB x x= < < 21CE DE x= = − ABCD ACB ⊥ ADB ABCD 2 2 31 1 1 12 1 13 2 3 3V x x x x x= × × × − × − = − 21 3V x′ = −令 ，得 ，当 时， ；当 时， . 所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值. 此时， ， ，设 和 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 ， . 设 、 的外接圆圆心分别为 、 ，外接球的球心为点 ，如下图所示： 在 中， ， 四边形 是正方形，且边长为 ， 所以，四面体 的外接球半径 ， 因此，该四面体的外接球表面积为 ，故选：A. 【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分 析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 0V′ = 3 3x = 30 3x< < 0V′ > 3 13 x< < 0V′ < 31 1 3 3V x x= − 3 3x = 2 61 3CE x= − = 6sin 3 CEBAC AC ∠ = = ABC∆ ABD∆ r 62 sin 2 BCr BAC = =∠ 6 4r∴ = ABC∆ ABD∆ M N O Rt BCE∆ 6 4BM r= = OMEN 6 12ME BE BM= − = ABCD 2 2 2 2 6 6 5+ =4 12 12R BM OM    = + =           2 5 54 4 12 3OB ππ π⋅ = × =二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知实数 、 满足 ，则目标函数 的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线 经过可行域时在 轴上取最小值时对应的 最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 联立 ，得 ，可得点 ， 平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的 截距最小，此时 取最小值，即 ，故答案为： . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线 在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 14.已知 的展开式中各项系数和为 ，则其展开式中含 项的系数是______. 【答案】 【解析】 x y 2 1 0 0 2 0 x x y x y − ≥  − ≤  + − ≤ 2z x y= + 3 2 2z x y= + x 2 1 0 0 2 0 x x y x y − ≥  − ≤  + − ≤ 2 1 0 0 x x y − =  − = 1 2x y= = 1 1,2 2A     2z x y= + 2z x y= + 1 1,2 2A     x z min 1 1 32 2 2 2z = × + = 3 2 ( )( )51 2x x a+ + 2 2x 30−【分析】 先将 代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出 ，然后将二项式变 形为 ，写出二项展开式的通项，令 的指数为 ，求 出参数的值，再将参数的值代入通项可得出 项的系数. 【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， 的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 ， 解得 ， ， 二项展开式的通项为 ，令 ，得 ， 因此，展开式中含 项的系数为 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数， 解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15.关于 的方程 在 内有解，则实数 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 将问题转化为方程 在区间 上有解，可得出实数 的取值范围即为 函数 在区间 上的值域，利用辅助角公式求出函数 在区 间 上的值域，即可得出实数 的取值范围. 1x = 1a = − ( )( ) ( ) ( )5 5 51 2 1 2 1 2 1x x x x x+ − = − + − x 2 2x ( )( )51 2x x a+ + ( )( ) ( )5 51 1 2 1 2 2 2a a+ × + = + = 1a = − ( )( ) ( )( ) ( ) ( )5 5 5 51 2 1 2 1 2 1 2 1x x a x x x x x+ + = + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 6 5 5 52 1 2 1 2 1k k r r kk r k k kxC x C x C x− − − −⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ + ( )5 5 5 2 1 rr r rC x− −⋅ ⋅ − ⋅ 6 2 5 2 k r − =  − = 4 3 k r =  = 2x ( ) ( )4 34 1 3 2 5 52 1 2 1 10 40 30C C⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = − = − 30− x sin 2cos 0x x a+ + = 0, 2 π     a )5, 1− − sin 2cosa x x− = + 0, 2 π     a− ( ) sin 2cosf x x x= + 0, 2 π     ( )y f x= 0, 2 π     a【详解】由题意可得 ，则关于 的方程 在区间 上有解. 