湖南五市十校2020届高三数学（文）上学期第二次联考试卷（Word版含答案）

绝密★启用前 湖南省五市十校 2019 年下学期高三年级第二次联考试题 文科数学 本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|x>－1}，B＝{x|x 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 , 0( ) ( 3), 0 xx xf x f x x  − ≤=  − > 52 sin( ) cos cos2c A a B b A π + = +19.(12 分) 如图，四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB＝BC＝ AD，△BAD＝∠ABC＝90°。 (1)证明：BC//平面 PAD； (2)若四棱锥 P－ABCD 的体积为 4 ，求△PCD 的面积。 20.(12 分) 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，直线 y＝x－1 与 C 交于 A，B 两点，且 AB＝8。 (1)求 p 的值； (2)如图，过原点 O 的直线 l 与抛物线 C 交于点 M，与直线 x＝－1 交于点 H，过点 H 作 y 轴 的垂线交抛物线 C 于点 N。证明：直线 MN 过定点。 21.(12 分) 已知函数 f(x)＝ex－cosx。 (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)证明：f(x)在区间(－ ，＋∞)上有且仅有 2 个零点。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 (φ 为参数)，以 O 为极点，x 轴的非 1 2 3 2 π 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  =负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)写出圆 C 的极坐标方程； (2)设直线 l 的极坐标方程为 ，射线 OM：θ＝ 与圆 C 交于 O、P 两点， 与直线 l 交于点 Q，求线段 PQ 的长。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)＝|x－3|－2|x|。 (1)求不等式 f(x)≥2 的解集； (2)设 f(x)的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝m，证明：a2＋b2＋c2≥3。 高三文科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A D A D C C C B B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16.1010 2 sin( ) 3 33 πρ θ + = 3 π 1 2 2− 7 5 −三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）∵ ， ∴ ，…………2 分 由正弦定理得， ， ∴ ，…………4 分 又 ，∴ ，∴ ，…………5 分 又 ，∴ .…………6 分 （2）设 外接圆的半径为 ，则 ， ，…………8 分 由余弦定理得 ，…………9 分 即 ， ，……………10 分 的面积 。…………12 分 18.【答案】（1） ；（2） 【解】（1）当 时， ；…………1 分 当 时， .…………3 分 也适合 ，因此，数列 的通项公式为 ；…………5 分 （2） ，在等式两边同时除以 得 ，且 . 所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，…………6 分 ，…………7 分 .…………8 分 ， ，…………9 分 3A = π 2 3 2 sin( ) cos cos2c A a B b A 5π + = + 2 cos cos cosc A a B b A= + ( )2sin cos sin cos sin cos sin sinC A A B B A A B C= + = + = 2sin cos sinC A C= 0 C< < π sin 0C ≠ 1cos 2A = 0 A< < π 3A = π ABC△ R 1R = 2 sin 3a R A= = ( )22 2 2 2 cos 33a b c bc b c bc π= + − = + − 3 27 3bc= − 8bc∴ = ABC∴∆ 1 1 3sin 8 2 32 2 2S bc A= = × × = 12n na -= ( ) 12 3 2 6nn +− ⋅ + 1n = 1 1 1 2 1 1a S= = − = 2n ≥ ( ) ( )1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2n n n n n n n na S S − − − −= − = − − − = − = 1 1a = 12n na -= { }na 12n na -= 2 1 2 8 2n n n nb b a + + − = = 12n+ 1 1 22 2 n n n n b b+ + − = 1 12 b = 2 n n b    1 2 ( )1 2 1 2 12 n n b n n∴ = + − = − ( )2 1 2n nb n∴ = − ⋅ ( )1 2 31 2 3 2 5 2 2 1 2n nT n∴ = × + × + × + + − ⋅ ( ) ( )2 3 12 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n += × + × + + − ⋅ + − ⋅上式 下式得 ，…………11 分 因此， 。