云南曲靖市二中2020届高三数学（理）第一次模拟试卷（Word版含答案）

曲靖市第二中学 2020 届高三第一次模拟考试 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要 求.） 1.设 （ 为虚数单位），则 (　 ) A. B. C. D. 2 2.已知集合 ，集合 ，则 (　 ) A. B. C. D. 3.已知平面 α β＝l，m 是 α 内不同于 l 的直线，下列命题错误的是(　 ) A.若 m∥β，则 m∥l B.若 m∥l，则 m∥β C.若 m⊥l，则 m⊥β D.若 m⊥β，则 m⊥l 4.已知数列 的前 项和为 ，且 ，若平面内的三个不共线的 非零向量 满足 ， ， ， 三点共线且该直线不过 点， 则 等于(　 ) A.1005 B.1006 C.2010 D.2012 5.如图所示的程序框图,令 y= ,若 >1,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,2)∪(2,5] B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,5] 6.已知 ，“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知某班学生的数学成绩 （单位：分）与物理成绩 （单位：分）具有线性相关关系，在 i iz −= 1 i =|| z 2 1 2 2 2 { }2,1,0=A   ≤− −= 02 1| x xxB =BA { }1,0 { }2,1 }1{ }2{  { }na n nS ),( * 1 为常数aNnaaa nn ∈+=+ OCOBOA ,, OBaOAaOC 10061005 += A B C O 2010S )(xf )(xf m R∈ 2 1xy m= + − logmy x= 0 +∞（ ， ） x y一次考试中，从该班随机抽取 5 名学生的成绩，经计算： ，设其线性 回归方程为：y^ ＝0.4x＋a^ .若该班某学生的数学成绩为 105，据此估计其物理成绩为(　 ) A.66　　　 B.68 C.70 D.72 8.等比数列 的前 项和为 ，若 则 ＝(　 ) A.-22 B.-14 C.10 D.18 9.函数 ， 的图像大致是(　) 10.已知直线 与圆 交于 两点. 是坐标原点， 满足条件 ，则实数 的值为(　 ) A. B. C. D. 11.已知 是双曲线 的左、右焦点，双曲线的离心率为 .若双曲线 的右支上存在点 ，满足 ，且 ，则双曲线的离心率 =(　 ) A. B. C. D. 12.定义在 上的可导函数 满足 ，且 ，当 时，不等式 的解集为(　 ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13.已知 展开式所有项的系数之和为 ，则展开式中 的系数为_________. 320,475 5 1 5 1 == ∑∑ == i i i i yx { }na n nS ,6,2 32 −== SS 5S xxxf sin42)( −=    −∈ 2,2 ππ x 0=++ ayx 222 =+ yx BA、 O OBOA, |||| OBOAOBOA −=+ a 2− 2 2± 1± 21,FF )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x e M |||| 212 FFMF = 1sin 21 =∠ FMFe e 2 5 2 5 3 5 3 5 R )(xf 1)1( =f 1)(2 ' >xf    −∈ 2 3,2 ππ x 2 3 2sin2)cos2( 2 >+ xxf )3,3( ππ− )3 4,3( ππ− )3,0( π )3 4,3( ππ 52 )( x ax + 1− xD C B A' D C B A 14. 已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 _________. 15.某班从 6 名班干部(其中男生 4 人，女生 2 人)中选出 3 人代表本班参加“学生对教师满意程 度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是___________. 16.如图，平面四边形 中， ， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，若四面体 的顶点在同一个球面 上，则该球的体积为___________. 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） (一)必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分）已知向量 ． (1)求 的单调递增区间； (2)在 中，角 的对边分别为 . 若 ， 求 的周长. 18.（本题满分 12 分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020 年春节前夕， 某市质检部门随机抽取了 100 包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频 率分布直方图所示. (1)求所抽取的 100 包水饺该项质量指标值的样本平均数. (2)由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值 Z 服从正 0,0 >> yx xyyx =+ 2 mmyx 22 2 +>+ m ABCD 1=== CDADAB 2=BD CDBD ⊥ BD BCDA −' BDA' ⊥ BCD BCDA −' baxfxxbxxa ⋅=== )(),cos,cos3(),cos,(sin )(xf ABC∆ CBA ,, cba ,, ,sin3sin,7 CBa ==且 1)( =Af ABC∆态分布 ，其中 近似为样本平均数，经计算得 ，求 Z 落在 内的概率. (3)将频率视为概率，若某人买了 3 包该品牌水饺，记这 3 包水饺中质量指标值位于 内的包数为 ，求 的分布列和数学期望 . 