构造函数 ，其中 ， 由辅助角公式可得 ， 为锐角，且 ， . 由于 ，则 ， 所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调 递减，则 ，又 ， ， 所以，函数 在区间 上的值域为 ， ， 解得 ，因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： . 【点睛】本题考查三角函数的零点问题，解题时可以利用参变量分离法转化为函数的值域问 题，充分利用辅助角公式和正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中中等题. 16.已知抛物线 的焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、 两点，且 （ 为非零常数）.以 为切点作抛物线 的切线交直线 于 点，则 的长度为________.（结果用含 式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】 设直线 方程为 ，联立直线 的方程与抛物线 的方程，列出韦达定理，结 合 得出点 的横坐标，然后利用导数求出抛物线 在点 处的切线方程，并求 出点 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出 的长度. 的 sin 2cosa x x− = + x sin 2cosa x x− = + 0, 2 π     ( ) sin 2cosf x x x= + 0, 2x π ∈   ( ) ( )5 sinf x x ϕ= + ϕ 5cos 5 ϕ = 2 5sin 5 ϕ = 0 2x π< < 2x πϕ ϕ ϕ< + < + ( ) sin 2cosf x x x= + 0, 2 π ϕ −   ,2 2 π πϕ −   ( )max 5f x = ( )0 2f = 12f π  =   ( ) sin 2cosf x x x= + 0, 2 π     (1, 5 1 5a∴ < − ≤ 5 1a− ≤ < − a )5, 1− − )5, 1− − 2: 4C x y= F F l A B 2AF FBλ=  λ A C 1y = − M MF λ 1λ λ+ AB 1y kx= + AB C 2AF FBλ=  A C A M MF【详解】设点 、 ，抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ， 联立直线 的方程与抛物线 的方程 ，消去 得 ， 由韦达定理得 ， . ， ， ， ， ， ，得 . 抛物线 的函数解析式为 ，求导得 ， 则抛物线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 联立 ，解得 ，所点 ， 因此， ， 故答案为： . 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用， 对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求 法进行求解，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 17.数列 的前 项和为 ，且 . （1）求 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 . ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y C ( )0,1F AB 1y kx= + AB C 2 1 4 y kx x y = +  = y 2 4 4 0x kx− − = 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − ( )1 1,1AF x y= − − ( )2 2, 1FB x y= − 2AF FBλ=   2 1 2x xλ∴− = 2 12 1x xλ∴ = − 2 1 2 12 1 4x x xλ∴ = − = − 2 2 1 4x λ= C 2 4 xy = 2 xy′ = C A ( )1 1 12 xy y x x− = − 2 1 1 2 4 x xy x= − 2 1 1 1 2 4 y x xy x = − = − 1 1 2 2 1 xx x y  = −  = − 1 1 2 , 12 xM x  − −    ( ) 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 4 1 11 1 2 22 4 x xMF x x λ λλ λ  = − + − − = + + = + + = +    1λ λ+ { }na n nS ( )( )6 1 2 1nS n n n= + + { }na 1 4 1n n b a = − { }nb n nT 1 2nT   cos 0A < cos A 2 2 23a b c− = b c sin sin B C 3b c= b c ABC∆ ( )cos cos 0BA AC BA AC A cb Aπ⋅ = ⋅ − = − >     cos 0A∴ < 2 2 2 2 1cos 1 sin 1 3 3A A  = − − = − − = −    2 2 2sin sin 3sinA B C− = 2 2 23a b c− = 2 2 2 2 23 1cos 2 2 3 b c a c c cA bc bc b + − −= = = − = − 