华南师范大学附中2020届高三数学（文）上学期月考试卷（二）（Word版含答案）

华南师大附中 2020 届高三年级月考（二） 数 学（文科） 本试卷共 5 页，23 题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试 卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ） A． B． C． D． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下 底面中心．若圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ） A． B． C．3π D．4π 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点 倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（ ） 灯 A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 5．已知 ，若 ，则实数 的值为（ ） { |( 3)( 1) 0}A x x x= − + > { 1| 1}B x x= − >‖ ( )R A B = [ 1,0) (2,3]−  (2,3] ( ,0) (2, )−∞ +∞ ( 1,0) (2,3)−  z 1 i+ z i = 1 i+ 1 i− + 1 i− − 1 i− 5π 6πA．-2 B．2 C．0 D．1 6．已知 ，则 y 的最小值为（ ） A．2 B．1 C．4 D．3 7．已知 x，y∈R，且 x>y>0，则（ ） A． B． C． D．lnx+lny>0 8．将函数 的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来 2 倍，再向 右平移 个单位，得到函数 的图象，则 （ ） A． B． C． D．0 9．已知△ABC 的内角 的对边分别为 且 ， ， ，则△ABC 的面积为（ ） A． B． C． D． 10．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则使 达到最大值的 是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最 美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形(另一种是顶角为 的等腰三角形).例 如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三 角形 中， ，根据这些信息，可得 =（ ） A． B． C． D． 12．已知三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上， ， ， ，顶点 在平面 上的投影 为 的中点，且 ，则球 的表 面积为（ ） 12, 2x y x x > = + − 1 1x y x y − > − cos cos 0x y− < 1 1 0x y − > ( ) 2sin 4 4f x x π = −   4 π ( )g x ( )0g = 2 2 2− A B C， ， a b c， ， ， 2 2( )a b c ab+ = + 30B = ° 4a = 4 3 3 4 3 6 3 { }na n nS 1 23a = 6 812S a= nS n 36° 108° ABC 5 1 2 BC AC −= sin 234° 1 2 5 4 − 3 5 8 +− 1 5 4 +− 4 5 8 +− D ABC− O AB AC⊥ 6AB = 2 6AC = D ABC E BC 5DE = OA． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域是_______. 14．已知向量 ， ，且 ，则 ______. 15．已知实数 ， 满足 ，则目标函数 的最大值为 ______. 16．设函数 在 处取得极值 0，则 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 在公差不为 0 的等差数列 中， ， ， 成公比为 的等比数列，数列 满足 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，且 底面 . （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求 A 到平面 PBC 的距离. 19．（本小题满分 12 分） 某县畜牧技术员张三和李四 9 年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查， 张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量 y（单位：万只）与相应年份 x（序号） 16π 17π 60π 64π ( )f x xα= (2, 2) ( )f x (1, 2)= −a (2, )b m= / /a b  a b =   x y 2 1 0 0 2 0 x x y x y − ≥  − ≤  + − ≤ 2z x y= + 3 2 2 1( ) 3 3 axf x bx a x= − + − { }na 1a 3a 9a 3a { }nb *2 , 2 1,( ) 2 , 2 , na n n n kb k N a n k  = −= ∈ = { }na { }nb 2n 2nT P ABCD− ABCD 2 2AB AD= = 3PD BD AD= = PD ⊥ ABCD BC⊥ PBD的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现 y 与 x 有较强的线性相关关系. 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊 /万只 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.7 （Ⅰ）根据表中的数据和所给统计量，求 关于 的线性回归方程（参考统计量： ， ； （Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数 z（单位：个）关于 x 的回归方程 . 