华南师范大学附中2020届高三数学（理）上学期月考试卷（二）（Word版含答案）

华南师大附中 2020 届高三年级月考（二） 数 学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己 的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填 涂考生号。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求。 1．设 为虚数单位，已知 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标是（***） （A） （B） （C） （D） 2．已知 ， ，则 的值是（***） （A） （B） （C） （D） 3．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， °，则边 （***） （A）1 （B）2 （C）4 （D）6 4．已知 是等差数列 的前 项和， ，则 （***） （A）66 （B）55 （C）44 （D）33 5．已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是（***） （A） （B） （C） （D） 6．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （***） （A） （B） （C） （D） 7．若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（***） i 2zi i= − z ( 1, 2)− − ( 1, 2)− (1, 2)− (1, 2) 3sin 2 4 α = 4 2 π πα< < sin cosα α− 1 2 1 2 − 1 4 1 4 − ABC A B C a b c 13=a 3=b 60=A =c nS { }na n 1 3 5 8 102( ) 3( ) 36a a a a a+ + + + = 11S = { | 2 5}= − < ≤A x x { | 1 2 1}= + ≤ ≤ −B x m x m =A B A m [2, 3] (2, 3] ( , 3]−∞ (2, )+ ∞ ABC AD BC E AD =EB 3 1 4 4 − AB AC 1 3 4 4 − AB AC 3 1 4 4 + AB AC 1 3 4 4 + AB AC x 2 ( ) 1− a 1>b 1)( =+− baab ba + )12(2 + ba + 322 + ab 12 + ab 12 + a b e e a e 3 π b 2 4 3 0− ⋅ + =  b e b | |− a b 3 1− 3 1+ 2 3− 1 3, ( 1, 0]( ) 1 , (0,1] xf x x x x  − ∈ −= +  ∈ ( ) ( )g x f x mx m= − − ( 1, 1]− m 9 1, 2 0,4 2    − −      11 1, 2 0,4 2    − −      9 2, 2 0,4 3    − −      11 2, 2 0,4 3    − −      23( ) 22f x x ax= − 0a > 2( ) lng x a x b= + b 2 1 2e 21 2 e 1 e 2 3 2e − x y 2 0 1 0 5 0 − ≥  − + ≥  + − ≤ y x y x y y x 2 1, 0( ) 2 , 0  + ≤= − > x xf x x x ( ) 10=f x =x ( ) sin 3 cosf x x xω ω= − 0ω > ( ) 1f x = − (0, )π ω { }na 1 1a = − 1 2 3 1n na a n+ = + − *n N∈ n nS =__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ ）． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，求证： ． 18．已知直三棱柱 中， °， ， ， 是 的 中 点 ， 是 上 一 点 ， 且 ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 余弦值的大小． 19．如图，椭圆 （ ）的离心率 ，且椭圆 的短轴长为 2． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 过点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点，又点 是椭圆 的上 顶点，求△ 面积的最大值． 20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中 按分层抽样的方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时 间的情况将学生分成三类： 类（不参加课外阅读）， 类（参加课外阅读，但平均每周参加 课外阅读的时间不超过 3 小时）， 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时）．调查结果如下表： 类 类 类 男生 5 3 女生 3 3 { }na n nS 2 3 1= −n nS a *∈n N { }na 3 2log += n n n ab a nT { }nb n 15 4 >a b 3 2 =e C C l 10, 2  −  D C M N P C PMN A B C A B C x y C1 B1 A1 F E C B A（1）求出表中 ， 的值； （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“参加课 外阅读与否”与性别有关； 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 （3）从抽出的女生中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 为抽取的这 3 名女生中 类人数和 类人数差的绝对值，求 的数学期望． 附： ， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 21．已知函数 ， ，其中 ， ． （1）求 在点 处的切线方程； （2）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围； （3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ ）， 以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 与曲线 两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程为 ，直线 与 轴的交点为 ，与曲 线 相交于 ， 两点，求 的值． 23．已知函数 （ ）． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若对于任意的 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围. x y X A C X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) −= + + + + n ad bcK a b c d a c b d 2 0( )≥P K k 0k ( ) (3 2)= −xf x e x ( ) ( 2)= −g x a x a ∈x R ( )=y f x (1, )e ∈x R ( ) ( )≥f x g x a 0x 0 0( ) ( )f x [1, 2]∈t [ 1, 3]∈ −x ( ) ≥ +f x a x a数学（理科）参考答案 一、选择题： 1—4：AACD 5—8：CADD 9—12：AAAA 二、填空题 13．2． 14． ． 15． ． 16． ． 三、解答题： 17．【解答】：（1）当 时， ， 当 时， ， ，两式相减得 ， 故 是以 3 为公比的等比数列，且 ， 所以 ． （2）由（1）得 ，由错位相减法 ，① ，② 两式相减得 ， 所以 ， 所以 ． 18．【解答】：（1）连接 ， ，在△ 中， ， 3− 7 25,2 6      2 2 3 72 4 2 n n n+ +− − 1=n 1 1=a 2≥n 2 3 1= −n nS a 1 12 3 1− −= −n nS a 13 −=n na a { }na 1 1=a 13 −= n na 1 1 3 − +=n n nb 0 1 1 1 1 12 3 ( 1)3 3 3 −= × + × + + +n nT n 1 1 1 1 1 12 ( 1)3 3 3 3−= × + + × + +n n nT n n 2 1 2 1 1 1 1 5 2 523 3 3 3 3 2 2 3− + + = + + + + − = −  × n n n n n nT 1 15 2 5 4 4 3 − += − ×n n nT 15 4 = = = ⋅ ×      n nn n n n 1 1 − −B A E B 2 5 5 C1 B1 A1 F E C B A z y x A B C E F A1 B1 C119．【解答】：（1）由已知得 ，解得 ， 所以椭圆 的方程是 ； （2）由已知可知直线 的斜率定存在，设直线 的方程为 ， ， ， 由 ，得 ，所以 ， ， 所以 ， 又 ，所以 ， 令 ， ， 所以 ， 令 （ ），则 ， 所以 在 上单调递增，所以当 时，此时 ， 有最小值 ，此时 有最大值 ． 2 2 2 2 2 3 2 =  =  = + b c a a b c 2 1 3  =  =  = a b c C 2 2 14 + =x y l l 1 2 = −y kx 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 14 1 2  + =  = − x y y kx 2 2(1 4 ) 4 3 0+ − − =k x kx 1 2 2 4 1 4 + = + kx x k 1 2 2 3 1 4 −= +x x k 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4(16 3)| | ( ) 4 (1 4 ) +− = + − = + kx x x x x x k 3| | 2 =PD 2 1 2 2 1 3 16 3| | | |2 2(1 4 )∆ += ⋅ − = +PMN kS PD x x k 216 3 3= + ≥m k 2 2 3 16 −= mk 2 3 6 132 1 4 16 ∆ = = − ++ ⋅   PMN mS m m m 1( ) = +g m m m 3≥m 2 1'( ) 1 0= − >g m m ( )g m [ 3, )+ ∞ 3=m 0=k ( )g m 4 3 3 ∆PMNS 3 3 220 ．【解 答 】 ： （ 1 ） 设 抽 取 的 20 人 中 ， 男 ， 女 生 人 数 分 别 为 ， ， 则 ， ， 所以 ， ； （2）列联表如下： 男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读 8 6 14 总计 12 8 20 的观测值 ， 所以没有 90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关； （3） 的可能取值为 0，1，2，3， 且 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 从而 的数学期望为 ． 21．【解答】：（1）依题意，得 ，所以 ， 所以 在点 处的切线方程为 ，即 ； （2）由题意，对任意 有 恒成立， ① 当 时，有 恒成立，故 ， 1n 2n 1 20 1200 122000 ×= =n 2 20 800 82000 ×= =n 12 5 3 4= − − =x 8 3 3 2= − − =y 2K 220(4 6 2 8) 10 0.159 2.70612 8 14 6 63 × − ×= = ≈ f x 1 5| ,2 2  < >  或x x x ( ) ≥ +f x a x ( )≤ −a f x x ( ) ( )= −g x f x x 1 1− ≤ ≤x ( ) 1 3= + −g x t x min( ) (1) 2= = −g x g t 1<