湖州市 2018-2019 学年第二学期期末调研测试卷
高一数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，全卷满分 150 分，
考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1.在直角坐标系中，直线 的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
先根据直线的方程，求出它的斜率，可得它的倾斜角．
【详解】在直角坐标系中，直线 的斜率为 ，等于倾斜角的正切值，
故直线 的倾斜角是 ，故选 ．
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的求法。
2.向量 ， ，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量平行的坐标表示，即可求出。
【详解】 向量 ， ， ，即
【
3 0x y− =
30° 45° 60° 90°
3 0x y− = 1 3
33
=
3 0x y− = 30° A
( )2,a x= ( )6,8b = / /a b x
3
2
3
2
− 8
3
8
3
−
(2, )a x= (6,8)b = / /a b 2 8 6 0x× − =解得 ．故选 ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示。
3.圆心为 且过原点的圆的一般方程是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。
【详解】根据题意，要求圆的圆心为 ，且过原点，
且其半径 ，
则其标准方程为 ，变形可得其一般方程是 ，
故选 ．
【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。
4.在 中，内角 所对的边分别是 ．已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得 ，结合 ， 为锐角，可得 ，利用三角形内
角和定理即可求 的值．
【详解】在 中， ， ， ，
由余弦定理可得： ，
∴ 8
3x = C
( )1, 1−
2 2 2 2 1 0x y x y+ + − + = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − + + =
2 2 2 2 0x y x y+ + − = 2 2 2 2 0x y x y+ − + =
(1, 1)−
2 21 ( 1) 2r = + − =
2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = 2 2 2 2 0x y x y+ − + =
D
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5a = 7b = 8c = A C+ =
90° 120° 135° 150°
1cos 2B = b c< B B
A C+
ABC∆ 5a = 7b = 8c =
∴ 2 2 2 25 64 49 1cos 2 2 5 8 2
a c bB ac
+ − + −= = =× ×，故 为锐角，可得 ，
，故选 ．
【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用。
5.若直线 和直线 平行，则 的值为（ ）
A. 1 B. -2 C. 1 或-2 D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由两直线平行可知满足
考点：两直线平行的判定
6.已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ，且 ，3 为方程 的两根，运用韦达定理可得 ， ， 的
关系，可得 的解析式，计算 ， （1）， （4），比较可得所求大小关系．
【详解】关于 的不等式 的解集为 ，
可得 ，且 ，3 为方程 的两根，
可得 ， ，即 ， ，
， ，
可得 ， （1） ， （4） ，
b c ( )1, 3−
( ) ( ) ( )4 0 1f f f> > ( ) ( ) ( )1 0 4f f f> >
( ) ( ) ( )0 1 4f f f> > ( ) ( ) ( )1 4 0f f f> >
0a < 1− 2 0ax bx c+ + = a b c
( )f x (0)f f f
x ( ) 0f x > ( 1,3)−
0a < 1− 2 0ax bx c+ + =
1 3 b
a
− + = − 1 3 c
a
− × = 2b a= − 3c a= −
2( ) 2 3f x ax ax a= − − 0a <
(0) 3f a= − f 4a= − f 5a=可得 （4） （1），故选 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。
7.已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成等比数列，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
∵ 等 差 数 列 ， ， ， 成 等 比 数 列 ， ∴
，
∴ ，∴ ， ，故选
B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前 项和；2.等比数列的概念
8.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根 据 条 件 即 可 求 出 ， 从 而 可 求 出 ，
， ，然后可设 与 的夹角为 ，从而可求出