试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？ ②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？ 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， ． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连 线构成的三角形面积为 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设与圆 O： 相切的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（O 为坐标原 点），求△AOB 面积的最大值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）证明：当 时， ； x y y x ( )9 2 1 60i i x x = − =∑ ( )( )9 1 12i i i x x y y = − − =∑ 2 30z x ∧ = − + ˆb ( ) 1 2 1 ( ) ( ) n i i i n i i x x y y x x = = − − − ∑ ∑ ˆ ˆa y bx= − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 6 3 2 2 2 3 4x y+ = ( ) lnf x x= ( ) 1g x x= − 0x > ( ) ( )f x g x≤（Ⅱ）若 时不等式 成立，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 ，曲线 为参 数），以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求 的极坐标方程； （Ⅱ）若曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 分别交 于 两 点，求 ． 23．【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ， ． （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若方程 在区间 有解，求实数 a 的取值范围. [1,e]x∈ ( ) ( )g x af x≥ xOy 1 : 3 4 0C x y+ − = 2 : (1 x cosC y sin ϕ ϕϕ =  = + O x 1 2,C C 3C 3 πθ = ( 0)ρ > 3C 1 2,C C ,A B | |AB ( ) 2 4 1f x x x= − + + x∈R ( ) 9f x ≤ ( ) 2f x x a= − + [ ]0,2数学（文科）参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D 二、填空题 13． 14．10 15．3 16． 三、解答题 17.解：（Ⅰ）公差 不为 0 的等差数列 中， ， ， 成公比为 的等比数列， 可得 ， ，可得 ， ，化简可得 ， 即有 . （Ⅱ）由（1）可得 ， ； 前 项和 ． 18. （Ⅰ）证明：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ . 又∵ 底面 ，∴ . ∵ ，∴ 平面 . （Ⅱ）解： ， . . 由（1） 平面 ， 又 ， . . 又 ， 设 A 到平面 PBC 距离为 d， [0, )+∞ d { }na 1a 3a 9a 3a 2 3 1 9a a a= 3 1 3a a a= 2 1 1 1( 2 ) ( 8 )a d a a d+ = + 1 1a = 1 1a d= = na n= 2 , 2 1 2 , 2 n n n kb n n k  = −=  = *k N∈ 2n 2 1 2 (2 8 32 2 ) (4 8 12 4 )n nT n−= + + +…+ + + + +…+ 2(1 4 ) 1 2(4 1)(4 4 ) 2 ( 1)1 4 2 3 n n n n n n − −= + + = + +− 2 2 2AD BD AB+ = AD BD⊥ / /AD BC BC BD⊥ PD ⊥ ABCD PD BC⊥ PD BD D= BC ⊥ PBD ,PD ABCD BD ABCD⊥ ⊂ 平面 平面 PD BD∴ ⊥ 2 2 6PB PD BD∴ = + = BC ⊥ PBD PB ⊂ 平面 PBD BC PB∴ ⊥ 1 1 61 62 2 2PBCS BC PB∆∴ = × × = × × = 1 3 322 2 2ABCS∆ = × × =由 可得 ， . 即 A 到平面 PBC 的距离为 . 19. 解：（Ⅰ）设 关于 的线性回归方程为 ， 则 ， ， 则 ，所以 ， 所以 关于 的线性回归方程为 . （Ⅱ）估计第 年山羊养殖的只数 ， ①第 1 年山羊养殖的只数为 ，故该县第一年养殖山羊约 万只； ②由题意，得 ，整理得 ， 解得 或 （舍去） 所以到第 10 年该县山羊养殖的数量相比第 1 年缩小了. 20. 解：（I）由题设： ， 解得 . ∴椭圆 C 的方程为 . （Ⅱ）设 ， 1.当 AB x 轴时， . 2.