3b c ∴ = sin 3sin B b C c = = 3b c= 2 2 2 2 2 22 cos 10 2 12a b c bc A c c c= + − = + = 2 21 1 12 3c a∴ = = 3 3c = 3b = ABC∆ 1 1 3 2 2 2sin 32 2 3 3 3ABCS bc A∆ = = × × × = ABCD ABC∆ ACD∆ ABD CBD∠ = ∠. （1）证明：平面 平面 ； （2）若点 为 中点，求二面角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先证明出 ，可得出 ，可得出 ，然后取 的中 点 ，连接 、 ，并设 ，利用勾股定理证明出 ，由等腰三角形 三线合一得出 ，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出 平面 ，再利 用平面与平面垂直的判定定理可得出平面 平面 ； （2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标 系，设 ，计算出平面 和 的法向量，利用空间向量法求出二面角 的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案. 【详解】（1） 是等边三角形， ，又 ， ， ， ， 为直角三角形，所以 ， 取 的中点 ，连接 、 ，则 ， . 设 ，则 ，又 ， ， ，又 ， 平面 ， 平面 ，因此，平面 平面 ； （2）由题设及（1）可知 、 、 两两垂直，以点 为坐标原点，建立如下图所示的 空间直角坐标系 ，设 ，则 、 、 、 ， 为 的中点，则 ， AB BD= ACD ⊥ ABC E DB D AE C− − 42 7 ABD CBD∆ ≅ ∆ AD CD= 90ADC∠ =  AC O OC OD OA OD a= = OD OB⊥ OD AC⊥ OD ⊥ ABC ACD ⊥ ABC O OA OB OD x y z 2AB = ADE ACE D AE C− − ABC∆ AB BC∴ = ABD CBD∠ = ∠ BD BD= ABD CBD∴∆ ≅ ∆ AD CD∴ = ACD∆ 90ADC∠ =  AC O OC OD OD AC⊥ OA OD= OA OD a= = tan 60 3OB OA a= ⋅ = 2BD AB AC a= = = 2 2 2BD OB OD∴ = + OB OD∴ ⊥ OB AC O= OD∴ ⊥ ABC OD ⊂ ACD ACD ⊥ ABC OA OB OD O O xyz− 2AB = ( )1,0,0A ( )0, 3,0B ( )1,0,0C − ( )0,0,1D E BD 3 10, ,2 2E      ， ， . 设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ， 得 ，令 ，则 ， ， 所以，平面 的一个法向量为 . 同理可得，平面 的一个法向量为 ， ， 所以，二面角 的正弦值为 . 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计 算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推 理能力与计算能力，属于中等题. 20.如图，已知 、 ， 、 分别为 的外心，重心， . （1）求点 的轨迹 的方程； ( )1,0,1AD∴ = − ( )2,0,0AC = − 3 11, ,2 2AE  = −     ADE ( ), ,n x y z= 0 0 n AD n AE    ⋅ =  ⋅ = 0 3 1 02 2 x z x y z − + =− + + = 3 3 z x y x = = 3x = 1y = 3z = ADE ( )3 1, 3n = , ACE ( )0, 1, 3m = − 2 7cos , 72 7 m nm n m n ⋅∴ = = = ×⋅      D AE C− − 2 7 421 7 7  − =    ( )1,0A − ( )10B , Q G ABC△ //QG AB C E（2）是否存在过 的直线 交曲线 于 ， 两点且满足 ，若存在求出 的方程，若不存在请说明理由. 【答案】（1） ；（2）不存在. 【解析】 【分析】 （1）设点 ，利用重心的坐标公式得出点 的坐标为 ，可得出点 ，由 可得出点 的轨迹 的方程； （2）由题意得出直线 的斜率存在，并设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与曲线 的方程联立，并列出韦达定理，由 ，可得 出 代入韦达定理求出 的值，即可得出直线 的方程，此时，直线 过点 或 ，从而说明直线 不存在. 【详解】（1）设点 ，则点 ，由于 ，则点 . 由 ，可得出 ，化简得 . 因此，轨迹 的方程为 ； （2）当 与 轴重合时不符合条件. 假设存在直线 ，设点 、 . 将直线 的方程与曲线 的方程联立 ， 消去 得 ，由韦达定理得 ， . ， ， ， ，得 ， ( )0,1P L E M N 2MP PN=  L ( )2 2 1 03 yx xy+ = ≠ ( )( ), 0C x y xy ≠ G ,3 3 x y     0, 3 yQ     QA QC= C E L L 1y kx= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y L E 2MP PN=  1 22x x= − k L L ( )1,0− ( )1,0 L ( )( ), 0C x y xy ≠ ,3 3 x yG     //QG AB 0, 3 yQ     QA QC= 2 2 2 41 9 9 y yx+ = + 2 2 13 yx + = E ( )2 2 1 03 yx xy+ = ≠ L y : 1L y kx= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y L E 2 2 1 13 y kx yx = + + = y ( )2 23 2 2 0k x kx+ + − = 1 2 2 2 3 kx x k + = − + 1 2 2 2 3x x k = − + ( )1 1,1MP x y= − − ( )2 2, 1PN x y= − 2MP PN=   1 22x x∴− = 1 22x x= −即 ， ， 另一方面 ，得 ，解得 . 