，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
f (0)f f< < B
{ }na d n nS 3 4 8, ,a a a
1 40, 0a d dS> > 1 40, 0a d dS< <
1 40, 0a d dS> < 1 40, 0a d dS< >
a b 60° 2a = 1b = a b− 1
2 a b+
150° 90° 60° 30°
2 2· 1, 4, 1a b a b= = = 2( ) 3a b a b− = − =
1 32 a b+ = 1 3( )·( )2 2a b a b− + = a b− 1
2 a b+ θ
1cos 2
θ =【详解】 ， ；
，
，
；
设 与 的夹角为 ，则 ；
又 ， ，故选 ．
【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹
角。
9.已知数列 满足 ， （ 且 ），且数列 是递增数列，
数列 是递减数列，又 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件可以推出，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，因此
去绝对值可以得到， ，利用累加法继而算出结果．
【详解】 ，即 ，
或 ，
又 ，
．
数列 为递增数列，数列 为递减数列，
· 1a b = 2 24, 1a b= =
∴ 2 2 2( ) 2 · 4 2 1 3a b a b a a b b− = − = − + = − + =
2 21 1 · 1 1 1 32 4a b a a b b+ = + + = + + =
2 21 1 1 1 3( )·( ) · 2 12 2 2 2 2a b a b a a b b− + = + − = + − =
a b− 1
2 a b+ θ
1( )·( ) 12cos 1 2
2
a b a b
a b a b
θ
− +
= =
− +
0 180θ° ° 60θ∴ = ° C
{ }na 1 1a = 2
1n na a n−− = n ∗∈N 2n ≥ 2 1{ }na −
2{ }na 1 2a a> 100a =
5050− 5050 4950− 4950
n 0na > n 0na < 2
1n na a n−− =
1 2
1 ( 1)n
n na a n+
−− = − ⋅
2
2 1 2a a− = 2 1 4a − =
2 5a∴ = 3−
1 2a a>
2 3a∴ = −
2 1{ }na − 2{ }na当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
．
．故选 A．
【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和
法的应用。
10.设 ，若不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得 恒成立，讨论 ， ，运用基本不等式，可
得最值，进而得到所求范围．
【详解】 恒成立，
即为 恒成立，
当 时，可得 的最小值，
由 ，
∴ n 0na > n 0na <
∴ 1 2
1 ( 1)n
n na a n+
−− = − ⋅
100 100 99 99 98 98 97 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a∴ = − + − + − +…+ − +
2 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 96 95 2 1= − + − + − + − − +
2 2 2 2 2 2 2 2) )(100 99 (98 97 (96 195 ) (2 )− − − −= −− − − −
(100 99 98 97 96 3 2 1)= − + + + + +…+ + +
100 1 100 50502
+= − × = −
Ra∈ 2 21 1 4 8x x ax xx x
+ + − + ≥ −
[ 2,12]− [ 2,10]− [ 4,4]− [ 4,12]−
2 21 1 8 (4 )x x a xx x
+ + − + − 0x > 0x <
2 21 1 4 8x x ax xx x
+ + − + −
2 21 1 8 (4 )x x a xx x
+ + − + −
0x > 2 2
1 1 84 a x xx x x
− + + − +
2 2 2 2
1 1 8 1 1 8 8 82 2 2 8x x x x x xx x x x x x x x
+ + − + + + − + = + ⋅ = 当且仅当 取得最小值 8，即有 ，则 ；
当 时，可得 的最大值，
由 ，
当且仅当 取得最大值 ，即有 ，则 ，
综上可得 ．故选 ．
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及
基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力。
第Ⅱ卷（非选择题部分，共 110 分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）
11.已知点 ， ，向量 ，则向量 ____，向量 ____．
【答案】 (1). (2). ；
【解析】
【分析】
由点 ， ，向量 ，先求出点 坐标为 ，由此利用平面向量
坐标运算法则能求出向量 和向量 ．
【详解】 点 ， ，向量 ，
点 坐标为 ， 向量 ，向量 ．
【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算。
12.在 中，内角 所对的边分别是 ．若 ， ， ，