…………12 分 19.【解析】（1）在平面 内，因为 ， 所以 .…………1 分 又 平面 ， 平面 ， 故 平面 。…………4 分 （2）取 的中点 ，连接 ， . 由 ，及 ， ， 得四边形 为正方形，则 。…………5 分 因为侧面 是等边三角形且垂直于底面 ， 平面 平面 ， 所以 ，…………6 分 因为 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 .…………7 分 设 ，则 ， ， ， ， . 因为四棱锥 的体积为 ， 所以 ，所以 ，…………9 分 取 的中点 ，连接 ，则 ， 所以 .…………10 分 因此 的面积 。…………12 分 20.【解析】(1)由 ，消去 可得 ，……1 分 设 A（x1，y1）,B（x2，y2）,则 y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，…………2 分 ∴ 1＋12· (y1＋y2)2－4y1y2＝ 2· 4p2＋8p＝8，…4 分 − ( )1 2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n nT n +− = + × + × + + × − − ⋅ ( ) ( ) ( ) 3 1 1 12 1 2 2 2 1 2 3 2 2 61 2 n n nn n − + + − = + − − ⋅ = − ⋅ −− ( ) 12 3 2 6n nT n +⋅= − + ABCD 90BAD ABC∠ = ∠ =  //BC AD BC ⊄ PAD AD ⊂ PAD //BC PAD AD M PM CM 1 2AB BC AD= = //BC AD 90ABC∠ =  ABCM CM AD⊥ PAD ABCD PAD  ABCD AD= PM AD⊥ PM ⊂ PAD PM ⊥ ABCD CM ⊂ ABCD PM CM⊥ BC x= 2AD x= CM x= 2CD x= 3PM x= 2PC PD x= = P ABCD− 4 3 ( )1 1 1 2 3 4 33 3 2ABCDV S PM x x x x= ⋅ = × + = 2x = CD N PN PN CD⊥ 14 142PN x= = PCD△ 1 1 2 2 14 2 72 2S CD PN= × = × × = 2 2 1 y px y x  =  = − x 2 2 2 0y py p− − = AB = 第 20 题解得 p＝2 或 p＝－4(舍去)，∴p＝2。…………5 分 (2)证明：由(1)可得 y2＝4x，设 ，…………6 分 ∴直线 OM 的方程为 y＝4 y0x。…………7 分 当 x＝－1 时，yH＝－4 y0 ，则 yN＝yH＝－4 y0 ， 代入抛物线方程 y2＝4x，可得 xN＝4 y20 ， ，…………8 分 ∴直线 MN 的斜率 k＝ y0＋4 y0 y20 4 －4 y20 ＝ 4y0 y20－4 ，…………9 分 直线 MN 的方程为 ，整理可得 ………11 分 故直线 MN 过定点(1,0)。…………12 分 21.【解析】（1） ，则 ，…………1 分 ， .…………2 分 因此，函数 在点 处的切线方程为 ，即 ；…………4 分 （2）当 时， ，此时， ，…………5 分 所以，函数 在区间 上没有零点；…………6 分 又 ，下面只需证明函数 在区间 上有且只有一个零点. ，构造函数 ，则 ， 当 时， ， 所以，函数 在区间 上单调递增，…………8 分 ， ， 2 0 0 1 ,4M y y     2 0 0 4 4,N y y  ∴ −    20 0 02 0 4 1 4 4 yy y x yy  − = − −   ( )0 2 0 4 14 yy xy = −− ( ) cosxf x e x= − ( ) sinxf x e x′ = + ( )0 0f∴ = ( )0 1f ′ = ( )y f x= ( )( )0, 0f y x= 0x y− = 0x > 1 cosxe x> ≥ ( ) cos 0xf x e x= − > ( )y f x= ( )0, ∞+ ( )0 0f = ( )y f x= ,02 π −   ( ) sinxf x e x′ = + ( ) sinxg x e x= + ( ) cosxg x e x′ = + 02 x π− < < ( ) cos 0xg x e x′ = + > ( )y f x′= ,02 π −   2 1 02f e ππ − ′ − = − 由零点存在定理知，存在 ，使得 ，…………9 分 当 时， ，当 时， 。…………10 分 所以，函数 在 处取得极小值，则 ， 又 ，所以 ，由零点存在定理可知，函数 在区间 上有且只有一个零点.…………11 分 综上所述，函数 在区间 上有且仅有两个零点.…………12 分 22.【解析】（1）圆 C 的普通方程为 ，又 ， 所以圆 C 的极坐标方程为 .…………4 分 （2）设 ，则由 解得 ， ，得 ；…………7 分 设 ，则由 解得 ， ，得 ；……9 分 所以 。…………10 分 23.【解析】（1）当 时， ，由 ， 得 ， 解得 ，此时 ； 当 时， ，由 ，得 ， 解得 ，此时 ； 当 时， ，此时不等式 无 解. ,02t π ∈ −   ( ) 0f t′ = 2 x t π− < < ( ) 0f x′ < 0t x< < ( ) 0f x′ > ( )y f x= x t= ( ) ( )0 0f t f< = 2 02f e ππ − − = >   ( ) 02f f t π − ⋅