附：若 ～ ，则：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4. 19.（本题满分 12 分）如图，直三棱柱 中， ， ， 是 上一点，且 平面 . (1)求证： ⊥平面 ； (2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 与平面 的 夹角等于 ？若存在，确定 点的位置；若不存在，说明理由. 20.（本题满分 12 分）已知 是圆 上任意一点， ，线段 的垂 直平分线与半径 交于点 ，当点 在圆 上运动时，记点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； ),( 2σµN µ 95.1175.142 ≈=σ )45.38,55.14( )30,10( X X )(XE Z ),( 2σµN 111 CBAABC − 21 == CCAC BCAB = D 1BA ⊥AD BCA1 BC 11AABB 1BB E AEC 11AABB 3 π E P 16)1(: 22 1 =++ yxF )0,1(2F 2PF 1PF Q P 1F Q C C(2)过点 的直线 与(1)中曲线相交于 两点， 为坐标原点，求 面积 的最大值及此时直线 的方程. 21.(本题满分 12 分)已知函数 (1)求函数 的单调区间； (2)令 的两个零点为 证明： 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题 号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果 多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本题满分 10 分） )0,3(−M l BA, O AOB∆ l .3ln)(,ln)1()( exxxgxxxf −−=−= )(xf )0)(()()( >+= mxgxmfxh ),(, 2121 xxxx < .1 21 exex +>+在直角坐标系 中，已知圆 ( 为参数)，点 在直线 上，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆 和直线 的极坐标方程； (2)射线 交圆 于点 ，点 在射线 上，且满足 ，求 点轨 迹的极坐标方程． 23.【选修 4—5：不等式选讲】（本题满分 10 分） 已知函数 ． (1)若不等式 有解，求实数 的最大值 ； (2)在(1)的条件下，若正实数 满足 ，证明： ． xOy    = = θ θ sin2 cos2: y xC θ P 04: =−+ yxl x C l OP C R Q OP |||||| 2 OQOROP ⋅= Q |2||1|)( +−−= xxxf |1|)( −≥ mxf m M ba, Mba =+ 223 43 ≤+ ba曲靖市第二中学 2020 届高三第一次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. -80 14. (-4,2) 15. 16. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分） 17.（本题满分 12 分） 解：(1) . .……2 分 由 得: 的单调递增区间是 ． ..……6 分 ， . 又 ， . ..……8 分 ，由正弦定理得： ,又 . 在 中，由余弦定理得： , 的周长为 ..……12 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D B B A D C D A 5 2 π 2 3 xxxbaxf 2coscossin3)( +=⋅= 2 1)62sin(2 12cos2 12sin2 3 ++=++= π xxx )(226222 Zkkxk ∈+≤+≤+− πππππ )(23223 2 Zkkxk ∈+≤≤+− ππππ )(63 Zkkxk ∈+≤≤+− ππππ ∴ )x(f )(6,3 Zkkk ∈    ++− ππππ )2(  1)( =Af ∴ 2 1)62sin( =+ π A  ),0( π∈A ∴ 3,6 5 62 πππ ==+ AA  CB sin3sin = cb 3=  7=a ∴ ABC∆ Abccba cos2222 −+= 3,1.397 222 ==∴−+= bcccc ABC∆ 74 +18.（本题满分 12 分） 解：(1)所抽取的 100 包水饺该项质量指标值的样本平均数 为： . ..……3 分 (2) 服从正态分布 ，且 ， ， Z 落在 内的概率为 0.6826. ..……6 分 (3)根据题意得： ， ； ； ； ...……10 分 的分布列为： = . ...……12 分 19.（本题满分 12 分） 解：(1) 是直三棱柱， 平面 ， 且 平面 ，所以 . ， 平面 ， 平面 ， 平面 . ..……4 分 (2) 平面 ，且 平面 ， ，以 O 为坐标原点, 所在的直线为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系. ..……5 分 是等腰直角三角形，且斜边 ， ，则： 0 1 2 3 _ x 5.2615.04525.0353.0252.0151.05 _ =×+×+×+×+×=x Z ),( 2σµN 5.26=µ 95.1175.142 ≈=σ 6826.0)95.115.2695.115.26()55.3855.14( =+