则 ____， ____．
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
2x = 4 8a− 4a −
0x < 2 2
1 1 84 [ ]a x xx x x
− − + + − −
2 2
1 1 8 8 82 2 2 8x x x xx x x x x
− + + − − − − − ⋅ =
2x = − 8− 4 8a− − 12a
4 12a− D
(0,1)A (3,2)B ( 4, 3)AC = − − AB = BC =
(3,1) ( 7, 4)− −
(0,1)A (3,2)B ( 4, 3)AC = − − C ( 4, 2)− −
AB BC
(0,1)A (3,2)B ( 4, 3)AC = − −
∴ C ( 4, 2)− − ∴ (3,1)AB = ( 7, 4)BC = − −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sinb A a C= 1c =
6B
π=
b = a =
3【分析】
由已知及正弦定理可得 ，即求出 ，利用三角形的内角和定理可求 ，根据余弦定理可
得 的值．
【详解】 ， 由正弦定理可得： ，即 ，
， ，
又 ， ， ，
由余弦定理可得： ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应
用。
13.已知实数 满足 则目标函数 的最大值是____，满足条件的实
数 构成的平面区域的面积等于____．
【答案】 (1). 2 (2). 2；
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用线性目标函数的最值求法，进行求解即可．
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由 得 ．平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最小，此时 最大．
由 ，解得 ，代入目标函数 得 ．
即目标函数 的最大值为 2．
点 时，同理 ，
满足条件的实数 ， 构成的平面区域的面积等于：
b c= b A
a
sin sinb A a C= ∴ ab ac= b c=
1c = 1b∴ =
6B
π= 6C
π∴ = 2
3A A B
ππ= − − =
∴ 2 2 22 cos 1 1 2 1 1 cos 33a b c bc A
π= + − = + − × × × =
,x y
1 0,
1 0,
3 3 0,
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≥
− − ≤
2z x y= −
,x y
2z x y= − 2y x z= − 2y x z= −
2y x z= − B 2y x z= − z
1 0
3 3 0
x y
x y
+ − =
− − =
(1,0)B 2z x y= − 2 1 0 2z = × − =
2z x y= −
1 0
3 3 0
x y
x y
− + =
− − = (2,3)A (0,1)C
x y 1 3 1 12 1 1 1 3 22 2 2
+ × − × × − × × =【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法——平移法的应用，以及三角形面积的
求法。
14.已知 在圆 ： 上，直线 ： 与圆 相
交于 ，则实数 ____， ____．
【答案】 (1). (2). ；
【解析】
【分析】
把 点坐标代入圆的方程可得 的值；由圆的方程可知 ，再由弦心距公式可
得 ，继而由向量的数量积公式可得解．
【详解】把 代入圆 ，
解得 ．即圆 的方程为 ，
所以 ，
又圆 到直线 的距离 ，
所以 ，则 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化，直线与圆相交所得弦长的求法，以
及数量积的定义应用。
( )2,5P − C 2 2 2 2 0x y x y m+ − − + = l 3 4 8 0x y+ + = C
,A B m = BC AB⋅ =
23− 32−
P m 5AC BC= =
| | 8AB =
( 2,5)P − 2 2: 2 2 0C x y x y m+ − − + =
23m = − C 2 2( 1) ( 1) 25x y− + − =
5r AC BC= = =
C AB 3 4 8 35d
+ += =
| | 8AB = 64 25 25 4cos 2 8 5 5ABC
+ −∠ = =× ×
4· cos( ) 5 8 ( ) 325BC AB AB BC ABCπ= − ∠ = × × − = − 15.已知 ，则 的最大值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．
【详解】 ， ， ，则
．当且仅当 时，函数取得最大值．
【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值。
16.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层灯数为_____________
【答案】3
【解析】
分析：设塔的顶层共有 a1 盏灯，则数列{an}公比为 2 的等比数列，利用等比数列前 n 项和公
式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有 a1 盏灯，则数列{an}公比为 2 的等比数列，
∴S7= =381，解得 a1=3．故答案为：3.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.