当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ， P ABC A PBCV V− −= 1 1 3 3ABC PBCS PD S d∆ ∆× × = × × 6 2d∴ = 6 2 y x ˆˆ ˆy bx a= + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 59x + + + + + + + += = 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.7 29y + + + + + + + += = 9 1 9 2 1 ( )( ) 12ˆ 0.260( ) i i i i i x x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑ ˆˆ 2 0.2 5 1a y bx= − = − × = y x ˆ 0.2 1y x= + x 2ˆ ˆ (0.2 1)( 2 30) 0.4 4 30y z x x x x⋅ = + − + = − + + 0.4 4 30 33.6− + + = 33.6 20.4 4 30 33.6x x− + + < ( 9)( 1) 0x x− − > 9x > 1x < 6 , 23 c bca = = 2 23, 1a b= = 2 2 13 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, x ,A x y B y、 ⊥ 3AB = y kx m= +由已知 ，得 . 把 代入椭圆方程消去 y， 整理得 , 恒成立， . , 当且仅当 ，即 时等号成立. 当 时， . 综上所述 ，从而△AOB 面积的最大值为 . 21. 解：（Ⅰ）令 ， ， 2 3 21 m k = + ( )2 23 14m k= + y kx m= + ( )2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 236 4(3 1)(3 3) 27 3 0k m k m k∆ = − + − = + > ( )2 1 2 1 22 2 3 16 ,3 1 3 1 mkmx x x xk k −−∴ + = =+ + ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2 2 1 2 2 22 12 1361 k 1 3 13 1 mk mAB x x k kk  − = + − = + − ++  ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 12 1 3 1 3 1 9 1 3 1 3 1 k k m k k k k + + − + + = = + + ( )2 4 2 2 2 12 123 3 019 6 1 9 6 k kk k k k = + = + ≠+ + + + 123 42 3 6 ≤ + =× + 2 2 19 ,k k = 3 3k = ± 0k = 3AB = max 2AB = 3 2 ( ) ( ) ( ) ln 1, 0h x f x g x x x x= − = − + > 1 1'( ) 1 xh x x x −∴ = − = (0,1) '( ) 0, ( )x h x h x∴ ∈ >当 时， 单调递增， (1,+ ) '( ) 0, ( )x h x h x∈ ∞ ( ) ( )f x g x≤ ( ) ( ) ( ) ln 1h x af x g x a x x= − = − + ( ) 1 2 22 a a xh x x xx −′ = − = 0a ≤ ( ) 0h x′ < ( )h x [ ]1,e ( ) ( )1 0h x h≤ = 0a ≤ 0a > ( ) 0h x′ = 24x a= ( )20,4x a∈ ( ) 0h x′ > ( )24 ,x a∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )20,4a ( )24 ,a +∞ 24a e≥ 2 ea ≥ ( )h x [ ]1,e ( ) ( ) 1 0h x h e a e≤ = − + ≤ 1−≤ ea 21 4a e< < 1 2 2 ea< < ( )h x ( )21,4a ( )24 ,a e ( ) ( ) ( ) ( )2 24 ln 4 2 1 2 ln 2 2 1 0h x h a a a a a a a≤ = − + = − + ≤ ( ) ( ) 12 ln 2 2 1 2 2 em x x x x x  = − + < ( )m x 1 ,2 2 e      ( ) 1 02m x m > =   20 4 1a< ≤ 10 2a< ≤ ( )h x [ ]1,e ( ) ( )1 0h x h≤ = 10 2a< ≤综上所述： 的取值范围为 . 22.解： （Ⅰ） ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）曲线 为 ， 设 ， 则 . 23. 解：（Ⅰ） 可化为 ， 故 ，或 ，或 ； 解得： ，或 ，或 ； 所以，原不等式的解集为 ； （Ⅱ）由题意： ， ． 故方程 在区间 有解 函数 和函数 ，图象在区间 上有交点. 当 时， ， 实数 的取值范围是 . a 1, 2  −∞   cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1 : 3 cos sin 4 0;C ρ θ ρ θ∴ + − = 1 x cos y sin ϕ ϕ =  = + ( )22 1 1x y∴ + − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = ( ) ( )2 2cos sin 1 1ρ θ ρ θ∴ + − = 2 2 sin 0ρ ρ θ∴ − = 2 : 2sinC ρ θ∴ = 3C ( 0)3 πθ ρ= > 1 2, , ,3 3A B π πρ ρ           1 2 4 4= 3, 2sin = 3,3 33cos sin3 3 πρ ρπ π= = + 1 2 3| | 3AB ρ ρ∴ = − = ( ) 9f x ≤ 2 4 1 9x x− + + ≤ 2 3 3 9 x x >  − ≤ 1 2 5 9 x x − ≤ ≤  − ≤ 1 3 3 9 x x < − − + ≤ 2 4x< ≤ 1 2x− ≤ ≤ 2 1x− ≤ < − { | 2 4}x x− ≤ ≤ ( ) 2 2 5f x x a a x x= − + ⇔ = − + [ ]0,2x∈ ( ) 2f x x a= − + [ ]0,2 ⇔ y a= 2 5y x x= − + [ ]0,2  [ ]0,2x∈ 2 195 ,74y x x= − + ∈     ∴ a 19 ,74     