则直线 过点 或 ，因此，直线 不存在. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用 韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21.已知函数 . （1）证明： ， ； （2）判断 的零点个数，并给出证明过程. 【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由函数 是偶函数，只需利用导数证明函数 在区间 上的最大值 即可； （2）由（1）得出函数 在区间 上只有一个零点，然后利用函数值符号得 出该函数在区间 上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零 点存在定理得出该函数在区间 上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区 间 上也只有一个零点，从而得出函数 有三个零点. 【详解】（1） ， ，则该函数为偶函数， 1 2 2x x = − ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 221 2 4 3 2 2 33 x x k k k x x kk +  += ⋅ − = −  + + ( )2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 22 2 3 x x x x k x x x x k + = + + = − = − + 2 1k = 1k = ± L ( )1,0− ( )1,0 L ( ) 21cos 14f x x x= + − ( ) 0f x ≤ ,2 2x π π ∈ −   ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= 0, 2 π     ( )max 0f x ≤ ( )y f x= ,2 2 π π −   [ )3,+∞ ,32 π     , 2 π −∞ −   ( )y f x= ( ) 21cos 14f x x x= + − ,2 2x π π ∈ −  只需证 ，其中 . ， . 当 时，令 ，得 . 当 时， ，此时，函数 单调递减； 当 时， ，此时，函数 单调递增. ， ， 当 时， ，此时，函数 单调递减，则 ， 因此，对任意的 ， ； （2）三个零点，证明如下： 由（1）可知，当 时，函数 有一个零点 . 当 时， ，此时，函数 无零点； 当 时， ， . 此时，函数 单调递增， ， . 由零点存 定理可知，存在 ，使得 . 当 时， ，此时，函数 单调递减； 当 时， ，此时，函数 单调递增. 在 ( )max 0f x ≤ 0, 2x π ∈   ( ) 1sin 2f x x x′ = − + ( ) 1 cos2f x x′′∴ = − 0, 2x π ∈   ( ) 0f x′′ = 3x π= 0, 3x π ∈   ( ) 0f x′′ ≤ ( )y f x′= ,3 2x π π ∈   ( ) 0f x′′ ≥ ( )y f x′= ( )0 0f ′ = 1 02 4f π π ′ = − ( )y f x= ,32x π ∈   ( ) 1 sin2f x x x′ = − ( ) 1 cos 02f x x′′ = − > ( )y f x′= 1 02 4f π π ′ = − 0 ,32x π ∈   ( )0 0f x′ = 0,2x x π ∈   ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )0 ,3x x∈ ( ) 0f x′ > ( )y f x=， ， . 由零点存在定理知，函数 在区间 上无零点，在区间 上有且只有一个 零点，即函数 在区间 上有且只有一个零点. 由于函数 为偶函数，所以，函数 在 上无零点，在 上 有且只有一个零点. 综上所述，函数 有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要 充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题 的能力，属于难题. 22.棋盘上标有第 、 、 、 、 站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋 游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第 站 或第 站时，游戏结束.设棋子位于第 站 概率为 . （1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋手所走步数之和 的分布列与数学期望； （2）证明： ； （3）求 、 的值. 【答案】（1）分布列见解析，随机变量 的数学期望为 ；（2）证明见解析； （3） ， . 【解析】 【分析】 （1）根据题意得出随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，利用独立重复试验的概率公式 计算出随机变量 在相应取值时的概率，可列出随机变量 的分布列，由此计算出随机变量 的 2 1 02 16f π π  = −