17.若关于 的方程 （ ）在区间 有实根，则 最小值
是____．
【答案】
【解析】
0, 0, 8a b ab> > = ( )2 2log log 2a b⋅
0a > 0b > 8ab = 2 2 2 2 2log ·log (2 ) (log 8 log )·(1 log )a b b b= − +
2 2(3 log )·(1 log )b b= − +
2
2 23 2log (log )b b= + −
2
24 (1 log ) 4b= − − 2b =
7
1(1 2 )
1 2
a −
−
x 2 0x ax b+ + = ,a b∈R [ ]13， 2 2( 2)a b+ −
9
2【分析】
将 看作是关于 的直线方程，则 表示点 到点 的距
离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出
最小值。
【详解】将 看作是关于 的直线方程，
表示点 与点 之间距离的平方，
点 到直线 的距离为 ，
又因为 ，令 ，
在 上单调递增，所以 ，
所以 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化
思想的的应用。
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18.已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为 ．
（Ⅰ）求直线 的方程；
（Ⅱ）若直线 与圆 ： 相切，求实数 的值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由斜率公式先求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；
（Ⅱ）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．
【详解】（Ⅰ）由题意得 l 过点 和点 ，
2 0x ax b+ + = ,a b 2 2( 2)a b+ − ( , )a b (0,2)
2 2( 2)a b+ −
2 0x ax b+ + = ,a b
2 2( 2)a b+ − ( , )a b (0,2)
(0,2) 2 0x ax b+ + =
2
2
2
1
xd
x
+=
+
2
2
2 2
2 11
1 1
xy x
x x
+= = + +
+ +
2 1 2, 10t x = + ∈
1y t t
= + 2, 10t ∈ min
3 2
2d =
2 2( 2)a b+ − 9
2
l ( )1,3 y 1
l
l C ( ) ( )2 2 5x a y a− + + = a
2 1y x= + 4
3a = 2a = −
(1,3) (0,1)则 ，所以直线 l 的方程为 ；
（Ⅱ）由题意得圆心 ，半径 ，
又 ，
即 ，解得 或 .
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，以及直线与圆的位置关系应用，重在考查学生利用
几何法解决直线与圆的相切问题的能力。
19.已知等比数列 的各项为正数， 为其前 项的和， ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，求数列 的通项公式及其前 项
的和 ．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） ，
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设正项等比数列 的公比为 且 ，由已知列式求得首项与公比，则数列
的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得 ，再由数列的分组求和即可．
【详解】（Ⅰ）由题意知，等比数列 的公比 ，且 ，
所以 ，
解得 ，或 （舍去），
则所求数列 的通项公式为 .
（Ⅱ）由题意得 ，
3 1 21 0k
−= =− 2 1y x= +
( , )a a− 5r =
2 2
| 2 1| 5
2 1
a ad
+ += =
+
| 3 1| 5a + = 4
3a = 2a = −
{ }na nS n 3 =8a 3 =14S
{ }na
{ }n nb a− 1 3 { }nb n
nT
2n
na = 3 2 2n
nb n= − + 1 232 22 2
n
n
nT n+= + − −
{ }na ( 0q q > 1)q ≠
{ }na nb
{ }na 1q ≠ 0q >
( )
2
3 1
3
1
3
8
1
141
a a q
a q
S q
= =
−
= = −
1 2
2
a
q
=
=
1 18
2
3
a
q
= = −
{ }na 2n
na =
1 ( 1) 3 3 2n nb a n n− = + − × = −故
点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前 项和公式的应用，同时考查了待
定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和。
20.如图所示， 是边长为 的正三角形，点 四等分线段 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若点 是线段 上一点，且 ，求实数 的值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）以 作为基底，表示出 ，然后利用数量积的运算法则计算即可求出；
（Ⅱ）由平面向量数量积的运算及其运算可得：设 ，又
，所以 ，解得 ，得解．
【详解】（Ⅰ）由题意得 ，
【
3 2 3 2 2n
n nb n a n= − + = − +
( )2 3
1 2 3 (1 4 7 3 2) 2 2 2 2n
n nT b b b b n= + + +…+ = + + +…+ − + + + +…+
( )2 1 2(1 3 2)
2 1 2
nn n −+ −= + −
1 232 22 2
n nn+= + − −
n
ABC∆ 1 1 2 3, ,P P P BC
1 1 2AB AP AP AP⋅ + ⋅
Q 3AP 1
12AQ AB mAC= + m
13
8
1
4
,AB AC
1 2,AP AP
3 12AP AQ AB m AC
λλ λ= = +
3 33BP PC= 3
1 3
4 4AP AB AC= +
3
1
4m
λ = =
1
3 1
4 4AP AB AC= +
2
1 1
2 2AP AB AC= + 则
（Ⅱ）因为点 Q 是线段 上一点，所以设，
又 ，所以 ，
故 ，
解得 ，因此所求实数 m 的值为 .
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算以及平面向量基本定理的应
用,属于中档题.
