一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1．集合 ,2,1,5,4,3,2,1,0 AU 032 xxNxB ，则 BACU （ ）
A．{0,1,2,3} B．{4,5} C．{1,2,4} D．{0,4,5}
2．i 为虚数单位，若复数 5
1 2z ii
，则 z （ ）
A．1 i B． 1 i C． 1 i D．1 i
3．中国铁路总公司相关负责人表示，到 2018 年底，全国铁路营业里程达到 13.1 万公里，
其中高铁营业里程 2.9 万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是 2014 年到 2018
年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A．每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著
B．从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年份正相关
C．2018 年高铁运营里程比 2014 年高铁运营里程增长 80%以上
D．从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列
4．已知向量 a ， b 的夹角为 60 ，且 2a ， 2 13a b ， b a ，则 b （ ）
A．3 B． 3 C． 2 D． 4
5．要得到函数 sin 2 3 cos2y x x 的图象，只需把函数 3 cos2 sin 2y x x 的图象
（ ）
A．向左平移
2
个单位 B．向左平移 2
3
个单位
C．向右平移 5
6
个单位 D．向右平移
3
个单位
1
河南省鹤壁高中 2020 届高三年级线上第二次模拟考试
数学（文科）试卷6．若变量 x ， y 满足约束条件
1 0
3 0
2 0
x y
x y
x
，则 y
x
的最大值是（ ）
A． 1
3
B． 1
2
C．-2 D． 3
2
7.数列 na 的通项公式 cos 2n
na n ，其前 n 项和为 nS ，则 2020S （ ）
A． 1010 B． 2020 C． 505 D． 0
8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随
机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A． 1
2
B． 1
3
C． 4 1 D． 42
9．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 576 SSS ，则满足 01 nn SS 的正整数 n 的值
为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 4
12
B． 1
3
C． 1 D． 4
4
11．设双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P 是双曲线C 上的点，
且 轴xPF 1
， 1 2PF F 的内切圆的方程为 2 2( 1) ( 1) 1x y ，则双曲线C 的渐近线方
程为（ ）
A． 3
3y x B． 3y x C． 1
2y x D． 2y x
212．设奇函数 f x 的定义域为 ,2 2
，且 f x 的图像是连续不间断， ,02x
，
有 cos sin 0f x x f x x ，若 2 cos3f m f m
，则 m 的取值范围是（ ）
A． ,2 3
B． 0, 3
C． ,2 3
D． ,3 2
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分.共 20 分.
13．若 ，则
= ．
14．椭圆
2 2
116 4
x y 上的点到直线 2 2 0x y 的最大距离是_______.
15．已知函数 ，则函数 的零点个数是______个.
16．已知l 为曲线 lna xy x
在 (1, )a 处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为 1
2
时，实数 a 的值为______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
17．在 ABC 中，三边 a ，b ， c 的对角分别为 A ， B ，C ，已知 3a ，
cos cos cos 3
sin cos
B A C a
B C b
.
（1）若 2 3c ，求 sin A ；
（2）若 AB 边上的中线长为 37
2
，求 ABC 的面积.
18．如图，在矩形 ABCD 中， 2AB ， 3BC ，点 E 是边 AD 上的一点，且 2AE ED ，
点 H 是 BE 的中点，将 ABE 沿着 BE 折起，使点 A 运动到点 S 处，且有 SC SD .
（1）证明： SH BCDE 平面 ；
（2）求四棱锥 S BCDE 的体积.
319．某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出
行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照
的50000电动车中随机抽取 100 辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能
分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分
别进行统计，样本分布如图.
（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取 9 辆，再从这 9 辆中随机抽
取 2 辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；
（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，
标准如下：①电动自行车每辆补助 300 元；②电动汽车每辆补助 500 元；③对电池需要更换
的电动车每辆额外补助 400 元.试求抽取的 100 辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估
计总体，试估计市政府执行此方案的预算.
20．已知动点 P 到直线 5
4y 的距离比到定点 10, 4
的距离大 1.
（1）求动点 P 的轨迹C 的方程；
（2）若 M 为直线 2y x 上一动点，过点 M 作曲线C 的两条切线 MA ，MB ，切点为 A ，
B ， N 为 AB 的中点.
①求证： MN x 轴；
②直线 AB 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．已知函数 21( ) ( 1) ln2f x x a x a x .
（1）讨论函数 ( )f x 的单调性；
（2）对任意的 [3,5]a ， 1x ， 2 1 2[1,3]x x x ，恒有 1 2 1 2f x f x x x ，求
实数 的取值范围.
4请在 22、23 两题中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，
则按所做的第一个题目计分.
[选修 4-4 坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
（t 为参数），曲线
2C 的参数方程为 3 cos
1 sin
x
y
（ 为参数）.
（1）以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当
4
时，求曲线 1C ，
2C 的极坐标方程；
（2）若曲线 1C 与曲线 2C 交于 A ， B 两点（不重合），求| | | |OA OB 的取值范围.
[选修 4-5 不等式选讲]
23．己知 0a ，函数 f x x a .
（1）若 2a ，解不等式 3 5f x f x ；
（2）若函数 2g x f x f x a ，且存在 0x R 使得 2
0 2g x a a 成立，求实数 a
的取值范围.
5
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