21.在 中，内角 所对的边分别是 ．已知 ，
，且 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
分析】
（Ⅰ）先利用向量垂直的坐标表示，得到 ，再利用正弦定理以及
两角和的正弦公式将 ，化为 ，进而得到
，由此能求出 ．
【
1 1 2
3 1 3 1 1 1
4 4 4 4 2 2AB AP AP AP AB AB AC AB AC AB AC ⋅ +⋅ ⋅ = ⋅ + + + ⋅ +
2 29 1 3
8 8 4AB AC AB AC= + + ⋅
9 1 3 131 1 1 1 cos608 8 4 8
°= × + × + × × × =
3AP 3 12AP AQ AB m AC
λλ λ= = +
3 33BP PC= 3
1 3
4 4AP AB AC= +
1
12 4
3
4m
λ
λ
=
=
3
1
4m
λ = =
1
4
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ), 2m a c b= −
( )cos ,cosn C A= m n⊥
A
1 23AB AC− = ABC∆
60A °= 3 3
·cos ( 2 )·cos 0a C c b A+ − =
·cos ( 2 )·cos 0a C c b A+ − = sin 2sin cos 0B B A− =
1cos 2A = A（Ⅱ）将 两边平方，推导出 ，当且仅当 ， 时取等号，由此
求出 面积的最大值．
【详解】解析：（Ⅰ）由 得 ，
则
得 ，即
由于 ，得 ，又 A 为内角，因此 .
（Ⅱ）将 两边平方，即
所以 ，当且仅当 ， 时取等号.
此时 ，其最大值为 .
【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式
的应用以及利用基本不等式求最值。
22.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， （ ）．
（Ⅰ）求 值，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求证： （ ）．
【答案】（Ⅰ） ， ， （Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据和项与通项关系得 ，利用等比数列定义求得结果
（Ⅱ）利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果
【详解】（Ⅰ） ，
的
1 23AB AC− = 12bc 6b = 2c =
ABC∆
m n⊥ cos ( 2 ) cos 0a C c b A⋅ + − ⋅ =
sin cos (sin 2sin ) cos 0A C C B A⋅ + − ⋅ =
sin( ) 2sin cos 0A C B A+ − ⋅ = sin 2sin cos 0B B A− ⋅ =
sin 0B ≠ 1cos 2A = 60A °=
1 23AB AC− =
2
24 3 3
b bcc = + −
2 2
2 9 3 3
b c bc bc≥ − =
12bc ≤ 6b = 2c =
1 3sin2 4ABCS bc A bc∆ = = 3 3
{ }na n nS 1 1a = 1 1n na S n+ = + + n ∗∈N
2 3,a a { }na
1
na
n nT 3 1 22 2 nn T− ≤ < n ∗∈N
2 3a = 3 7a = 2 1n
na = −
1 1 2( 1)( 2)n na a n+ + = +
2 1 2 3a S= + = 3 2 3 7a S= + =由 得 ，
两式相减得
故 ，又
所以数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，
因此 ，即 .
（Ⅱ）当 时， ，
所以
.
当 时，
故
又当 时， ，
因此 对一切 成立.
【点睛】本题主要考查了利用 和 的关系以及构造法求数列 的通项公式，同时考查利
用放缩法证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算
能力。
.
( )*
1 1n na S n n N+ = + + ∈ 1 ( 2)n na S n n−= + ≥
1 2 1 ( 2)n na a n+ = + ≥
( )1 1 2 1n na a+ + = + ( )2 11 2 1 4a a+ = + =
{ }1na +
11 2 2n
na −+ = × 2 1n
na = −
2n ≥ ( )
11 1 1 1 1
2 1 22 1 1
n
n n
na
−+ = < = − − +
0 1 2 1
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
n
n
n
T a a a a
− = + + +…+ < + + + +
11 12 2 1 21 21 2
n
n
− = = × − −
2 3
1 2 3
1 1 1 1 1 1 11 2 2 2
n
n
n
T a a a a
= + + +…+ ≥ + + + +
2 11 112 2 3 11 1 2 21 2
n
n
− × − = + = −
−
1n = 1 1
3 11 2 2T = ≥ − 1 1
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